专题+立体几何中的最值问题

第第页立体几何中的最值问题TOC\o"1-3"\h\u综述 2第一章空间问题平面化 3练习 3第二章空间问题代数化 4练习 6第三章分类练习 6（1）面积的最值问题 6（2）体积的最值问题 7（3）距离的最值问题 7

综述立体几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此在考试中出现就是中等难度的考题．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从两个方面思考：一是代数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解，或者用基本不等式等方法；二是转化法，即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论，或者将空间问题转化为平面问题.

空间问题平面化求曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度问题，可考虑展开后转化为平面上两点间的最短距离问题，然后用通常的解三角形的方法加以解决。这时可以认为几何体是利用硬纸等折成的，特别注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节，注意在动态过程中不变的长度或关系．例如图６－１，在直三棱柱中，底面为直角三角形，．是上一动点，则的最小值为．解连结，沿将展开与在同一个平面内，如图６－２所示，连，则的长度就是所求的最小值．通过计算可得，又故，由余弦定理可求得．例如右图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为A．2B．C．D．分析：连接,问题可转化为在三棱柱中，在侧面上取一点，使最小，将侧面展开，使其与在同一个平面，则在中，利用余弦定理可得,此即为的最小值，故选D.点评：求两线段长度和的问题往往进行转换，转换为同一个平面内两点间距离问题。

练习正方体中棱长为，点为的中点，在对角面上取一点，使最小，其最小值为。如图在直三棱柱中，，，，分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为．答案：1、EQ\f(3,2)a四种走法，（1）分别将沿折到平面上；（2）将沿折到平面上；（3）将沿折到平面上；（4）将沿折到平面上，比较四种方法中的长，得最小值为．空间问题代数化将目标函数表示为单变量的函数，或者运用基本不等式的知识，总之转换为代数形式的最值问题。例（海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）ABC4D解：由题意可构造长方体模型，长方体的对角线AC为题中几何体的棱长，长方体的三个面的对角线分别为，根据长方体的性质有，则，由，于是的最大值为4.例已知球的直径AB=2，C,D为该球面上的两个动点，，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为（）解：根据条件可以知道动点C,D在同一个小圆周上，这个圆的半径是CE，,易得，那么△EDC将三棱锥A-BCD分割成两个同底的三棱锥，则三棱锥A-BCD的体积为，当且仅当。例（2015四川理14）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.【答案】设AB=1，M（0，y，1）（0≤y≤1），则，，当时取等号.所以，当时，取得最大值.例（2015湖南理）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A.B.C.D.分析：问题等价于求圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，易知当一定时，要使体积最大，必有（圆内接长方形中正方形的面积最大），故只需在的条件下确定当取何值体积最大；圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积，求导得体积最大值为，利用率为，故选A.练习1、有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________．2、长方体的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得，则侧棱AA1的最小值为（)A．aB．2aC．3aD．4a3、两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为()A．(6－3eq\r(3))π B．(8－4eq\r(3))πC．(6＋3eq\r(3))π D．(8＋4eq\r(3))π答案可知，全面积最小的是四棱柱面积为，全面积最小的是三棱柱面积为，解即可．［答案］．2、分析：以为直径的球与棱有公共点，则当最短时，应该切点为其中点，设，则，得3、设两个球的半径是，则，则，则由第三章分类练习（1）面积的最值问题1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为（）A．32B．36C．48D．642.已知三棱锥—的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，，，则三棱锥—的侧面积的最大值为（） A．2 B．1 C． D．3.有一个棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（）A、B、C、D、4.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是_______.5.正四面体A-BCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.答案：AAB4.8;5.

体积的最值问题在解决体积的最值问题时，尤其是一些不太规则的几何体，常用的一种方法是将几何体分割，如把三棱锥利用一个截面分割为两个同底的三棱锥，再转化为代数最值问题。（2010全国2理）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B.C．2D．32.已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为()A．EQ\f(1,2)B．1C．EQ\f(\r(2),2)D．23.点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．答案：CBC（3）距离的最值问题1.（2009全国Ⅰ理）已知二面角α-l-β为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A.B.2C.D.42.棱长均为的三棱锥，若空间一点满足则的最小值为()A. B、 C、D、3.如图，空间直角坐标系中，正三角形的顶点，分别在平面和轴上移动．若，则点到原点O的最远距离为()A．B．2C．D．34.若点A、B、C是半径为2的球面上三点，且AB＝2，则球心到平面ABC的距离最大值为()A．EQ\f(\r(2),2)B．EQ