2022-2023学年人教版初中数学专题《构造直角三角形求不规则图形的边长或面积》含答案解析

专题锐角三角函数优选提升题二：解直角三角形题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积一、填空题1．（2021·山东·日照港中学九年级期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．【答案】【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=4，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴，∴A′C=MC﹣MA′=．故答案为．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．2．（2020·浙江温州·九年级期末）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图，为固定底座，且于点O，为固定支撑杆，为可绕着点B旋转的调节杆，灯体始终保持垂直为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使，已知此时，，点M恰好为的中点，此时______，如图3，旋转调节杆使，则此时______．【答案】

【分析】如图1：延长OA交BC于点G，延长CD交ON于点H，可得四边形OHCG是矩形，从而得AG=4，BG=3，结合，点M恰好为的中点，即可求解；如图2，延长过点B作BH⊥OE于点H，过点M作PF∥BC交BA的延长线于点P，交DN于点F，交CD的延长线于I，过点N作NJ⊥CD的延长线于点J，则∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，cos∠DMF=，设MI=x，则MP=7-x，DM=，DI=3x，根据BP=CI，列出方程，求出x的值，从而求得MQ=，设NJ=y，根据，列出方程，求出y的值，从而得NQ=，进而即可求解．【详解】解：如图1：延长OA交BC于点G，延长CD交ON于点H，∵，，BC⊥CD，∴OG⊥BC，CH⊥OE，∴四边形OHCG是矩形，∵在中，，又∵，∴AG=4，BG=3，∴OG=AO+AG=1+4=5，OH=CG=BC-BG=7-3=4，∴CH=OG=5，∴DH=5-1=4，∵，点M恰好为的中点，∴MH=，∴MH=，∴MD=，∴；如图2，延长过点B作BH⊥OE于点H，过点M作PF∥BC交BA的延长线于点P，交DN于点F，交CD的延长线于I，过点N作NJ⊥CD的延长线于点J，则∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，∴，即：，解得：AG=，∴OG=，由题意得：cos∠DMF=，DJ是∠MDN的平分线，设MI=x，则MP=7-x，DM=，DI=3x，∴PG=，∵BP=CI，∴5++=1+3x，解得：x=，∴MI=IF=，DI=×3=，IQ=，MQ==，设NJ=y，则QJ=，NQ=，∵IF∥NJ，∴，即：，解得：，经检验：是原方程的根，且符合题意，∴NQ=，∴MN=+=．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，根据三角函数的定义，列方程，是解题的关键．二、解答题3．（2022·山东德州·九年级期末）某型号飞机的机翼形状如图所示，已知所在直线互相平行且都与所在直线垂直，．，，，．求的长度（参考数，，，，，）【答案】【分析】在Rt△DEB和Rt△ACP中利用锐角三角函数来求出DE、AP的长，根据题意可知CE=