2020年广东省广州市白云区中考数学一模试卷

2020年广东省广州市白云区中考数学一模试卷中考数学一模试卷题号一二三总分得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2的相反数是（

）A.-2

B.

C.-

D.22.式子在实数范围内有意义，那么（

）A.x＞-1

B.x＞1

C.x≥-1

D.x≥13.

如图所示的几何体主视图是（

）A.

B.

C.

D.

4.下列计算中，正确的是（

）A.a+2a=3a2

B.3a-2a=a

C.a•2a=3a2

D.2（a+1）=2a5.若一组数据为：2，3，1，3，3．则下列说法错误的是（

）A.这组数据的众数是3

B.事件“在这组数据中随机抽取1个数，抽到的数是0．“是不可能事件

C.这组数据的中位数是3

D.这组数据的平均数是36.下列各实数中，最接近3的是（

）A.

B.

C.

D.7.在数轴上用点B表示实数b．若关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则（

）A.OB=2

B.OB＞2

C.OB≥2

D.OB＜28.画△ABC，使∠A=45°，AB=10cm，∠A的对边只能在长度分别为6cm、7cm、8cm、9cm的四条线段中任选，可画出（

）个不同形状的三角形．A.2

B.3

C.4

D.69.

若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（

）个

①二次函数y=x2+kx+b的图象一定经过点（0，2）

②二次函数y=x2+kx+b的图象开口向上

③二次函数y=x2+kx+b的图象对称轴在y轴左侧

④二次函数y=x2+kx+b的图象不经过第二象限

A.1

B.2

C.3

D.410.

如图，过△ABC内任一点P，作DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB，则=（

）A.1

B.

C.2

D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知∠1=23°，则∠1的余角是______°．12.白云湖是广州市政府便民利民的综合性水利工程，北部水系首期工程完工后，每天可以从珠江西航道引入1000000万立方米的活水进入白云湖，进而改善周边河涌的水质．将1000000用科学记数法可记为______．13.分解因式：2ab2-6a2=______．14.把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数______的图象．15.3张除所标数值外完全相同的卡片，它们标有的数值分别为1、2、-3．把这3张卡片，背面朝上放在桌面上，随机抽取2张，把抽到卡片上的数值分别作为A点的横坐标、纵坐标，则A点落在第一象限的概率是______．16.

如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，则BD=______．

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.解下列不等式，并在数轴上表示解集：2（x-3）＞1．

18.

如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，E为AC、BD的交点．求证：AC=DB．

19.已知A=（3x-1）（2x+1）-x+1-6y2．

（1）化简A；

（2）当x、y满足方程组时，求A的值．

20.从某校1500名学生中随机抽查了40名学生对球类运动的喜好情况．整理数据后绘制成扇形统计图，如图：

（1）直接写出被抽查的40名学生中，“最喜欢篮球”的人数：______人，“最喜欢乒乓球”对应扇形的圆心角度数：______；根据调查结果可估计该校学生中“最喜欢足球”的人数约为______．

（2）在被抽查的40名学生中，“最喜欢篮球”的调查结果：只有2名女生，其余的都是男生．现从上述所有“最喜欢篮球”的学生中随机抽取2名学生进行篮球技能测试，求所抽取的2名学生中至少有1名女生的概率．

21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（n，3），B（-3，-2）两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

​

22.开学初，某文化用品商店减价促销，全场8折．购买规格相同的铅笔套装，折价后用32元买到的数量刚好比按原价用50元买到的数量少2套．求原来每套铅笔套装的价格是多少元？

23.

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连结EC（AB＞AE）．

（1）尺规作图：过点E作EF⊥EC交AB于F点，连结FC；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）所作的图中，求证：△AEF∽△ECF．

（3）在（1）所作的图中，∠BCF≠∠AFE，设=k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

24.

如图，已知二次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为点P．

（1）求这个二次函数解析式；

（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；

（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．

25.如图①，已知△ABC内接于⊙O，∠BOC=120°，点A在优弧BC上运动，点M是的中点，BM交AC于点D，点N是的中点，CN交AB于点E，BD、CE相交于点F．

（1）求证：当∠ACB=60°时，如图②，点F与点O重合；

（2）求证：EF=DF；

（3）在（1）中，若△ABC的边长为2，将△ABD绕点D，按逆时针方向旋转m°，得到△HGD（DH＜DG），AB与DH交于点J，DG与CN交于点I，当0＜m＜60时，△DLJ的面积S是否改变？如果不变，求S的值；如果改变，求S的取值范围．

​

答案和解析1.【答案】A【解析】解：2的相反数是-2．

故选：A．

根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解．

此题主要考查相反数的意义，熟记相反数的意义是解题的关键．

2.【答案】D【解析】解：由题意得：x-1≥0，

解得：x≥1，

故选：D．

根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

3.【答案】D【解析】解：如图所示的几何体主视图是：．

故选：D．

根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．

此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．

4.【答案】B【解析】解：A、原式=3a，故本选项错误．

B、原式=a，故本选项正确．

C、原式=2a2，故本选项错误．

D、原式=2a+2，故本选项错误．

故选：B．

根据单项式乘单项式的法则和整式加减法则解答．

考查了单项式乘单项式和整式加减，属于基础题，熟记计算法则即可解答．

5.【答案】D【解析】解：A、3出现了3次，在该组数据中出现的次数最多，是该组数据的众数，不符合题意；

B、事件“在这组数据中随机抽取1个数，抽到的数是0．”是不可能事件，不符合题意；

C、将该组数据从小到大排列：1，2，3，3，3，处于中间位置的数为3，中位数为3，不符合题意；

D、这组数据的平均数为（1+2+3+3+3）÷5=2.4，符合题意．

故选：D．

分别根据众数、随机事件、中位数、平均数的定义解答．

本题考查了众数、随机事件、中位数、平均数，知道各统计量是解题的关键．

6.【答案】C【解析】解：根据题意，分析选项可得：

，，，，

比较可得：更接近3，

故选：C．

根据题意，要求的实数符合条件：最接近3，由此分析选项可得答案．

此题主要考查了估算无理数的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

7.【答案】A【解析】解：根据题意知△=b2-4=0，

解得：b=±2（负值舍去），

则OB=2．

故选：A．

根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

8.【答案】C【解析】解：∵∠A=45°，AB=10cm，

∴点B到∠A另一边所在直线的距离是，

∴△ABC中，BC≥，

∵＞7，

∴BC=8或9，

当BC=9时，可以构成两个三角形，

当BC=8时，可以构成两个三角形，

∴一共可以画出4个不同的三角形；

故选：C．

点B到∠A的另一边最短距离是，可以得到BC≥，所以确定CB的长度是8cm和9cm，再结合每个长度会分别画出两个三角形即可求解；

本题考查三角形三边关系，点到直线的距离最短，估计无理数大小；熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．

9.【答案】B【解析】解：①当x=0时，b=2，

∴二次函数y=x2+kx+b的解析式为y=x2+kx+2，

∴一定经过点（0，2）；

∴①正确；

②∵y=x2+kx+b中a=1，

∴开口向上；

∴②正确；

③y=x2+kx+b的对称轴为x=-，

由图象可知k＜0，

∴-＞0，

∴③错误；

④y=x2+kx+b中k＜0，b=2，

∴经过第二象限，

∴④错误；

故选：B．

从图象可知，k＜0，b=2，可以得到y=x2+kx+2，再结合每个条件进行判断即可；

本题考查一次函数图象和二次函数图象的性质；能够从一次函数图象中获取信息，运用到二次函数中是解题的关键．

10.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴

同理可得：

∵DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB，

∴四边形AGPK是平行四边形，四边形BDPH是平行四边形，

∴PK=AG，PH=BD，

∴===2

故选：C．

根据已知推出平行四边形AGPK、BDPH，得出PK=AG，PH=BD，根据相似三角形的性质得出，，代入可求解．

本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地根据相似三角形的判定和性质进行推理是解此题的关键．

11.【答案】67【解析】解：根据定义可知，

∠1的余角=90°-23°=67°．

故答案为：67．

根据互为余角的两个角的和为90度计算即可．

本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角，属于基础题，较简单．

12.【答案】1×106【解析】解：1000000=1×106，

故答案为：1×106．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13.【答案】2a（b2-3a）【解析】解：2ab2-6a2=2a（b2-3a）．

故答案为：2a（b2-3a）．

直接提取公因式2a，进而分解因式即可．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

14.【答案】y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5【解析】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，

∴抛物线y=x2+2x+3先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，

平移后的函数关系式是：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．

故答案为：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．

首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可．

本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

15.【答案】【解析】解：列表如下：

12-31

（2，1）（-3，1）2（1，2）

（-3，2）-3（1，-3）（2，-3）

由表可知，共有6种等可能结果，其中A点落在第一象限的有2种结果，

所以A点落在第一象限的概率为=，

故答案为：．

列表得出所有等可能结果，从中找到点A落在第一象限的结果数，再根据概率公式计算可得．

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16.【答案】【解析】解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．

∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，

∴∠ADE=∠AED=45°，

∴AE=AD=1，DE=，

∵∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠BAE=∠CAD，

∵AB=AC，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，

∴∠BED=90°，

∴BD===．

故答案为．

如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．证明△BAE≌△CAD（SAS），∠BED=90°，利用勾股定理求出BD即可．

本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

17.【答案】解：去括号，得：2x-6＞1，

移项，得：2x＞1+6，

合并同类项，得：2x＞7，

系数化成1得：x＞．

．【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解．

本题考查解一元一次不等式、不等式的性质、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质，尤其是两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．

18.【答案】证明：在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB（SAS）

∴AC=DB【解析】由“SAS”可证△ABC≌△DCB，可得AC=DB．

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

19.【答案】解：（1）A=（3x-1）（2x+1）-x+1-6y2

=6x2+x-1-x+1-6y2

=6x2-6y2；

（2）解方程组，

得，

A=6x2-6y2=6×32-6×22=54-24=30；【解析】（1）直接去括号，然后合并同类项即可；

（2）解方程组求出x、y，然后代入求值即可．

本题考查了代数式化简求值，正确解出二元一次方程组是解题的关键．

20.【答案】（1）5；72°；450；

​（2）列表如下：

由图可知总有20种等可能性结果，其中所抽取的2名学生中至少有1名女生的情况有14种，

所以所抽取的2名学生中至少有1名女生的概率为=．【解析】解：（1）“最喜欢篮球”的人数为40×12.5%=5（人），

“最喜欢乒乓球”对应扇形的圆心角度数为360°×20%=72°，

∵该校学生中“最喜欢足球”人数所占百分比为1-（12.5%+12.5%+20%+25%）=30%，

∴估计该校学生中“最喜欢足球”的人数为1500×30%=450（人），

故答案为：5，72°，450；

（2）见答案．

【分析】

（1）用抽查人数乘以篮球对应的百分比可得其人数，用360°乘以乒乓球对应的百分比可得其圆心角度数，用总人数乘以样本中足球对应的百分比；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到所抽取的2名学生中至少有1名女生的结果数，再根据概率公式计算可得．

本题考查的是扇形统计图的运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】解：（1）将点B（-3，-2）代入y=，

∴m=6，

∴y=，

∴n=2，

∴A（2，3），

将A（2，3），B（-3，-2）代入y=kx+b，

，

∴，

∴y=x+1；

（2）B点到x轴距离为2，

∴S=×2×（3+2）=5；【解析】（1）将点B（-3，-2）代入y=，求出反比例函数解析式；再将A，B代入一次函数解析式即可；

（2）B点到x轴距离为2，∴S=×2×（3+2）=5.

本题考查反比例函数和一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

22.【答案】解：设原来每套铅笔套装的价格是x元，现在每套铅笔套装的价格是0.8x元，

依题意得：-2=．

解得x=5．

经检验：x=5是原方程的解，且符合题意．

答：原来每套铅笔套装的价格是5元．【解析】首先设原来每套铅笔套装的价格是x元，现在每套铅笔套装的价格是0.8x元，即可根据“折价后用32元买到的数量刚好比按原价用50元买到的数量少2套”列出方程并解答．

此题考查了分式方程的应用．注意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

23.【答案】解：（1）如图所示：EF⊥EC；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，即∠AFE+∠AEF=90°，

∵EF⊥EC，

∴∠DEC+∠AEF=90°，

∴∠AFE=∠DEC，又∠A=∠D，

∴△AEF∽△DCE，

∴=，

∵AE=ED．

∴=，又∠A=∠FEC=90°，

∴AEF∽△ECF；

（3）存在k值，使得△AEF与△BFC相似

理由如下：设BC=a，则AB=ka，

∵△AEF与△BFC相似，∠A=∠B=90°，∠BCF≠∠AFE，

∴△AEF∽△BCF，

∴==，

∴AF=ka，BF=ka，

∵△AEF∽△DCE，

∴=，即=，

解得，k=．【解析】（1）根据过直线外一点做这条直线的垂线的尺规作图方法作出EC的垂线；

（2）证明△AEF∽△DCE，根据相似三角形的性质得到=，根据相似三角形的判定定理证明即可；

（3）设BC=a，根据△AEF∽△BCF得到AF=ka，证明△AEF∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式计算，得到答案．

本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

24.【答案】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛二次函数的表达式为：y=x2-x-，

(2)

令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-，

,

故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；

过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，

设：∠DPC=∠BAC=α，

由题意得：AB=2，AC=6，BC=4，PC=2，

S△ABC=ACBH=×BCyA，

解得：BH=2，

sinα===，则tanα=，

由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，

则MD=MC=x，

在△PMD中，tanα===，

解得：x=2，则CD=x=4，

故点D（7，0）；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），

过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，

直线AP表达式中的k值为：=-2，则直线A′N表达式中的k值为，

设直线A′N的表达式为：y=x+b，

将点A′坐标代入上式并求解得：b=，

故直线A′N的表达式为：y=x+…①，

当x=1时，y=4，

故点M（1，4），

同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，

联立①②两个方程并求解得：x=-，

故点N（-，）．【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）利用S△ABC=ACBH=×BCyA，​，求出sinα===，则tanα=，在△PMD中，tanα===，即可求解；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．

25.【答案】解：（1）∵∠BOC=120°，

∴∠A=∠BOC=60°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点M是的中点，点N是的中点，

∴=，=，

∴∠BCN=∠ACB=30°，∠CBM=∠ABC=30°，

∴BF=CF，∠BFC=∠BO