2020-2021学年高中数学-第3章-空间向量与立体几何-3.1.4、5-空间向量的正交分解及其坐

2020-2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4、5空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量运算的坐标表示限时规范训练新人教A版选修2-12020-2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4、5空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量运算的坐标表示限时规范训练新人教A版选修2-12021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4、5空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量运算的坐标表示限时规范训练新人教A版选修2-12020-2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4、5空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量运算的坐标表示限时规范训练新人教A版选修2-1年级：姓名：第三章3.13.1.43.1.5基础练习1．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)【答案】A【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与点B的坐标相同B．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与点A的坐标相同C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标相同D．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与向量eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标相同【答案】D【解析】因为点A不一定为坐标原点，所以选项A不正确；同理，选项B，C都不正确；由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，故D正确．3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为()A．－2 B．－eq\f(3,7)C．1 D．eq\f(7,5)【答案】D【解析】∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，又两向量互相垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0.解得k＝eq\f(7,5).4．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则C点的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－3，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))【答案】C【解析】设C(x，y，z)，则(x－4，y－1，z－3)＝eq\f(1,3)(－2，－6，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝－\f(2,3)，,y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10,3)，,y＝－1，,z＝\f(7,3).))故选C．5.已知a＝(x,1,2)，b＝(1,2，－y)，且(2a＋b)∥(－a＋2b)，则x＝，y＝.【答案】eq\f(1,2)－4【解析】2a＋b＝(2x＋1,4,4－y)，－a＋2b＝(2－x,3，－2y－2).因为(2a＋b)∥(－a＋2b)，则存在非零实数λ，使得2a＋b＝λ(－a＋2b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝(2－x)λ，,4＝3λ，,4－y＝(－2y－2)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－4.))6．与向量a＝(2，－1,2)共线且满足方程a·x＝－18的向量x的坐标是________．【答案】(－4,2，－4)【解析】∵x与a共线，∴x＝ka.又a·x＝－18，∴ka2＝－18，解得k＝－2.∴x＝(－4,2，－4)．7．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)设|c|＝3且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c.解：(1)∵a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10).∴a与b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).(2)由c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，可设c＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c|＝3|λ|.又|c|＝3，∴3|λ|＝3.∴λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．8．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求实数k的值；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求实数k的值．解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16).解得k＝－eq\f(1,3).(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴7(k－2)－4(5k＋3)－16(－k＋5)＝0.解得k＝eq\f(106,3).能力提升9．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则△ABC的面积为()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．eq\r(6) D．eq\f(\r(6),2)【答案】D【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1,3)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，cosA＝eq\r(\f(6,7))，sinA＝eq\r(\f(1,7))，S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(\r(6),2).10．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)且BP⊥平面ABC，则eq\o(BP,\s\up6(→))等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，\f(15,7)，－3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，\f(15,7)，－3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(40,7)，－\f(15,7)，－3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))【答案】D【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，解得z＝4.∵BP⊥平面ABC，∴eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7).∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).11．若向量a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4.设a，b的夹角为θ.∵θ为钝角，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)<0.又|a|>0，|b|>0，∴a·b<0，即2x＋4<0.∴x<－2.又a，b不会反向，∴实数x的取值范围是(－∞，－2)．12．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，P为正方形ABCD的中心，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，求向量eq\o(PA,\s\up6(→))1，eq\o(AM,\s\up6(→))的坐标及异面直线PA1与AM所成的角．解：∵正方体棱长为1，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))).∴eq\o(PA,\s\up6(→))1＝(1,0,1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,