小学奥数几何难题

PAGEPAGE7/7小学奥数几何难题类型一：旋转、对称类（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）在ABC中，ABAC9cm，BAC120PBC上使得CP6cmQ在AC上使得CPQAPBBPQ的面积．QAQB P C【考点】图形对称【答案】13.5cm2【分析】AAOBCBC于点OPQAOP'Q，P'QAP'P'Q，如下图所示：Q'QQ'QB P' O P CCPQAPB，又APBAPC，CPQCPA，PQPA，S S S S P'OPOCPBPCPBP，APQ P'PQ APC P'QC∴S△BPQ

S△P'QC

S△

C30AO4.5CP6

△APC64.5213.5，∴S△BPQ

13.5．（供参考）作ADBC交BC于点D，作QEBC交BC于点E．QAQB D P E CAPBQPCABPQCP，∴△CQP∽△BAPAD、QE分别是△ABP、BPADBPQECPAD．而又S△BPQ

CP QEBPQE2CPAD264.5213.5．【总结】本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，解决问题．PQRS有三个顶点分别在ABCQCPQRS的面积．A7cm

S 9cm6cm P

R2cmB Q C【考点】图形旋转27.2cm2PR

7 9 63S S ，△APR

△

13 11

△ABCS

6 1 3 S ，

2 1 1S S ．△BPQ

△

13 2 A

△

△CQR

△

11 2

△ABCSPRB Q C

S S S

1

63

1S△PQR

△

△

△BPQ

△CQR

143 13 11

△ABC34 68 S

，S S S143

△

正方形PQRS

△PQR

143

△

APSR

△BPQ

△CQRS1S

68143

△

75

S ．△ABC 如下图所示，将△BPQP90，至△OPS位置，同样的将R90△OSRBQCQPSORSOPQBRQC90，所以两个阴影三角形恰好构成完整的SPORAOOPSAPSBPQAPS90，所以APOARO1 1

APSR

S△BPQ

S△CQRSAPSR

S△OPS

S

SAPOR

S△

S△

7692302 2S△ABC

75 14330 ，143 5A

正方形

2143 68 136 27.2cm2．5 143 5SPO RB Q C【总结】正方形中的旋转问题．类型二：勾股、弦图类（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）ABCABBCCADEFADAFFCEC△DEF成为等腰直角三角形、BE3cm、DB1cmABC的面积．AFDFB E C【考点】勾股定理【答案】24FGBCBCG，易知△DBE和EGF完全相同（FEG90，∴DEBEFG，又∵DEFE，∴△DEB≌△EFG）AFDFB E G CEGDB1cmFGEB3cmFGABFAC的中点，GBCCGBG4cmCECFAFAD5cm．因此有S BCAB286224cm2．△ABC【总结】本题其实是弦图的应用：AFDFB E G C图中即构成了一个标准的弦图．其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题．如图，P是正方形ABCD外面的一点，PB12厘米，△APB的面积是90平方厘米，△CPB的面积是48ABCD的面积是多少平方厘米？BA DBCP【考点】勾股与弦图【答案】289平方厘米【分析】将BP反向延长如下图所示构造弦图，EHGEHGBFCPBPAF

△

PBAF212AF290，AF15CG8【总结】本题构造弦图是关键点！

正方形ABCD

15282=289平方厘米．（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）P在直角ABC内，且BABCPB10厘米，ABC的面积是60平方厘△BPC的面积是30平方厘米，求ABC的面积．APB CP【考点】勾股与弦图【答案】90平方厘米【分析】如下图所示构造弦图：HEGHEGFPB C以BP为底，△ABP的高为AF，有：S△ABPAF12CG6

BPAF210AF260，12262180平方厘米，正方形ABCD所以S△ABC

180290平方厘米．【总结】本题和上一题本质相同，不过是点P的位置发生了改变．（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）下图是一个面积为18cm2、CD7cmABCD．其两条对角线BDACABCDBD10cmACBCBCA90时，求ACD积．ADAB C【考点】勾股定理【答案】7.5平方厘米DEBCBCEACBCaCEbDEc．ADAcB a C b E根据勾股定理：b2c2

CD2

49，c2+ab

BD2100，两式想减，结a22ab51……①S正方形ABCD

S△

S△

a22ab218，整理得a2ab36……②②ab15

△

ab21527.5平方厘米．【总结】本题貌似上两题类似，实则不然．上面两题告诉我们的是两个小三角形的面积，而此题是整个的面积．因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转化为做垂线利用勾股定理解决问题．自ABCPABBCCAFDEAFFB、BD、DC、CE、EA为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依SS1 2

、SS3

、SS5

．如果SS6

2，SS4

1S1

S的2值．AAS1S6FSP2ES5BDCS3S4【考点】勾股定理【答案】3APBPCPabcAFmnp，CDqCErAEs，如下图所示：AAS1msS6FaS2PncErS5bBpS3DqCS4∵SS6 5

2，即s2r

2a2

s2PE2c2r2PE2，两式相减得a2c2s2r22．同理有c2b2q2p2，因而SS m2n21 a2b2a2cc22211 【总结】正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理．类型三：等积变化类如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若AB长为3.6厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米？HGHGAB C【考点】等积变化模型【答案】1134平方厘米【分析】连接CG、AH、ADGMNDEEDMFCNMHMHGN AB C设正方形边长为a，那么每一块的面积都是1a2，即有GMAF53 3 3 1 9

2a，所以52GNACa有S aa a2又S

a 2，5 △ACG

5 5 2

A

A

B △ 5所以S

2911，所以GH:HDS :

11 1 a2:a2△CHG

5 50 50

△CHG

△CDH

50 53 1 3 311:10

S S a2aa a2，所以有：△GDA ACDG △ACD 511 3 11 11

2 5 10S△AHG

S△

a2 a221 10 21 70

，所以有：S △ABH

SAB111357070