2020-2021初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题(含答案)及答案

2020-2021初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题（含答案）及答案一、圆的综合1.如图，四边形OABC是平行四边形，以。为圆心，OA为半径的圆交AB于D,延长AO交。于E,连接CD,CE,若CE是。。的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是。。的切线；试题分析：（1）连接OD,求出/EOCNDOC,根据SAS推出△EOe^DOC,推出/ODC=/OEC=90,。根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式二24COD的面积即可求解.试题解析：（1）证明：连接OD,-.OD=OA,••/ODA=/A,•・四边形OABC是平行四边形，•.OC//AB,••/EOC=ZA,/COD=/ODA,••/EOC二ZDOC,在^EOC和ADOC中，OEODEOCDOCOCOC.,.△EOC^ADOC(SA§,••/ODC=/OEC=90；即OD,DC,•.CD是。O的切线；(2)由(1)知CD是圆O的切线,•.△CDO为直角三角形，.Sacdcf—CD?OD2 ，又「oafbcfOd=4

Sacdcf-Sacdcf-X6X4=,122平行四边形OABC的面积S=2Sxcdc=24. 2.如图，。。是^ABC的外接圆，点E为4ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F,交。。于点D；连接BD,过点D作直线DM,使ZBDM=ZDAC.(1)求证：直线DM是。C的切线；⑵若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长..VD【答案】(1)证明见解析(2)2而【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到 ODLBC,再根据/BDM=/DBC,即可判定BC//DM,进而彳#到CD，DM,据此可得直线DM是。。的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到 ZBEDFZEBD,即可得出DB=DE,再判定△DBQ4DAB,即可得到DB^DFVDA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接CD.•・•点E是4ABC的内心,•./BAD=/CAD, bdCd,••.CD,BC.又.•/BDM=/DAC,/DACF/DBC,•./BDM=/DBC,•.BC//DM,.1.CDXDM.又•「CD为。。半径，.•・直线DM是。。的切线.(2)连接BE.〈E为内心，，/ABEf/CBE•••/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,「./BAD=ZDBC,「./BAE+ZABE=ZCBE^ZDBC,即/BECF/DBE, BD=DE.又.•/BDFF/ADB(公共角)，. DBFs△DAB,•.史旦旦即DB2=DF?DA.DBDA•.DF=2,AF=4,DA=DF+AF=6, DB2FDF7DAF12,•.DB=DE=2上.

MD【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.3.如图，在平面直角坐标系xoy中，E(8,0),F(0,6).(1)当G(4,8)时，则ZFGE= °(2)在图中的网格区域内找一点 P,使/FPE=90且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形.要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线(不必说明理由，不写画【答案】(1)90;(2)作图见解析，P(7,7),PH是分割线.【解析】试题分析：(1)根据勾股定理求出4FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定 4FEG是直角三角形，且/FGE="90"°,(2)一方面，由于/FPE=90,从而根据直径所对圆周角直角的性质，点 P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形 OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点 P在/FOE的角平分线上，因此可得 P(7,,PH是分割线.试题解析：(1)连接FE,-E(8,0),F(0,6),G(4,8),・•・根据勾股定理，得FG=V5,EG=，15,FE=10.. 即即+小2=户户△FEG是直角三角形，且/FGE=90.

(2)作图如下:P(7,7),PH是分割线.考点：1.网格问题；2.勾股定理和逆定理；3.作图(设计)；4.圆周角定理.4.如图，四边形ABCD内接于。O,对角线AC为。。的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点，连接DB,DF.(1)求证：DF是。。的切线；(2)若DB平分ZADC,AB=5也，AD:DE=4：1,求DE的长.【答案】⑴见解析；(2)...5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出 DF=CF=EF,再求出/FDO=/FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用4ADC〜AACE，得出AC2=AD?AE,进而得出答案.详解：(1)连接OD.••OD=CD,../ODO/OCD.••AC为。。的直径，ZADC=ZEDC=90°.•点F为CE的中点，DF=CF=EF,../FDO/FCD,•./FDO=/FCO.

DF是。。的切线.又---AC±CE, /DF是。。的切线.(2)「AC为。。的直径，・./ADC=/ABC=90°.,・DB平分/ADC,・•./ADB=/CDB,，Ab=?C，「•BC=AB=56•在Rt^ABC中，AC2=AB2+BC2=100.又「AC，CE, ZACE=90°,ACAE△ADC〜△ACE ——=——,AC2=AD?AE.ADAC设DE为x,由AD:DE=4:1,，AD=4x,AE=5x,•.100=4x?5x,，x=君，/.DE=75-ac2ac2=ad?ae是5.如图1,eO的直径AB12,P是弦BC上一动点（与点B,C不重合）,ABC30°,过点P作PDOP交eO于点D.1如图2,当PD//AB时，求PD的长；1一2如图3,当DeAc时，延长AB至点E，使BE—AB,连接DE.①求证：DE是eO的切线;①求证：DE是eO的切线;②求PC的长.【答案】（1）2点；（2）①见解析，②3森3.分析：1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出 OP,PD的长;2①首先得出VOBD是等边三角形，进而得出ODEOFB900，求出答案即可;②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出 PF的长，进而得出答案.详解：1详解：1如图2,连接OD,QOPPD,PD//AB,POB900，QeO的直径AB12,OBOD6,在RtVPOB中，ABC30°,OPOBtan30°/62 (2/62 (2府 2娓；PD\OD2OP22①证明：如图3,连接OD,交CB于点F,连接BDqDeAc,DBCABC300，ABD600,QOBOD,VOBD是等边三角形，ODFB,- 1QBE—AB,2OBBE,BF//ED,ODEOFB900,DE是eO的切线;②由①知，ODBC,CFFBOBcos30o6-33.3,2在RtVPOD中，OFDF,1 、PF—DO3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半 ），2CPCFPF3>/33.点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出VOBD是等边三角形是解题关键.6.已知：如图，△ABC中，AC=3,/ABC=30°.（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法;99兀.【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点。为圆心，OA长为半圆画圆，则圆。即为所求作的圆.如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知 AC=3,如图弦AC所对的圆周角是/ABC=30°,所以圆心角/AOC=60°,所以？AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是 3ZAOC=60；・•.△AOC是等边三角形，，圆的半径是3,，圆的面积是S=兀2=9兀

7.如图，。。的直径AB=26,P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点CD为。。上的两点，若/APD=/BPG则称/CPD为直径AB的回旋角⑴若/BPC=/DPC=60°,则/CPD是直径AB的回旋角”吗？并说明理由；13(2)若Cd的长为一兀，求回旋角”/cpd的度数；4(3)若直径AB的回旋角”为120°,且4PCD的周长为24+13J3,直接写出AP的长.DADA【答案】(1)/CPD是直径AB的回旋角”，理由见解析；(2)回旋角”/CPD的度数为45°;(3)满足条件的AP的长为3或23.【解析】【分析】(1)由/CPD./BPC得至ij/APD,得到/BPC=/APD,所以/CPD是直径AB的回旋角”；(2)利用CD弧长公式求出ZCOD=45°,作C已AB交。。于E,连接PE,利用/CPD为直径AB的回旋角"，得到/APD=/BPC,ZOPE=/APD,得到/OPE+/CPD+ZBPC=180；即点D,P,E三点共线，ZCED=-ZCOD=22.52/OPE+/CPD+ZBPC=180；即点D,P,E三点共线，ZCED=-ZCOD=22.520,所以ZCPD=45°;(3)分出情的方法得到点D,巳F在同一条。作OG±CD于G,得到/OP『90-22.5=67.5°,贝U/APD=/BPC=67.5况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理(2)直线上，得到^PCF是等边三角形，连接OC,OD,过点利用sin/DOG,求得CD,利用周长求得DF,过O作OH^DF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到AP;在OB上时，同理OA计算方法即可【详解】/CPD是直径AB的回旋角”，理由：•••ZCPD=ZBPC=60°,/APD=180-/CPD-ZBPC=180-60°-60=601/BPC=/APD,/CPD是直径AB的回旋角(2)如图1, AB=26,.•.OC=OD=OA=13,设/COD=n°,一 13---Cd的长为一Tt,4.nn1313―180 7n=45,•••/COA45°,作CHAB交。。于E,连接PE/BPC=/OPE,・•/CPD为直径AB的回旋角”，/APD=/BPC,/OPE=/APD,••/APD+ZCPD+ZBPC=180:••/OPE+ZCPD+ZBPC=180；・•点D,P,E三点共线，/ 1,/CED=—ZCOD=22.5,2/OPE=90-22.5=67.5,°/APD=/BPC=67.5,°/CPD=45；即：回旋角”/CPD的度数为45。，⑶①当点P在半径OA上时，如图2,过点C作C。AB交。。于F,连接PF,PF=PC,同(2)的方法得，点D,巳F在同一条直线上，••直径AB的回旋角”为120；/APD=/BPC=30°,/CPF=60°,•.△PCF是等边三角形，/CFD=60；连接OC,OD,/COD=120:过点O作OGLCD于G,1.•.CD=2DG,/DOG=—/COD=60,2133.•.DG=ODsinZDOG=13xsin60——2•CD=133，.「△PCD的周长为24+133，.•.PD+PC=24,••PC=PF,.PD+PF=DF=24,过O作OH^DF于H，DH=1DF=12,2在Rt^OHD中，OH=Jod2dh25在R「OHP中，/OPH=30°,，OP=10,.•.AP=OA-OP=3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP=3,.•.AP=AB-BP=23,即：满足条件的AP的长为3或23.【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于 P点的分类讨论8.AB是。O直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P,如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD,交PB的延长线于D,已知AB5,BC：CA=4：3.(1)求证：ACCD=PCBC;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时， PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2)CH14，2;(3)当PC为。。直径时，APCD的最大面积50.3【解析】【分析】

ACBC(1)由圆周角定理可得/PCD=/ACB=90,可证△ABJ^PCD,可得ACBCCP证.，即可得CD(2)由题意可求BC=4,AC=3,由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求 PE，即可得CD即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值;(3)当点P在Ab上运动时，SvpcdTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1—— , ,— ― 4—(3)当点P在Ab上运动时，Svpcd—PCCD,由(1)可得：CD-PC,可得\o"CurrentDocument"2 3\o"CurrentDocument"1 4 2 2Svpcd—PC—PC—PC,当PC最大时，△PCD的面积最大，而PC为直径时最2 3 3大，故可求解.【详解】证明：(1).AB为直径，/ACB=90°••PCXCD,/PCD=90°/PCD=/ACB,且/CAB=ZCPB•.△ABC^APCD.ACBCCPCD•.AC?CD=PC?BC(2)AB=5,BC:CA=4:3,ZACB=90°.•.BC=4,AC=3,当点P.•.BC=4,AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点B作BEXPC于点E.・•点P是Ab的中点，/PCB=45；且BC=4CE=BE=_2bc=22•••/•••/CAB=ZCPBBC•.tan/CAB=——AC3.2PE= 24=tan/CAB=些3 PE.•.PC=PE+CE=3—2+22=7-22 2.•.PC=PE+CE=3—2+22=7-22 2•.AC?CD=PC?BCX4142・•・CD=^~^3(3)当点P在AB上运动时，Sapcd=->PC>CD,2由(1)可得：CD=4PC31 ― 4―2oSapcd= PCPC=—pC,2 3 3・••当PC最大时，APCD的面积最大，・••当PC为。。直径时，△PCD的最大面积=2*2=型3 3【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识,出PC的长是本题的关键.锐角三角函数，求9.如图，AB为。。的直径，DA、DC分别切。。于点A,C,(1)求tan/AOD的值.(2)AC,OD交于点E,连结BE.AB=AD.①求/AEB①求/AEB的度数；②连结BD交。。于点H,若BC=1,求CH的长.【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得/BAD=90,由题意可得AD=2A0,即可求tan/AOD的值；(2)①根据切线长定理可得AD=CD,0D平分/ADC,根据等腰三角形的性质可得DOXAC,AE=CE根据圆周角定理可求/ACB=90°,即可证/ABC=/CAD,根据"AAST证△AB84DAE,可得AE=BC=EC可求/BEC=45；即可求/AEB的度数；②由BC=1,可求AE=EC=1BEJ2,根据等腰直角三角形的性质可求 /ABE=/HBC,可证△AB&4HBC,可求CH的长.【详解】「DA是。0切线，，/BAD=90..AB=AD,AB=2AO,..AD=2A0,，tan/AOD"2;AO(2)①「DA、DC分别切。O于点A,C,AD=CD,OD平分/ADC,•.DO,AC,AE=CE•AB是直径，/ACB=90,° /BAC+ZABC=90，且/BAC+ZCAD=90,°，/ABC=/CAD,且AB=AD,/ACB=/AED=90 △AB8△DAE(AAS),•.CB=AE.•.CE=CB②如图,•.AD=AB且/ACB=90,°/BEC=45=°ZEBC,/AEB=135,°.•.CE=CB②如图,•.AD=AB•••BC=1,且BC=AE=CE.-AE=EC=BC=1..BE72/BAD=90,° /ABD=45，且/EBC=45, /ABE=ZHBC,且/BAC=ZCHB,BCCH1CH BCCH1CH 2~^= ,••CH 本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.10.如图，AB为OO的直径，且AB=m(m为常数)，点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作。。的切线交BD的延长线于点P,弦CD交AB于点E.(1)当DCAB时，则DA—DBDC(2)①当点d在ab上移动时，试探究线段由；DA,DB,DC之间的数量关系；并说明理②设CD长为t,求4ADB的面积S与t的函数关系式;⑶当爱浮求知的值•24.224.235【答案】(1)金；(2)①DA+DB=拒DC,②S=」t2-」m2;(3)-DE2 4 OA【解析】【分析】(1)首先证明当DC，AB时，DC也为圆的直径，且4ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；(2)①分别过点A,B作CD的垂线，连接AC,BC,分别构造4ADM和4BDN两个等腰直角三形及^NBC和4MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA,DB,DC之间的数量关系；②通过完全平方公式(DA+DB)2=DA2+DB2+2DA?DB的变形及将已知条件AB=m代入即可求出结果；(3)通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果.【详解】解：(1)如图1,.「AB为。。的直径,/ADB=90；・••c为AB的中点,AcBc，/ADC=/BDC=45；.DCXAB,/DEA=/DEB=90；••/DA曰/DBE=45；.•.AE=BE,••点E与点O重合，•.DC为。O的直径，.•.DC=AB,在等腰直角三角形DAB中,2DA=DB=——AB,2DA+DB=,2AB=.2CD,

DADBDCBC图1BC,(2)①如图2,过点A作AM，DC于M,过点B作BN，CD于N,连接AC,BC,由(1)知AcBc,.•.AC=BC,.「AB为。。的直径，/ACB=/BNC=/CMA=90°,•••/NBC+/BCN=90:/BCN+ZMCA=90;/NBC=/MCA,在^NBC^AMCA中，BNCCMANBCMCA,BCCA••.△NBC^AMCA(AAS),.•.CN=AM,由(1)知/DAE=/DBE=45°,AM= DA,DN=■DB,2 2.•.DC=DN+NC=2yDB+2yDA= (DB+DA),即DA+DB=2DC；②在②在RtADAB中，DA2+DB2=AB2=m2,•••(DA+DB)2=DA2+DB2+2DA7DB,且由①知DA+DB=及DC=拒t,(721)2=m2+2DA?DB,•.DA?DB=t2-1m2,2•二Saadb=1DA?DB=1t2-1m2,2 2 4・•.△ADB的面积S与t的函数关系式S=-t2-1m2；2 4(3)如图3,过点E作EH^AD于H,EG,DB于G,则NE=ME,四边形DHEG为正方形，由(1)知AcBc，•.AC=BC,・•.△ACB为等腰直角三角形，•.AB=>/2AC,..PD9.2•—— ,AC20设PD=9后，则AC=20,AB=20四,•••/DBA=/DBA,/PAB=/ADB,・•.△ABDsFBA,.ABBDADPBABPA'20、2BDDB97220V2'・•.DB=16T2,.•.AD=Jab2db2=1272,设NE=ME=x,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c1 1 1-Saabd=-AD?BD=-AD?NE+-BD?ME,1x12/2x1破=1X12/2?x+1x1672?x,\o"CurrentDocument"2 2 2,x=48质7 ，.•.DE=72HE=&x=96,\o"CurrentDocument"1 一又「AO=-AB=1072，2 1DE96 1 24.2•• - .\o"CurrentDocument"OA710「2 35【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系.11.在RtdAB匚中，Z/?/IC=9C\10=48=式”，悒分别是边收巩的中点，若等腰RM/1D日绕点口逆时针旋转，得到等腰爪壮仙声1,设旋转角为a(O<a<180°),记直线孙与。%的交点为科(1)问题发现如图1,当Q=1fMT时，线段力口的长等于,线段。描的长等于.(2)探究证明如图2,当胃=135q时，求证：B历=CEi,且即］1。瓦.(3)问题解决求点P到所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)图I 后图2【答案】(1)2\历|；2g；(2)详见解析；(3)1+F【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出 BD的长和CE1的长；(2)根据旋转的性质得出， /D1AB=/EiAC=135°,进而求出△D1AB^^E1AC(SAS,即可得出答案；(3)首先作PGJ±AB,交AB所在直线于点G,则D1，Ei在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD所在直线与。A相切时，直线BD1与C日的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1P日是正方形，进而求出PG的长.【详解】(1)解：.・•/A=90。，AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点，.•.AE=AD=2,•••等腰RHADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAAD1E1,设旋转角为a(0VaW1800,・•・当a=90寸，AEi=2,/E1AE=90°,BDi=\〔4*+2*=八5gc=J4工+2工=Z«5；故答案为：245；(2)证明：由题意可知，他=八。=4, = =•.•汗"小小眄是由附0力DE绕点口逆时针旋转13亍得到,心小二八"*/1E|=±JMB=135\在dZ)l#R和』E]/!C中,AD^=AE\2LDxAli=aE^ACiAB=AC'.邛/M叫呼1=(；呵『口=?小日/1..HDi"E',|B%=C瓯,且口为ICEi(3)点D的运动轨迹是在|04的上半圆周，点『的运动轨迹是在|。门的弧力「段.即当丹。1与0/1相切时，P。有最大值.点「到力用所在直线的距离的最大值为1+、3.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键.12.已知AC=DC,AC±DC,直线MN经过点A,作DBXMN,垂足为B,连结CB.

［感知］如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE=BD,连结CE,可证ABCgAECA,从而得出EC=BC,ZECB=90°,进而得出ZABC=［探究］如图②，当点A、B在CD异侧时，［感知］得出的/ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出 /ABC的大小.［应用］在直线MN绕点A旋转的过程中，当/BCD=30°,BD=0时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45;【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为\3+1或J-1.【解析】【分析】［感知］证明△BC*^ECA(SAS即可解决问题；［探究］结论不变，证明△BCg^ECA(SA§即可解决问题;［应用］分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】•••/CDB^ZCAB=180AM上截取AE=BD,连结CE°•••/CDB^ZCAB=180AM上截取AE=BD,连结CE°°/D=/CAE•••CD=AC,AE=BD,.,.△BCD^AECA(SAS,BC=EC,/BCD=/ECA••/ACEfZECD=90••/ECDfZDCB=90即/ECB=90°,ZABC=45.故答案为45【探究】不改变.理由如下:如图，如图②中，在射线AN上截取AE=BD,连接CE,设MN与CD交于点0..AC±DC,DBXMN,••ZACAZDBA=90,••ZAOC=ZDOB,ZD=ZEAQCD=AC,••.△BCD^AECA(SA§,BC=EC,ZBCD=ZECA••ZAC曰/ECt”90,ZECE>/DCB=90,即/ECB=90,ZABC=45.【拓展】如图①-1中，连接AD.图①1••ZACEH-ZABD=180,..A,C,D,B四点共圆，ZDAB=ZDCB=30；，AB=(为口=<而，.•.EB=AB-AB=K1，74K/e,.「△ECB是等腰直角三角形,EB,BC=—=、3+10如图②中，同法可得BC= -1.综上所述，BC的长为卜？+1或⑤-1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.13.如图，AB是eO的直径，弦CDAB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点F,连接DF.(1)求证：DF是eO的切线；(2)连接BC,若BCF30,BF2,求CD的长.【答案】(1)见解析；(2)24【解析】【分析】(1)连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF/CDF=/DCF,由/CDO=/OCD,再证ZCDO+/CDB=/OCD+/DCF=90,°可得OD^DF,结论成立.(2)由/OCF=90°,/BCF=30：得/OCB=60°,再证AOC的等边三角形，得ZCOB=6O°,可得/CFO=30,所以FO=2OC=2OBFB=OB=OC=2在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE再推出CD=2CE.【详解】(1)证明：连接OD•.CF是。O的切线/OCF=90°••/OCD+ZDCF=90°•・直径ABL弦CD•.CE=ER即OF为CD的垂直平分线.•.CF=DF/CDF=ZDCF•.OC=OD,/CDO=ZOCD•••/CDO+/CDB之OCD+ZDCF=90°•••ODXDF••.DF是。O的切线(2)解：连接OD

・•/OCF=90,/BCF=30°/OCB=60°,.OC=OBAOC囱等边三角形，/COB=60°/CFO=30°.FO=2OC=2OB.FB=OB=OC=2在直角三角形OCE中，/CEO=90/COE=60CE3sinCOE————OC2.CF,3.CD=2CF2,314.如图，已知等边⑵(3)14.如图，已知等边⑵(3)FG的长；tan/FGD的值.【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形 .解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形 .△ABC,AB=16,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作

G,连结GD.（1）证明见解析；（