2019届河南省九师联盟高三1月质量检测数学(理)试题(解析版)

第第页共23页(2)若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求二面角A—AIM—B的余弦值.(2)为1。【答案】（1）3白⑵20【解析】（1）根据正弦定理求底面的面积，再由棱柱的体积公式求得体积，即可;根据题干条件得到以及图形特点得到 AM，平面ABB1A1再建立坐标系，求得二面角的余弦值即可.(1)因为/BAC=120°,AC=AB=2,SAaR=-x2x2«sinl20*-2x—J3所以2 2 .V三棱注A日匚-abq='&abc.AA]=&m3="3所以(2)在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2XAO<ABXcos/BAC2 2 1=2+2-2X2X2X(--)=122所以BC=2.出.因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点,所以因为/BAC=120°,AC=AB=2,所以/ACB=ZABC=30°.由余弦定理，得AM2=AC2+CM2—2XACXCMKcosZACB22M2之甲J34=2+{—)-2x2x—x—=-3 3 23AM=——所以3.所以CM=AM,所以/ACM=/CAM=30°,所以/MAB=/CAB—/CAM=120°—30°=90°,即AMLAB.易知AAJ平面ABCAM2平面ABC所以AAJAM.又因为ABAAA1=A,所以AML平面ABBA1.以A为原点，AMAB,AA分别为x,y,z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系:2坐则点A(0,0,0),M(m,0,0),Ai(0,0,3),B(0,2,0),- 2^3 .2色A]M=(——-3)BM=(——「2,。)所以3 , 3-yxo_3zo-。丁产¥。=口.设平面AiBM的法向量为m=(X0,y°,z°),则！5令Z0=2,得m=(*3,3,2),易得平面AA|M的一个法向量为n=(0,1,0)设二面角A-AiM-B的平面角为。，由题意，得0为锐角，则

v'27+9+4 20v'27+9+4 20|m||n|所以二面角A—AiWB的余弦值为20【点睛】这个题目考查了空间几何体的体积的计算，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离， 除以线段长度就是线面角的正弦值； 还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。2 2*V—■+—=120.已知点O为坐标原点，椭圆C:a0 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,版 涧离心率为,点I,J分别是椭圆C的右顶点、上顶点， AIOJ的边IJ上的中线长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点H(—2,0)的直线交椭圆C于A,B两点，若AF1XBF1,求直线AB的方程.2X2一+¥=1【答案】(1)2 (2)x—2y+2=0或x+2y+2=0/a2'1忖+b*=J3,【解析】(1)由直角三角形中线性质得到“二百，再根据条件得到=+ 求解即可；(2)设出直线AB,联立直线和椭圆得到二次方程，由 AFJBF1,得到1口「1•整理得(1+2k2)(X1+X2)+(1+k2)X1X2+1+4k2=0,代入韦达定理即可.【详解】(1)由题意得AIOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为 飞,所以“二旧.c板设椭圆C的半焦距为c,则=也ta=J2,解得

所以椭圆C的标准方程为2 .(2)由题知，点Fi的坐标为(一1,0),显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+2)(kw0)，点A(x1，y1)，B(X2,12联立[v=k(x+2),消去y,得(i+2k2)x2+8k2x+8k2—2=0,0<k2<-所以A=(8k2)2—4(1+2k2)(8k2—2)=8(1—2k2)>0,所以2.()8k 8k-2且 1+2*l+2kAFRF=0因为AFJBF1,所以附11则(一1一x1，一y1),(一1—x2,—y2)=0,1+x1+x2+x〔x2+y〔y2=0,1+x〔+x2+x[x2+k(x1+2)k(x2+2)=0,整理，得(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0.38k(1+k)(8k-2) 7(l+2k)(- )+ +l+4k=0即 「 । .y=-(x+2)y=*-(x+2)化简得y=-(x+2)y=*-(x+2)因为2都满足()式，所以直线 AB的方程为2或2即直线AB的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系， 所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是sM=-1+sM=-1+21.已知函数f(x)=ln(2+ax)(a>0),(1)若函数f(x)的图象在点(3,f(3))处的切线与函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行，求a,b之间的关系;(2)在(1)的条件下，若 b=a,且f (x) >mg(x)对任意xC[ 2,+8)恒成立，求实数m的取值范围.2+7a 1b= -【答案】(1) 2+工(2)(—8,勺【解析】(1)对函数求导，再根据在两点处的切线的斜率相等，得到f(3)=g'(1),m+2rnxh(x)=ln(2+2k) 进而得到参数的关系；(2)先由b=a求出参数值，令 1+K,则问题转化为h(x)>0对任意xC[2,+可恒成立，对m分情况，对h(x)求导研究函数的单调性，得到函数最小值，最小值大于等于 0即可.【详解】a b(l+x)-(1+bx)b-1f'(x)= B'W= ； = (1) 2+叫 (1+x)口+x),因为函数f(x)的图象在点(3,f(3))处的切线与函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行，所以f(3)=g'(1).日b-1 2+73所以2.3a4,化简得”辐.2+7ab= (2)由(1)得，2+3a,2+7a 1m= a=--若b=a,则2+也解得a=2或3(舍去，因为a>。).所以a=b=2.1+2*sW=~—所以f(x)=ln(2+2x), 1+x.令2+2x>0,得x>-1,则函数f(x)=In(2+2x)的定义域是(—1,十8)；1+2xsW=~—令1+xw0,得xw—1,则函数1+x的定义域是(―00,—1)u(—1,+8).1 m+2mx 1-- ln(2+ >0 --f(x)>mg(x)对任意xC[2,+8)恒成立，即 1+x 对任意xC[2,

+00)恒成立.ITI+2ITIX 1h(x)=ln(2+2x) --令 l*x,则问题转化为h(x)>0对任意xC[2,+8)恒成立.2m(l+x)-(m+2mx)x1 1mx+1-m - - zz (1+X)综上可知，实数m的取值范围是(—8,【点睛】这个题目考查了导数的几何意义， 以及恒成立求参的问题；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数综上可知，实数m的取值范围是(—8,【点睛】这个题目考查了导数的几何意义， 以及恒成立求参的问题；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。1m<-①当2,即x+1-m^0时，h'(x)>0且h'(x)不恒为0,TOC\o"1-5"\h\zm+2itix 1h(x)=ln(2+2k) --所以函数 ,'在区间[’+oo)上单调递增.+oo)上单调递增.m+2nn(--)1 1 2h(--)=ln(2+2x(--)) =0又 •11

工一 ms—所以h(x)>0对任意xC[2,+8)恒成立.故 2符合题意.x+1-m 1m>-h[x)= -< x<m-1②当2时，令(1+x)，得2 ；x+1-mh'(x)= >0令(1+x]，得x>nn-1.m+2mx 1h[x)=ln(2+2x)- --所以函数 1+x在区间[2,m_i)上单调递减，在区间( m-1,十8)上单调递增，111%斗一存在2,使h(x0)v0.故知h(x)>0对任意xC[2,+8)不恒成立.故 2不符合题意.h(m-1)<h(1%斗一存在2,使h(x0)v0.故知h(x)>0对任意xC[2,+8)不恒成立.故 2不符合题意.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(V=m-t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线 C的极1+sin6=一坐标方程为 且直线l经过曲线C的左焦点F.(1)求直线l的普通方程；(2)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.【答案】(1)x+2y+1=0(2)3【解析】(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线 C的普通方程，消去参数t可得到直线普通方程，再代入F点坐标可得到直线方程；(2)椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(&8S%sin0内接矩形的周长为L=2{“5cos8+25in削，化一求最值即可.【详解】U21+sin9=一(1)因为曲线C的极坐标方程为 P,即p2+p2sin29=2.将p2=x2+y2,psin0=y，代入上式，得TOC\o"1-5"\h\z2* 2 1一+V=1x2+2y2=2,即2 .2X2一+y=1所以曲线C的直角坐标方程为2 .于是c2=a2—b2=1,所以F(—1,0).2由(¥= 消去参数t,5x+2y=-mTOC\o"1-5"\h\z得直线l的普通方程为 2.2m?■一将F(―1,0)代入直线方程得 5.所以直线l的普通方程为x+2y+1=0.n— 0<6<—(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为( 也83,sinE( 2),所以椭圆C的内接矩形的周长为L=日+2而。)=4^引理+巾)(其中3仲=/),

故椭圆C的内接矩形的周长的最大值4a【点睛】这个题目主要考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程的化法， 以及椭圆参数方程的应用，参数方程的引入很好地将多元问题化为一元问题， 参数方程多数可以用于求最值或范围.23.已知函数f(x)=|x+1|.(1)若不等式f(x)引2奸1|—1的解集为A,且求实数t的取值范围；(2)在(1)的条件下，若乱“心，证明：f辿)>f㈤—f(—b).3【答案】(1)(工2](2)详见解析【解析】(1)零点分区间去掉绝对值，得到解集为{x|—1WxW1}由集合间的包含关系3—<t2得到一1W1—tvt—2W1,解得2 ;(2)原式等价于|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,两边展开，提公因式即可得证.【详解】(1)不等式f(x)引2x+1|—1,即|x+1|—|2x+1|+1>0.当x<-1时，不等式可化为一x-1+(2x+1)+1>0,解得x>-1,这时原不等式无解；1-14x£--当 2不等式可化为x+1+(2x+1)+1>0,解得x>-1,这时不等式的解1・1£X0一2.所以不等式不等式可化为 x+1—(2x+1)+1>0,解得x<1,这时不等式的解为所以不等式因为[1-t,f(x)>|2x+1|—1的解集为因为[1-t,3—<t2所以—1w1—t<t-2<1,解得2 .3即实数t的取值范围是(2,2].(2)证明：因为f(a)—f(b)=|a+1|—|—b+1|Wa+1—(—b+1)=|a+b|,所以要证f(ab)>f(a)-f(—b)成立，只需证|ab+