初高中衔接集合讲义

集合1.1集合与集合的表示方法（DAY1）1.1.1集合的概念提问：下面8个问题的研究对象是什么？对象的全体又称为什么?1、1--20以内的所有素数(质数)我国从1991--2003年的13年内所发射的所有人造卫星金星汽车厂2003年生产的所有汽车2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家所有正方形到直线l的距离等于定长d的所有点方程x2+3x-2=0的所有实数根青藤教育所有初升高学生一、知识点：定义：一般地，把一些确定的不同的对象看成一个整体，这一整体就叫做由这些对象的全体构成的集合（或集）。够成集合的对象我们称之为元素。2.表示方法：集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示，元素用小写的拉丁字母a,b,c…，或数字、式子等表示。例如：A={1,3,a,c,a+b}3.元素的性质：（1）确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“与0相差很小的数”，“好看的电影”，“聪明的孩子”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.（2）互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。例:1.（x-4）2=0的解集记为{4}，而不能记为{4，4}。2.方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-23.2，，这些数组成的集合有5个元素。错。（3）无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。例：集合{a，b，c}与{c，b，a}是同一个集合。。【提示】无序性主要应用在判断两个集合是否相等的方面。因为只有构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的4.元素与集合之间的关系（元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种）（1）若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；（2）若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。例：3{1,2,3，}{1,2,3，}5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；二、课堂练习1.判断下列每组对象是否构成一个集合：（1）教2011届高一的年轻教师；（2）你所在班中身高超过1.70米的同学；（3）2010年广州亚运会的比赛项目；（4）方程在实数范围内的解；（5）的近似值的全体；（6）我国的小河流；（7）数学必修一课本中的所有难题；下列四组对象中能构成集合的是（）A.本校学习好的学生B.在数轴上与原点非常近的点C.很小的实数D.倒数等于本身的数3.已知集合A中只含有1，两个元素，则实数a不能取的值为4.已知集合S=中的三个元素可构成的三边长，那么三角形一定不是（）锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.下列命题中正确的是（）数0不能构成集合B.数0构成的集合是0C.数0构成的集合是空集D.数0构成的集合的元素是06.判断下列说法是否正确：①eq\r(5)∈R；②eq\f(1,3)∈Q；③0＝{0}；④0∈N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.7.构成集合M，则M中元素的个数最多是（）A.6B.5C.4D.3三、课后作业1.考察下列对象是否能形成一个集合？为什么？①身材高大的人（）②所有的一元二次方程（）③直角坐标平面上纵横坐标相等的点（）④细长的矩形的全体（）⑤比2大的几个数（）⑥的近似值的全体（）⑦所有的小正数（）⑧所有的数学难题（）给出下面四个关系:R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个已知元素构成的集合A，则有（）A.B.C.D.4.下面有四个命题:①若-aΝ,则aΝ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是(）A．4个B．3个C．2个D1个5.已知集合A是由的解构成的集合，且，则实数a的值为（）A.-1B.0C.1D.26.由实数-a,a,,2,-5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别是什么?7.求集合{2a,a2+a}中a应满足的条件?1.1.2集合的表示方法（DAY2）知识点1.集合的分类观察下列三个集合的元素个数1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{xR∣0<x<3};3.{xR∣x2+1=0}由此可以得到集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的个数的集合。例：“方程3x+1=0的解组合的集合”“由2,4,6,8组成的集合”。（2）无限集：含有无限个元素的个数的集合。例：“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”。（3）空集：不含有任何元素的集合。2.列举法定义：如果一个集合是有限集，元素又不太多，那么常常把集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法。例：方程的解集可以表示为{-1,1}注意：1.元素与元素之间必须用分隔号“，”隔开；2.元素不能重复，不考虑顺序；3.不要遗漏某一个元素；4.列举法可以表示有限集，也可以表示有规律的无限集。5.“{}”含义：“全体”，“所有”，“集合”。Z就表示{整数}，而不能写成{整数集}或者{全体整数}。6.要注意规范，如：关于x的方程x-a=0的解集应写成{a}，而不是a。优缺点优点：集合中的元素清晰可见，一目了然。缺点：不能直接反映集合元素的性质，也不适用于元素个数较多的集合。例题1：用列举法表示下列集合。（1）不大于10正偶数（2）方程解集（3）平方不超过50的非负整数（4）大于10的奇数3.描述法：定义：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法，称为描述法。表示形式：（1）将说明元素性质的一句话写在大括号内，即文字描述法。例：高一（1）班全体同学所组成的集合，可表示为{高一（1）班的同学}整数集可表示为{整数}【注意】{高一（1）班的同学组成的集合}{高一（1）的所有同学}、都是错误的，在表示集合时，我们用大括号“{}”，它本身便带有“所有的”或“...的全体（全部）”之意。所以中“集合”中“所以”应删掉。（2）在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再画一条竖线（或一个冒号，或一个分号），然后写上元素所满足的条件（性质），即符号描述法。基本形式：如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；注意：1.清楚集合的代表元素例：{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略。2.说明该集合中元素的性质3.不能出现未被说明的字母例：是错误的，应改为4.用于描述的语句力求简明、准确5.所有描述的内容都要写在集合符号内常见集合的表示形式：（1）方程的解集例：{x|f（x）=0}（f（x）是关于x的代数式）不等式的解集例：不等式2x-3<0的解集为{x|2x-3<0}（3）函数自变量构成的集合例：函数y=x2+1的自变量构成的集合为{x|y=x2+1}（4）函数因变量构成的集合例：函数y=x2+1的因变量构成的集合为{y|y=x2+1}（5）函数图像上的点构成的集合例：函数y=x2+1的图像上的点构成的集合为{（x,y）|y=x2+1}（6）多元方程（组）的解集例：二元方程组，可表示为{（x,y）|}或{（1,1）}三元方程组x+y+z=2的解可表示为{（x，y，z）|x+y+z=2}。例题2：1.用描述法表示下列集合：（1）由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;（2）到定点距离等于定长的点的集合;（3）方程的所有实数根组成的集合（4）由大于10小于20的所有整数组成的集合说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。2.用特征性质描述法表示下列集合（1）正偶数集（2）被3除余2的正整数集合4.图示法（Venn图）集合的表示除了上述两种方法以外，还有维恩图法，即画一条封闭的曲线所围成的图形（如圆、矩形等）来表示一个集合，如下图所示：3,9,273,9,27表示表示{3，9，27}例题3：用图示法表示下列集合（2）12的正约数（3）50以内能被7整除的正整数。二、课堂练习1.用适当的方法表示集合：（1）大于0的所有奇数（2）集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是（3）已知集合A＝{x|-3<x<3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x+1，x∈A}，则集合B用列举法表示为定义集合运算：.设,,则集合的所有元素之和为3.某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.4.判断下列两组集合是否相等？（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};（2）A={自然数}与B={正整数}给出下列四个关系式：①∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.46.方程组的解组成的集合是()A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝7.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是()A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝8.下列说法正确的是()A.｛0｝是空集B.｛x∈Q∣∈Z｝是有限集C.｛x∈Q∣x2+x+2=0｝是空集D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合9.设集合A＝｛1，a，b｝,B=｛a，a２,ab｝,且A=B，求实数a，b.三、课后作业1．已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A2．下列四个集合中，不同于另外三个的是()A．{y|y＝2}B．{x＝2}C．{2}D.{x|x2－4x＋4＝0}3．下列关系中，正确的个数为________．①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∉N*；④|－eq\r(3)|∈Q.4.已知集合A＝{x∈N＋|－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)}，则必有()A.－1∈AB.0∈AC.eq\r(3)∈AD.1∈A5．已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，x的值为6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.7.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}8.已知集合A＝{x∈N＋|－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)}，则必有()A.－1∈AB.0∈AC.eq\r(3)∈AD.1∈A9.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为()A.0B.1C.0或1D.小于等于110.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.011.已知M＝{x|x≤eq\r(22)}，且a＝3eq\r(2)，则a与M的关系是.12.已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝.13.已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0}.（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.14.下列命题中正确的是（）①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合间的基本关系（DAY3）知识点子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，集合A是集合B的子集。记作：读作：A包含于B，或B包含A当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：BBA表示：例题1：的子集分别为2.集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。例：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A就叫做集合B的真子集。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）4.空集（重点）：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空：；0；{}；{}{}，{}，{0}5.几个重要的结论：(1)空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)任何一个集合是它本身的子集；(4)对于集合A，B，C，如果，且，那么。(5)注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；(6)在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。n个元素的集合有2n个子集n个元素的集合有2n-1个真子集n个元素的集合有2n-1个非空子集④n个元素的集合有2n-2个非空真子集特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。二、课堂练习1.2N；N；A;2.已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则AB；AC；{2}C；2C写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。4.已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M5.已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（）｛-1,0,｝B.｛-1,0｝C.｛-1,｝D.｛,0｝6.设集合A=｛2，8，a｝B=｛2,a2-3a+4｝且BA，求a的值。7.已知集合且，求实数m的取值范围。8.给出下列命题，其中正确的个数是()①空集没有子集②空集是任何一个集合的真子集③任何一个集合必有两个或两个以上的子集④如果集合BA,那么凡元素不属于A，则必不属于BA.1 B.2 C.3 D.49.若集合A＝｛1，3，x｝,B={x2，1}且BA，则满足条件的实数x的个数是()A.1 B.2 C.3 D.410.已知集合M={(x,y)|x+y＜0,xy＞0和P={(x,y)|x＜0,y＜0,那么()A.PM B.MPC.M=P D.MP11.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.12.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.三、课后作业1.设集合N}的真子集的个数是()A.16 B.8 C.7 D.4已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．3.已知A＝｛x∈R｜x2－2x－8＝0｝，B＝｛x∈R｜x2＋ax＋a2－12＝0｝，BA，求实数a的取值集合.已知集合M满足，写出集合M.集合｛2，4，6，8，10｝的真子集个数为设集合P=｛1，a-1，2｝，Q=｛，1，a-1｝,若P=Q，求a的值。已知集合A=｛｝，B=｛｝，若,求实数A的取值范围。已知集合，，若A=B，求c的值1.2.2集合与集合之间的运算（DAY4）想一想考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：（1），；（2），一、知识点并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，即A与B的所有部分，记作A∪B，读作：A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}。Venn图表示：【注意】定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。（1）“或”：包括以下三种情况（2）“所有”：不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有的元素组成的集合，要满足集合中元素的互异性。例：A={1,2,3}，B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7}，而不能写成A∪B={1,2,3,1,2,3,5,7}讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪AA∪B＝A,A∪B＝B.练习：①A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;②设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;③A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。交集:一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集。记作：A∩B读作：A交B即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}Venn图表示（阴影部分即为A与B的交集）（阴影部分即为A与B的交集）常见的五种交集的情况：ABA（B）BAABA（B）BAABBA【注意】当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？A∩A＝A∩＝A∩BB∩AA∩B＝AA∩B＝B练习：①A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;②A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;③A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。3.一些特殊结论（1）若A,则A∩B=A；则A是B的（2）若B,则AB=A；则B是A的（3）若A，B两集合中，B=，,则A∩=,A=A。（4）若A∩B=则二、课堂练习-1123-1123解：2.设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。-23-233.已知集合A＝｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x2+2x+13,x∈R｝求A∩B、A∪B4.设集合A＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1}，当A∩B={２，３}时，求A∪B5.已知｛3,4，m2-3m-1｝∩{２m，-３}=｛-3｝,则m＝。6.设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∩B＝。7.设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝。8.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，则A∪B＝。9.已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于。10.设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝。三、课后作业设A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，求AB，AB.设A={}，B={}，求AB，AB.3.(2012.湖南高考题)设集合M={-1,0，1}，N={},则()A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}4.设集合M={}，N={}，则=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}5.满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是。6.已知集合A＝｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝，则实数a的取值范围是。7.若集合S=，且S∩T=，P=S∪T，求集合P的所有子集8.已知集合M＝{x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N等于（）A.B.NC.MD.R9.若集合A＝｛1，3，x｝,B=｛1,x2｝,A∪B＝｛1，3，x｝,则满足条件的实数x的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个1.2.2集合与集合之间的运算（DAY5）思考1．U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。一、知识点1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集。记作：，读作：A在U中的补集，即Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）【注意】全集是相对于研究的问题而言的例：我们在只研究整数范围内研究问题，则Z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集。表示U在全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）是，则记号中U也必须换成相应的集合（即）。求集合A的补集的前提为A是全集U的子集。讨论：集合A与之间有什么关系？→借助Venn图分析二、课堂练习U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则=，=；设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则＝；设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝。若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA=；U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=；已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B={}；设集合U=R，A={0},B={},则（）(）等于（）A{}B{}C.{}D{}设U={2,