初等几何变换变换课件

利用初等几何变换解决问题利用初等几何变换解决问题1

合同变换轴对称平移旋转相似变换位似初等几何变换合同变换相似变换合同变换轴对称平移旋转相似变换位似初等几何变换合同变换相2

计算证明求轨迹解作图题初等几何变换的应用初等几何变换的应用3

出现角平分线的题目

求最小值的题目轴对称：轴对称：4平移变换可以将原图中的某些线段和角平移到一个新的位置，从而把比较分散的已知条件集中到一起，使问题得以解决。线段的平移图形的平移平移变换平移变换可以将原图中的某些线段和角平移到一个新的位置，5

旋转变换：旋转变换用于题中出现相等的线段，如等腰三角形、等边三角形、正方形、一个线段被中点分成两个相等部分等。在解题中一般旋转60°、90°、120°.旋转变换：旋转变换用于题中出现相等的线段，如等腰三角形、等6相似变换用于题设条件中出现壁纸或乘积时，要联想并寻找相似三角形。相似变换相似变换用于题设条件中出现壁纸或乘积时，要联想并寻找相7例1：设AD为⊿ABC中角A的平分线，P为AD上任意一点，若AB>AC,求证AB-AC>PB-PC例1：设AD为⊿ABC中角A的平分线，P为AD上任意一点，若8例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于D,求证：CD>DA例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于9例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a,∠BAD=120°,点P在BD上，则PC+PE的最小值是多少。例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=10

例4、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径OC⊥AB,点D在弧AC上，弧AD=2弧DC，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是多少。例4、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径O11例5、∠AOB=45°,PO=10，在角两边OA、OB上分别有两点Q、R，则⊿PQR周长的最小值是多少？例5、∠AOB=45°,PO=10，在角两边OA、OB上分12例1、四边形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，点M、N分别是AD、BC的中点，试证明MN=½(BC-AD)例1、四边形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，点M13例2、六变形ABCDEF中，AB∥DE、BC∥EF、CD∥AF，对边之差BC-EF=ED-AB=AF-CD>0，求证该六边形的各角均相等。例2、六变形ABCDEF中，AB∥DE、14例3、如图，在⊿ABC中，D、E是BC边上的两点，BD=CE,试说明AB+AC>AD+AE初等几何变换变换课件15例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC延长线上取一点E,使CE=BD,连接的，则DE>BC例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰A16例7、任意四边形中一双对边中点的连线不大于另一双对边和的一半。例7、任意四边形中一双对边中点的连线不大于另一双对边17初等几何变换变换课件18初等几何变换变换课件19例1、P是等边三角形ABC所在平面上的一点，试说明PA≤PB+PC例1、P是等边三角形ABC所在平面上的一点，20初等几何变换变换课件21例2、在四边形ABCD中，∠ABC=30°∠ADC=60°AD=DC证明：BD²=AB²+BC²例2、在四边形ABCD中，∠ABC=30°∠ADC=60°22(费马问题)费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点）

费马问题(费马问题)费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形23初等几何变换变换课件24费马点怎么找呢？费马点怎么找呢？25三内角皆小于120°的三角形。三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.

三内角皆小于120°的三角形。26在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。四边形的费马点在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。四边27例3、五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°AB=CD=AE=BC+DE=1，求这个五边形的面积。例3、五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°AB=28例3，P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a，PC=3a(a>0)（1）∠APB的度数（2）正方形的边长（结果保留根号）例3，P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a，29例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求（1）⊿BDE和⊿DCF的面积之和。（2）求⊿DEF的面积例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC边上的中30证明：因为AC=AG,AE=AB,∠GAB=∠CAE,所以

△CAE≡△GAB(有两边及其夹角对应相等)，所以∠ACE=∠AGB又因为∠BPC=∠APG所以∠GAC=∠CQP=90°故BG⊥CE又BG∥MKHM∥EC所以MH⊥MK例4：在△ABC两边AB和AC上向外做正方形ABDE和ACFG，设H、K、M各为BE、CG、BC的中点。证明MH⊥MK。分析：因H、M是BE、BC的中点，故MH∥CE。同理MK∥BG。所以问题归结证CE⊥BG。证明：因为AC=AG,AE=AB,∠GAB31例5、在凸四边形的每一边上向外做正方形，求证两双对边上正方形中心的连线相等且垂直。例5、在凸四边形的每一边上向外做正方形，求证两双对边上正方形32例6、两个正方形ABCD、AKLM有一个公共点A，求证这两个正方形的中心以及线段BM、DK的中点是某正方形的顶点。例6、两个正方形ABCD、AKLM有一个公共点A，求证这两个33例7、设⊿ABC是正三角形，如图，在BC、CA、AB上各取一点A′、B′、B′，使AA′=CB′=AC′设AA′、BB′、CC′构成⊿A″B″C″。求证⊿A′B′C′和⊿A′′B″C″也都是正三角形，并且有相同的重心。例7、设⊿ABC是正三角形，如图，在BC、CA、AB34(托雷密定理)圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和。假设ABCD为圆内接四边形，AC、BD为其对角线。求证AC·BD=AB·CD+AD·BC(托雷密定理)圆内接四边形中两对角线之积等于两35定理：四边行内接于一圆的充要条件是两对角线之积等于两双对边乘积之和。定理：四边行内接于一圆的充要条件是两对角线之积等于两36由于图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.因此,我们在遇到一些比较难解决几何问题中,如果能够充分利用图形变换,把图形位置进行适当的改变,从而达到优化图形结构，进一步整合图形信息的目的，就会使得复杂的问题得以创造性地解决．图形变换的作用由于图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位37谢谢大家谢谢大家38例2、O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内任意一点。求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC例2、O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠CO39例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、40对一般四边形ABCD,有AB·CD+AD·BC≥AC·BD对一般四边形ABCD,有AB·CD+AD·BC≥AC41设P为△ABC内任一点，将△APC绕A点旋转，使C转到BA延长线上的C′点，P转到P′．这时的旋转角度为18O°-A≤60°，所以PP′≤AP．于是PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C≥BC′=AB+AC．上式等号当且仅当P点与A点重合时成立．这就是说，当A≥120°时，极值点P是顶点A．综上可知，当△ABC的每一内角均小于120°时，使PA+PB+PC最小的极值点是三角形的费马点；当有一个内角≥120°时，极值点是最大角的顶点．设P为△ABC内任一点，将△APC绕A点旋转，使C转到42例6、在⊿ABC中，点D是BC边上的中点，求证：AD≤½(AB+AC）例6、在⊿ABC中，点D是BC边上的中点，43变换的作用：借助变换,可以使问题中的条件相对集中,从而起到化难为易,出奇制胜的效果，同时变换还是引出辅助线的重要思想方法。变换的作用：借助变换,可以使问题中的条件相对集中,44证明：由于∠AOB=∠BOC=∠COA=120°故将△AOB绕点B旋转60°得△A’O’B,△BOO’为正三角形∴COO’A’四点共线，即将CO,BO,AO转化为一直线段CA’,要证明PA+PB+PC≥OA+OB+OC只需证PA+PB+PC≥CA’在上述旋转过程中，点P变为点P’,△PBP’也是正三角形，且△A’P’B≌△APB故PA+PB+PC=A’P’+P’P+PC显然A’P’+P’P+PC≥AO+OB+OC证明：由于∠AOB=∠BOC=∠COA=120°故将△AOB45例4、在一个任意给定的三角形的每一边上，向外作一个正方形，这三个正方形中不与这三角形顶点重合的六个顶点构成一个六变形。这个六边形显然有三条边等于这个三角形的边。试证：其余三边中每一边等于这个三角形相应中线的两倍。例4、在一个任意给定的三角形的每一边上，向外作一个正方形，这46利用初等几何变换解决问题利用初等几何变换解决问题47

合同变换轴对称平移旋转相似变换位似初等几何变换合同变换相似变换合同变换轴对称平移旋转相似变换位似初等几何变换合同变换相48

计算证明求轨迹解作图题初等几何变换的应用初等几何变换的应用49

出现角平分线的题目

求最小值的题目轴对称：轴对称：50平移变换可以将原图中的某些线段和角平移到一个新的位置，从而把比较分散的已知条件集中到一起，使问题得以解决。线段的平移图形的平移平移变换平移变换可以将原图中的某些线段和角平移到一个新的位置，51

旋转变换：旋转变换用于题中出现相等的线段，如等腰三角形、等边三角形、正方形、一个线段被中点分成两个相等部分等。在解题中一般旋转60°、90°、120°.旋转变换：旋转变换用于题中出现相等的线段，如等腰三角形、等52相似变换用于题设条件中出现壁纸或乘积时，要联想并寻找相似三角形。相似变换相似变换用于题设条件中出现壁纸或乘积时，要联想并寻找相53例1：设AD为⊿ABC中角A的平分线，P为AD上任意一点，若AB>AC,求证AB-AC>PB-PC例1：设AD为⊿ABC中角A的平分线，P为AD上任意一点，若54例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于D,求证：CD>DA例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于55例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a,∠BAD=120°,点P在BD上，则PC+PE的最小值是多少。例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=56

例4、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径OC⊥AB,点D在弧AC上，弧AD=2弧DC，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是多少。例4、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径O57例5、∠AOB=45°,PO=10，在角两边OA、OB上分别有两点Q、R，则⊿PQR周长的最小值是多少？例5、∠AOB=45°,PO=10，在角两边OA、OB上分58例1、四边形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，点M、N分别是AD、BC的中点，试证明MN=½(BC-AD)例1、四边形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，点M59例2、六变形ABCDEF中，AB∥DE、BC∥EF、CD∥AF，对边之差BC-EF=ED-AB=AF-CD>0，求证该六边形的各角均相等。例2、六变形ABCDEF中，AB∥DE、60例3、如图，在⊿ABC中，D、E是BC边上的两点，BD=CE,试说明AB+AC>AD+AE初等几何变换变换课件61例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC延长线上取一点E,使CE=BD,连接的，则DE>BC例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰A62例7、任意四边形中一双对边中点的连线不大于另一双对边和的一半。例7、任意四边形中一双对边中点的连线不大于另一双对边63初等几何变换变换课件64初等几何变换变换课件65例1、P是等边三角形ABC所在平面上的一点，试说明PA≤PB+PC例1、P是等边三角形ABC所在平面上的一点，66初等几何变换变换课件67例2、在四边形ABCD中，∠ABC=30°∠ADC=60°AD=DC证明：BD²=AB²+BC²例2、在四边形ABCD中，∠ABC=30°∠ADC=60°68(费马问题)费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点）

费马问题(费马问题)费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形69初等几何变换变换课件70费马点怎么找呢？费马点怎么找呢？71三内角皆小于120°的三角形。三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.

三内角皆小于120°的三角形。72在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。四边形的费马点在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。四边73例3、五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°AB=CD=AE=BC+DE=1，求这个五边形的面积。例3、五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°AB=74例3，P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a，PC=3a(a>0)（1）∠APB的度数（2）正方形的边长（结果保留根号）例3，P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a，75例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求（1）⊿BDE和⊿DCF的面积之和。（2）求⊿DEF的面积例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC边上的中76证明：因为AC=AG,AE=AB,∠GAB=∠CAE,所以

△CAE≡△GAB(有两边及其夹角对应相等)，所以∠ACE=∠AGB又因为∠BPC=∠APG所以∠GAC=∠CQP=90°故BG⊥CE又BG∥MKHM∥EC所以MH⊥MK例4：在△ABC两边AB和AC上向外做正方形ABDE和ACFG，设H、K、M各为BE、CG、BC的中点。证明MH⊥MK。分析：因H、M是BE、BC的中点，故MH∥CE。同理MK∥BG。所以问题归结证CE⊥BG。证明：因为AC=AG,AE=AB,∠GAB77例5、在凸四边形的每一边上向外做正方形，求证两双对边上正方形中心的连线相等且垂直。例5、在凸四边形的每一边上向外做正方形，求证两双对边上正方形78例6、两个正方形ABCD、AKLM有一个公共点A，求证这两个正方形的中心以及线段BM、DK的中点是某正方形的顶点。例6、两个正方形ABCD、AKLM有一个公共点A，求证这两个79例7、设⊿ABC是正三角形，如图，在BC、CA、AB上各取一点A′、B′、B′，使AA′=CB′=AC′设AA′、BB′、CC′构成⊿A″B″C″。求证⊿A′B′C′和⊿A′′B″C″也都是正三角形，并且有相同的重心。例7、设⊿ABC是正三角形，如图，在BC、CA、AB80(托雷密定理)圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和。假设ABCD为圆内接四边形，AC、BD为其对角线。求证AC·BD=AB·CD+AD·BC(托雷密定理)圆内接四边形中两对角线之积等于两81定理：四边行内接于一圆的充要条件是两对角线之积等于两双对边乘积之和。定理：四边行内接于一圆的充要条件是两对角线之积等于两82由于图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.因此,我们在遇到一些比较难解决几何问题中,如果能够充分利用图形变换,把图形位置进行适当的改变,从而达到优化图形结构，进一步整合图形信息的目的，就会使得复杂的问题得以创造性地解决．图形变换的作用由于图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位83谢谢大家谢谢大家84例2、O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内任意一点。求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC例2、O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠CO85例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、86对一般四