几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复

几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一、几代综合题的复习要点1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。【例1】已知,在RfOAB中,zOAB=90°,zBOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内.将RfOAB沿OB折叠后，点A落在点C处.（1）直接写出A的坐标；（2）若抛物线y二ax2€bx（a,0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若（2）中抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M•问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点简析：（1）利用特殊三角形的性质直接写出A的坐标是解直角三角形的最基本的知识。（2）通过解直角三角形求点C的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。（3）在作好图形的基础上，探索要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CM=DP，从而转化为方程问题并求解，这也是对于等腰梯形判定的最低要求。由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。2、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。如：数形结合、分类讨论、运动变化方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方法。28【例2】如图2—①，已知直线l:y=x+与直线l:y=-2x+16相交于点C，/、/分别交x轴于A、133212B两点•矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l、/上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.12（1）求点B、点D的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位

长度的速度平移，设移动时间为t（0<t<⑵秒，矩形DEFG与

△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.简析：（1）（2）略（3）解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论、把问题转化为①当0Wt„3时，（如图2—②）②当3…t„8时，（如图2—③）③当8…t…12时，（如图2—④）等三种情况并加于解决，其中还用到了方程思想、图象法等数学思想方法。

yt所以数学思想方法是数学的灵魂，也是几代综合题解题的灵魂。rJZZA~、-一*I►v― 一》“弋数'yt所以数学思想方法是数学的灵魂，也是几代综合题解题的灵魂。rJZZA~、-一*I►v― 一》“弋数'常见的方程和函数应该做到图象及其性质解决有关问题3、应体现列对于初中阶段握、灵活运用函数【例3】如图EAB的长为x米."⑴请求出底边BC的长(用含x的代数式表示)；(2)若zBAD=60°,该花圃的面积为S米2.求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围),S=93Q时x的值；如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是(1)布列代数式：BC=40-AB-CD=(40-2x)是基础，方程是yi数是纽带，:隹确、迅速利用通法和卩底边AD靠(图2—③)1必必要的技巧(特法)解各类方程，熟练掌Rr40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰多少？简析：S=1(40-2x+40-x)・3x=l!x(80-3x)二—'山+20、3(0vxv20),同时转化为方程2 2 4 4-3x2+2^/3，9^3并求解。4②在利用不等式求取值范围的前提下，利用二次函数的图像和性质求最值。所以，复习时要特别注意弋数的各部分知识间的相互联系，互相补充，形成系统，才能更好的解决几代综合题。4、应熟练掌握几何计算的方法与途径几何的计算从广义上讲大都可以转化为线段的计算，因此几何计算是顺利解决几弋综合题的关键环节，应充分关注：利用勾股定理布列方程计算、利用三角函数布列方程计算、利用相似三角形的方程计算、利用坐标的几何意义进行计算、利用面积法进行计算等重要而常见的几何计算方法与途径，从而为几弋综合题的解题提供保障。【例4】如图4—①，在平面直角坐标系中，直线1:y，2x+b与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B.(1)填空：b= ；(2)已知点P是y轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作OP.若PA=PB，试判断OP与直线1的位置关系，并说明理由.当OP与直线1相切时，求点P与原点O间的距离.简析：b，8；在RfAOP中，利用勾股定理布列方程并求出圆心到直线的距离与r的关系判定OP与x轴相切.分“当点P在点B下方时”和"和当点P在点B上方时”,两种②):既可由△BMP-△BOA得，Bp-,也可在RtNOAB和RtAMPB1 OAAB 1tan„ABO=帶=S列方程，并解得bpi=遙，并求得0p，同理1由此可见，几何计算在几弋综合题中占着重要的地位和作用。5、应关注几何变换在解题中的应用

新课程把“几何变换”的问题作为初中数学的教学内容来研究，凸显了它的意义和作用。平移、对称、旋转是生活中常见的活动，而平移、对称、旋转又是几何的重要组成部分，因为平移、对称、旋转等几何变换既能充分体现合情推理和演绎推理的有机结合，又能与代数充分结合在一起，因而以几何变换为背景的几代综合题也成了综合题的一个亮点。【例5】如图5—①，在6x12的方格纸MNEF中，每个小正方形的边长都是1。RfABC的顶点C与N重合，两直角边AC、BC分别在MN、NE上,且AC=3，BC=2。现RfABC以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B移动至点E时，RfABC停止移动。请在图5—②中，画出RfABC向右平移4秒时所在的图形；如图5—②，在RfABC向右平移的过程中，△ABF能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t；如果不能，请简要说明理由；(3)如图5—②，在RfABC向右平移的过程中(不包括平移的开始与结束时刻)，其外接圆与直线(3)如图5—②，在RfABC向右平移的过程中(不包括平移的开始与结束时刻)，其外接圆与直线AF、直线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t的范围(不必说理)。简析：略打能。如图p所示：移t秒下，得到:二二bFs三(i)当AB2+由勾股定F可,画好图形,在设RMABC向右平XBF为Rf。E幅①①)2€32眉12—用并解得t=(ii)当AB2+AF2=BF2时，由勾股定理的逆定理得，zBAF=90°,即MBF为Rfo即:(\/13)2+32+(12—t)2=(10—t)2+62,解彳得t=7.5(3)关注几何变换，动静结合，把握临界位置，显然有：当t=7.5时道线AF与RfABC的外接圆相切；框上下滑动且框上下滑动且表示成关于x个最大值；若当0<t<7.5或7.5<t<10时，直线AF与RfABC的外接圆相交。当t=1时，直线BF与RfABC的外接圆相切；当0<t<1或1<t<10时道线BF与RfABC的外接圆相交。所以，在解以几何变换为背景的几代综合题时要本着“动中有静”，“静中有动”的思想，特别关注几何变换前后的位置变化和“变与不变量”，在画好图形的基础上解决问题。6、关注几代综合题与生活实际的联系，体现数学来源于生活而又应用于生活的新课程理念几何与代数都是来源于生活，几代结合也必更有利于生活中实际问题的解决。在几代综合题的复习时，要更加关注生活背景，通过数学建模，从生活到数学，再通过问题解决使数学回归生活。【例6】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图6—①所示的自动通风设施•该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米,BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点.N是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边始终保持和AB平行的伸缩横杆.当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时aEMN的面积;设MN与AB之间的距离为x米,试将aEMN的面积S(平方米)的函数；(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这没有，请说明理由．简析：1)从生活中抽象出几何图形，并计算出面积。.求得：(3)把问题转化为一次函数和二次函数的最值问题并求解。(2)在分类讨论的基础上,抽象出图6—②(0<x<1)和图6—③(1<X<1+爲)两个图形并利用几何知识求得：(3)把问题转化为一次函数和二次函数的最值问题并求解。数学建模是生活走向数学的必由之路，数学问题的解决也必将促使生活问题的解决。从而体现数学的实用价值。几代结合是解决生活问题的重要方法之一，在总复习时应充分关注。7、应关注问题解决的全过程与综合解题能力的提升新课程要求重视学生数学的学习与研究过程，并在过程中获取知识，提升能力。几代综合题的复习更应关注学生的解题全过程和学生综合能力的提升。包括：获取信息、分析信息的能力、实践操作能力、数学建模能力、数学思考和问题解决能力等等。【例刀如图(7),四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(6，0),(0，2),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y=-1x+m交折线OAB于点E.•yCBOE、、A^2(1)若直线y=-1x+m经过点A，请直接写出m的值；2(2)记'ODE的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.形为四边形OABC，试探究四边形OABC与矩形分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.简析：m，3;学生必需充分获取信息、在系统整理、有效分析信息的基础上，进行把问题分为：“点E在OA上时，2„m<3(如图7—①)”和"点E在BA上时，3<m<5(如图7—②)”两种情况加于解决。学生应具有所必需的作图、识图能力，其中作好图形是关键，然后将探索问题转化为规则图形面积的计算问题。所以要培养学生最基本的获取信息的方法、识图、作图能力、分析问题、解决问题的能力，这是几代综合题复习的一个重点，也是一个难点，同时也达到学生综合解题能力的提升的目的。8、应熟练掌握常见题型的基本解法，达到知己知彼对于常见题型要做到心中有底，脑中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面积与周长的处理方法、圆的各种关系的判定方法，存在性问题，操作探索型问题等等。【例8】如图8,已知抛物线y，ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E(2,6),且MBE与MBC的面积之比为3:2.(1)求这条抛物线的函数关系式；连结BD,试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N(不与点M重合)，使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.简析：对于本题的解决必需对于常见题型：存在性问题、位置关系判定等了然于胸,才能水到渠成二、几代综合题的复习策略1、 树立信心、迎难而上，不要望而生畏，自我放弃。2、 要注重规范解题，步步为营，稳扎稳打。如先看清题意，再画好图形，进而寻求突破途径。3、 注重阅读理解等获取信息的方法，在信息的获取中寻求解题的突破口。要十分关注“加括号的说明”和“加着重号的标注”，它们往往就是解题的突破口。4、 几何综合题的复习要让学生经历“做一听一改一反思一顿悟”几个环节。做题要求精、求透、不求多、求全，要求以点带面，不求面面俱到，要严禁“题题都做(全而不对)、题题都未做完(对而不全)”、“只听不做”、“只做不听”、“只做不改”等不良现象的出现，以提升复习实效。5、应力求在运算的熟练程度、思想方法的应用和综合能力的提升上有所突破，这三者都是解几代综合题的关键。6、注重在系统的高度上复习