2016题型全归纳文科-第三章导数

第三章

导数

第一节

导数的概念与运算✎考纲解读1.利用导数的定义求一些简单函数的导数.2.利用求导公式与求导法则求函数的导函数.3.利用导数的几何意义求切线斜率和切线方程，这也是高考的热点问题.✎知识点精讲一、基本概念

1.导数的概念设函数

在

处附近有定义，如果

时，

与

的比

（也叫函数的平均变化率）有极限，即

无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫函数在

处的导数，记作即

2.导数的几何意义：函数在这定点处的切线斜率

函数

在

处的导数

，表示曲线

在点

处的切线

的斜率，即

，如图3-1所示.过点的切线方程

为 .同样可以定义曲线在

的法线为过点

与曲线在的切线垂直的直线.过点

的法线方程为

3.导数的物理意义:瞬时速度设

时刻一车从某点出发，在

时刻车走了一定的距离

.在

时刻，车走了

，这一段时间里车的平均速度为，当与很接近时，这个平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为

，即就是时刻的瞬时速度.图3-1二、基本初等函数的导数公式表3-1基本初等函数的导数公式表

，为正整数

，为有理数三、导数的运算法则(和、差、积、商)设

，

均可导，则（1）

（2）（3）

（4）

✎题型归纳及思路提示

题型34导数的定义【例3.1】设

存在，求下列各极限.

（1）

；（2） .【分析】 ，导数的定义中，增量

的形式是多

样的，但不论

选择哪种形式，

必须选择相应的形式.利用函数

在点

处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的

结构形式.【解析】（1）

（2）

【例3.2】求下列函数的导数.

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；（5）

；

（6）.【解析】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

（5）

（6）【评注】对于基本初等函数（指、对、幂、三角函数），可以直接根据导数

公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初

等函数的导数公式.

题型35求函数的导数

按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使用.【分析】【解析】

【评注】

利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后再简化运算过程.题型36导数的几何意义

【分析】

【解析】

第二节

导数的应用✎考纲解读

1.了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值.3.生活中的优化问题，会利用导数解决某些实际问题.✎知识点精讲

基本概念与性质

1.利用导数的符号判断函数的单调性一般地，函数的单调性与其导数正负有如下关系：在某个区间

内，如果

，那么函数

在这个区间内单调递增；如果

，那么函数

在这个区间内单调递减.

2.函数极值的概念

设函数在点连续且，若在点附近的左侧

，右侧，则为函数的极大值点；若在点附

近的左侧，右侧，则为函数的极大值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个

定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值

大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值

点.3.函数的最大值、最小值若函数

在闭区间

上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在

上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点与区间端点处取得.

✎

题型归纳及思路提示题型37利用导函数研究函数的图像【例3.6】在同一直角坐标系中，函数

与

的图像不可能的是（

）.A.B.C.D.【分析】本题重点考查二次函数与三次函数的图像的判断，需要借助导数研究.

当

时，

与

的图像，如图选项D；当

时，

二次函数的对称轴方程.

三次方程

，

，令

，得

，

，所以函数

的两个极值点分别为

，.

若

时，

；当

时，

，即二次函数

的对称轴在函数的两个极值点之间.观察选项A，B，C，选项

B不符合题意.故选B.评注

本题的难点在于当

时，利用三次函数的导函数

研究其图像的性质（单调性、极值点）以及与二次函数对称轴的比较.

题型38利用导数研究函数的单调性

【例3.7】求函数

的单调区间.

【解析】 ，令得或

如表3-2所示.的单调区间为和

单调减区间为极大值极小值表3-2【例3.8】设函数

，在

处取得极值，且曲线

在点处的切线垂直于直线

.

（1）求

、

的值；

（2）若函数

，讨论

的单调性.【解析】（1）由

，故

，

又

在

处取得极值，故

，从而

，

由曲线

在点

处的切线与直线

垂直

可知该切线斜率为

，即

，有

，从而

（2）由（1）知

，

故

，导函数的符号由

来

确定.①当

，即当时，在上恒成立，故函数在上为增函数；②当

，即当时，方程

有两个不相等的实根

，，当变化时，如表3-3.当

时，，故在

上是增函数；当

时，

故在

上为减函数；当

时，故在

上为增函数.，综上所述，当时，在上为增函数；当

时，在

和

上为增函数，在

为减函数.

+0-0+极大值极小值表3-3

【解析】

极大值极小值

极大值极小值

极小值

极大值

【评注】

【例3.10】已知函数

在区间

内单调递增，求的

取值范围.【解析】 在

内恒成立.

则

在内恒成立，得

所以的取值范围是【评注】二次函数模型是我们在解决导数问题中常用的模型，经常用来类比

解决三次函数（其导数为二次函数）以及函数的导数只有一个极值

点的函数（类二次函数）的某些问题.【例3.11】已知函数 .（1）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是

求，的值；

（2）若函数在区间

上不单调，求

的取值范围.【解析】（1）由函数

的图象过原点，得

，

又

，

在原点处的切线斜率

则

，所以或.故

（2）由

，得

，

，

又

在

上不单调，则

在内有实根，

即有

或

解得

或

综上，的取值范围是【例3.12】设函数

，若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围.【分析】函数在给定的区间存在单调区间，转化为导函数在给定区

间上大于零有解.【解析】依题意，

有解，得在

区间上有解，则

，，

令

，

，易知在上为增函数，

所以最大值为.题型39利用导函数研究函数的极值与最值【例3.13】设函数，则（）. A.为的极大值点B.为的极小值点 C.为的极大值点D.为的极小值点【分析】求函数的极值点，即求解导函数的变号零点.【解析】因为，所以 ,得

当

时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

因此，当时，函数取得极小值.故选D.

题型40方程解（函数零点）的个数问题【例3.16】设

为实数，函数

.

（1）求

的极值；

（2）若方程

有3个实数根，求

的取值范围；

（3）若

恰好有两个实数根，求的值.【解析】（1）

，令，得.如表3-9所示.

可知在和上单调递减，在上单调递增，

极小值为，极大值为——极小值极大值表3-9（2）若要有个实数根，只需要，如图3-7（a）所示.

即，得

，故的取值范围是.（3）若方程

恰好有两个实数根，则

或

，如图3-7（b）和图3-7（c）所示.即

或

，解得

所以当有两个根时，【评注】本类题要结合函数用单调性和极值入手，体现数形结合的数学思想.图3-7题型41不等式恒成立与存在性问题【例3.17】已知函数

.

（1）求的最小值；

（2）若对于所有都有

，求实数的取值范围.【分析】第（2）问可用分离变量的方法求解.【解析】 的定义域是.

（1），令，解得；

当

在

单调递减，在

上单调递增.

所以，当

时，

的最小值为

.

（2）依题意，得

在上恒成立.即不等式

（2）依题意，得

在上恒成立.即不等式

对于恒成立

，即

设

，则

，令得

当时，因为

，故在上是增函数，

当时，因为

，故在上是减函数.

所以在上的最小值是.故的取值范围是【评注】第（2）问的解法一应用分离变量的方法解题，使得构造的新函

数中不含参数，避免了对参数的分类讨论.题型42利用导数证明不等式【例3.21】设

为实数，函数

，

.