浙教版数学九年级上册第一章1.4二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决距离和利润问题随堂练习

.@:第2课时利用二次函数解决间隔和利润问题1．一小球被抛出后，间隔地面的高度h〔m〕和飞行时间t〔s〕满足以下函数关系式：h＝－5〔t－1〕2＋6，那么小球间隔地面的最大高度是〔C〕A．1m B．5mC．6m D．7m2．如图1－4－9，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2〔t的单位：s，h的单位：m〕可以描绘他跳跃时重心高度的变化，那么他起跳后到重心最高时所用的时间是〔D〕图1－4－9A．0.71s B．0.70sC．0.63s D．0.36s【解析】∵抛物线h＝3.5t－4.9t2的顶点坐标为eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔\f〔5,14〕，\f〔5,8〕〕〕，而eq\f〔5,14〕≈0.36，∴他起跳后到重心最高时所用的时间约为0.36s．应选D.3．[2019·天门]飞机着落后滑行的间隔s〔单位：m〕关于滑行的时间t〔单位：s〕的函数表达式是s＝60t－eq\f〔3,2〕t2，那么飞机着落后滑行的最长时间为__20__s.【解析】求滑行的最长时间实际上是求s的最大值，即s＝60t－eq\f〔3,2〕t2＝－eq\f〔3,2〕〔t－20〕2＋600，当t＝20s时，s的最大值为600m.4．出售某种手工艺品，假设每个获利x元，一天可售出〔8－x〕个，那么当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．【解析】由题意，得y＝x〔8－x〕＝－〔x－4〕2＋16，∴当x＝4时，y最大．5．[2019·沈阳]某商场购进一批单价为20元的日用商品，假如以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经历，进步销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每进步1元，销售量相应减少20件，当销售单价是__35__元时，才能在半月内获得最大利润．【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y＝〔x－20〕[400－20〔x－30〕]＝〔x－20〕·〔1000－20x〕＝－20x2＋1400x－20000＝－20〔x－35〕2＋4500，∵－20＜0，∴x＝35时，y有最大值．即当销售单价为35元时，能在半月内获得最大利润．6．[2019·济宁]某商店经销一种学生用双肩包，这种双肩包的本钱价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y〔个〕与销售单价x〔元〕有如下关系：y＝－x＋60〔30≤x≤60〕．设这种双肩包每天的销售利润为W元．〔1〕求W与x之间的函数关系式；〔2〕这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？〔3〕假如物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？解：〔1〕W＝〔x－30〕y＝〔x－30〕〔－x＋60〕＝－x2＋90x－1800，∴W与x的函数关系式为W＝－x2＋90x－1800〔30≤x≤60〕；〔2〕W＝－x2＋90x－1800＝－〔x－45〕2＋225.∵－1＜0，∴当x＝45时，W有最大值，W最大值为225.答：销售单价定为45元时，每天销售利润最大，最大销售利润225元；〔3〕当W＝200时，可得方程－〔x－45〕2＋225＝200，解得x1＝40，x2＝50.∵50＞42，∴x2＝50不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．7．如图1－4－10，排球运发动站在O处练习发球，将球从点O正上方2m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y〔m〕与运行的程度间隔x〔m〕满足关系式y＝a〔x－6〕2＋h.球网与点O的程度间隔为9m，高度为2.43m，球场的边界与点O的程度间隔为18m.〔1〕当h＝2.6时，求y与x的关系式；〔2〕当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；〔3〕假设球一定能越过球网，又不出界，那么h的取值范围是多少？图1－4－10解：〔1〕当h＝2.6时，那么y＝a〔x－6〕2＋2.6，∵A〔0，2〕在抛物线上，那么2＝a〔0－6〕2＋2.6，解得a＝－eq\f〔1,60〕，∴y与x的关系式为y＝－eq\f〔1,60〕〔x－6〕2＋2.6；〔2〕∵当x＝9时，y＝－eq\f〔1,60〕×〔9－6〕2＋2.6＝2.45>2.43，∴球能越过球网；∵当x＝18时，y＝－eq\f〔1,60〕×〔18－6〕2＋2.6＝0.2>0，∴球出界了；〔3〕把A〔0，2〕代入y＝a〔x－6〕2＋h，得36a＋h＝2，①假设要球一定能越过球网，得9a＋h≥2.43，②假设要球不出界，得144a＋h≤0，③由①②，得h≥eq\f〔193,75〕，由①③，得h≥eq\f〔8,3〕，∴球能越过球网，又不出界时，h的取值范围是h≥eq\f〔8,3〕.8．[2019·安徽]某超市销售一种商品，本钱为每千克40元，规定每千克售价不低于本钱，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y〔kg〕与每千克售价x〔元〕满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x〔元/kg〕506070销售量y〔kg〕1008060〔1〕求y与x之间的函数表达式；〔2〕设商品每天的总利润为W〔元〕，求W与x之间的函数表达式〔利润＝收入—本钱〕；〔3〕试说明〔2〕中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【解析】〔1〕选取表格中两组x，y的对应值代入一次函数的一般形式，建立方程组求解；〔2〕每天的收入用代数式〔－2x＋200〕x元表示，每天的本钱用代数式40〔－2x＋200〕元表示，运用公式利润＝收入—本钱可建立每天的总利润W〔元〕与每千克售价x〔元〕之间的函数表达式；〔3〕用配方法把〔2〕中的二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质结合自变量的取值范围可得出函数的变化情况和最值．解：〔1〕根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，由表中的数据得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔50k＋b＝100，,60k＋b＝80，〕〕解得eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔k＝－2，,b＝200，〕〕∴y＝－2x＋200〔40≤x≤80〕；〔2〕根据题意得W＝y·〔x－40〕＝〔－2x＋200〕〔x－40〕＝－2x2＋280x－8000〔40≤x≤80〕；〔3〕由〔2〕可知W＝－2〔x－70〕2＋1800，所以当售价x在满足40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足70≤x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．所以当x＝70时，利润W获得最大值，最大值为1800元．9．一列火车在A城的正北240km处，以120km/h的速度驶向A城．同时，一辆汽车在A城的正东120km处，以120km/h速度向正西方向行驶．假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变，问何时火车与汽车之间的间隔最近？当火车与汽车间隔最近时，汽车是否已过铁路与公路的穿插口？解：如答图，第9题答图设经过th，火车到达B处，汽车到达C处，那么AB＝|240－120t|，AC＝|120－120t|，在Rt△ABC中，BC＝eq\r〔AB2＋AC2〕＝eq\r〔〔240－120t〕2＋〔120－120t〕2〕＝eq\r〔1202〔2－t〕2＋1202〔1－t〕2〕＝120eq\r〔2t2－6t＋5〕＝120eq\r〔2\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔t－\f〔3,2〕〕〕\s\up12〔2〕＋\f〔1,2〕〕.当t＝eq\f〔3,2〕h时，BC之间的间隔最小，此时BC＝120eq\r〔\f〔1,2〕〕＝60eq\r〔2〕，∵当t＝eq\f〔3,2〕h时，汽车运动的间隔为120×eq\f〔3,2〕＝180〔km〕>120〔km〕，∴汽车已过铁路与公路的穿插口．答：当经过eq\f〔3,2〕h时汽车与火车的间隔最近，此时汽车已过铁路与公路的穿插口．10．[2019·丽水]如图1－4－11①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝eq\f〔1,10〕x2－eq\f〔4,5〕x＋3的绳子．〔1〕求绳子最低点离地面的间隔；〔2〕因实际需要，在离AB为3m的位置处用一根立柱MN撑起绳子〔如图②〕，使左边抛物线F1的最低点距MN为1m，离地面1.8m，求MN的长；〔3〕将立柱MN的长度提升为3m，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为eq\f〔1,4〕，设MN离AB的间隔为m，抛物线F2的顶点离地面间隔为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．图1－4－11解：〔1〕∵a＝eq\f〔1,10〕＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵y＝eq\f〔1,10〕x2－eq\f〔4,5〕x＋3＝eq\f〔1,10〕〔x－4〕2＋eq\f〔7,5〕，∴绳子最低点离地面的间隔为eq\f〔7,5〕m；〔2〕由〔1〕可知BD＝8m，令x＝0，得y＝3，∴点A的坐标为〔0，3〕，点C的坐标为〔8，3〕，AB＝CD＝3m.由题意，得抛物线F1的顶点坐标为〔2，1.8〕，设F1的表达式为y＝a〔x－2〕2＋1.8〔a≠0〕，将A〔0，3〕代入，得4a＋1.8＝3，解得a＝0.3，∴抛物线F1为y＝0.3〔x－2〕2＋1.8，当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1m；〔3〕∵MN＝CD＝3m，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，∴抛物线F2的顶点坐标为eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔\f〔1,2〕m＋4，k〕〕，∴抛物线F2的表达式为y＝eq\f〔1,4〕eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔x－\f〔1,2〕m－4〕〕eq\s\up12〔2〕＋k，把C〔8，3〕代入，得eq\f〔1,4〕eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔8－\f〔1,2〕m－4〕〕eq\s\up12〔2〕＋k＝3，解得k＝3－eq\f〔1,4〕eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔4－\f〔1,2〕m〕