-2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编-12.坐标系与参数方程

2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编12．坐标系与参数方程一、解答题【2018，22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为ykx2。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30（I）求C2的直角坐标方程；（II）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。【2017，22】在直角坐标系x3cos,为参数），直线l的参数方程为xOy中，曲线C的参数方程为sin（y,xa4t,y1（t为参数）．t,（1）若a1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．【2016，23】在直角坐标系xOy中，曲线C1xacost,的参数方程为1(t为参数，a0)．在以坐标yasint,原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:4cos．（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为 0，其中 0满足tan0 2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【2015，23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=222，圆C2：x1y21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）若直线C3的极坐标方程为R，设C2与C3的交点为M,N，求C2MN的面积.422x2t【2014，23】已知曲线C：xy1，直线l：2（t为参数）.49y2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值 .【2013，23】已知曲线C1的参数方程为x45cost,x轴的正半轴为y5(t为参数)，以坐标原点为极点，5sint极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0θ≤＜2π)．【2012，23】已知曲线C1x2cos的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，y3sin极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2。正方形ABCD的顶点都在C2上，且逆时针次序排列，点 A的极坐标为（2， ）。3（1)求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求 |PA|2 |PB|2 |PC|2 |PD|2的取值范围。【2011，23】在直角坐标系x2cosxOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）y22sinuuuvuuuvM是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线极点的交点为 A，与C2的异于极点的交点为 B，求AB.

x轴的正半轴为A，B，C，D依与C1的异于32011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编12．坐标系与参数方程（解析版）一、解答题（2018·新课标Ⅰ，文22）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为ykx2。以坐标原点为极点，x22cos30轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（I）求C2的直角坐标方程；（II）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。【解析】（1）由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24．（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆．由题设知，C是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l，y轴左边的射线11为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为|k2|2，故k40．2，所以k21或k3经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k4l2与C2有两个公时，l1与C2只有一个公共点，3共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k2|2，故k0或k4k21．3经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k4时，l2与C2没有公共点．43综上，所求C1的方程为y2．|x|3【基本解法2】（代数法）ykx2x2kx22x12y21441k2x22x4kx10x0x01k2x224kx101k2x224kx10交点个数等于方程组解的个数和，显然每个方程组最多有两个解。所以只能一个组一个解，一组两个解。024k2k2041k10,k24,k3433经检验可知：当k=0时，曲线C1的方程为y2，与圆只有一个交点，故舍去。当k4时，曲线C1的方程为y4x2，与圆没有交点，33当k4时，曲线C1的方程为y4x2，与圆有且只有三个交点，33所以曲线C1的方程为y4x2。3【2017，22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos,为参数），直线l的参数方程为ysin,（xa4t,y1（t为参数）．t,（1）若a1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．【解析】（1）a1时，直线l的方程为x4y30．曲线C的标准方程是x2y21，9x4y30x3x21252124联立方程2，解得：或，则C与l交点坐标是3，0，xy21y024和25y25925（2）直线l一般式方程是x4y4a0．设曲线C上点p3cos，sin．则P到l距离d3cos4sin4a5sin4a317，其中tan．174依题意得：dmax17，解得a16或a8．【2016，23】在直角坐标系xOy中，曲线C1xacost,的参数方程为1(t为参数，a0)．在以坐标yasint,原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:4cos．（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为 0，其中 0满足tan0 2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解析】：⑴xacost（t均为参数）,∴x2y12a2①y1asint∴C1为以0，1为圆心，a为半径的圆．方程为x2y22y1a20∵x2y22，ysin∴22sin1a20即为C1的极坐标方程,⑵C2：4cos,两边同乘得24cos2x2y2，cosxx2y24x,即2y24②,C3：化为普通方程为x2y2x由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3①—②得：4x2y1a20，即为C3,∴1a20,∴a1xOy中，直线C1：x=2，圆C2：x22【2015，23】在直角坐标系1y21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）若直线C3的极坐标方程为4R，设C2与C3的交点为M,N，求C2MN的面积.解析：（I）因为xcos,ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.（Ⅱ）将=22cos4sin4，0得23240，解得1=22，代入4112=2，|MN|=1－2=2，因为C的半径为1，则CMN的面积21sin45o=.222222x2t【2014，23】已知曲线C：xy1，直线l：2（t为参数）.49y2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值 .x2cos【解析】：.(Ⅰ)曲线C的参数方程为：（为参数），y3sin直线l的普通方程为：2xy60（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为d56，4cos3sin5d255sin6，其中为锐角．且tan4则|PA|05.sin303当sin1|PA|取得最大值，最大值为225；时，5当sin1时，|PA|取得最小值，最小值为25.5【2013，23】已知曲线C1的参数方程为x45cost,x轴的正半轴为y5(t为参数)，以坐标原点为极点，5sint极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0θ≤＜2π)．x45cost,解：(1)将5消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，y5sint即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.xcos,222将sin代入x＋y－8x－10y＋16＝0得ρ－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.y所以C1的极坐标方程为2θ－10ρsinθ＋16＝0.ρ－8ρcos(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.x2y28x10y160,解得x1,x0,由y22y0y1或x2y2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,π，2,π.42【2012，23】已知曲线C1的参数方程为x2cosx轴的正半轴为y（为参数），以坐标原点为极点，3sin极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2。正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。3（1)求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围。【解析】（1）曲线C1的参数方程x2cos化为y3sin直角坐标方程为x2y21，49曲线C2的极坐标方程 2化为直角坐标方程为 x2 y2 4，因为点A的极坐标为（2，3），所以点B的极坐标为（2，5），点C的极坐标为（2，4），点D的极坐标为（2，11），636因此点A的直角坐标为（1，3），点B的直角坐标为（3，1），点C的直角坐标为（－1，－3），点D的直角坐标为（3，－1）。（）设（2cos，3sin），则22222P|PA||PB||PC||PD|(2cos1)2(3sin3)2(2cos3)2(3sin1)2(2cos1)2(3sin3)2(2cos3)2(3sin1)2(2cos1)2(3sin3)2(2cos3)2(3sin1)2(2cos1)2(3sin3)2(2cos3)2(3sin1)220sin232[32,52]。因此|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围为[32，52]。x2cos【2011，23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为22sin（为参数）yuuuvuuuvM是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ