最小二乘,切比雪夫,拉格朗日,牛顿,样条差值及仿真

PAGEPAGE11第一题：曲线拟合最小二乘法和切比雪夫的相同和不同，以及适用的场合背景及意义：在很多日常生活以及科研活动中，我们需要对一些离散的点集进行拟合，使得拟合的曲线尽量多的穿过所给出的离散点，并且误差小。从而通过拟合的函数，找出离散点的规律，以此进行进一步的研究。下面，就最小二乘法和切比雪夫两种拟合方法进行研究和分析。1、最小二乘法它的标准是，所求得的拟合函数与给出的实际离散点之间的误差平方和最小。公式为：其中是规定区间上的线性无关函数族，。为了使问题提法更具一般性，在各自的离散点的区间中添加权函数以表示各个离散点数据的比重不同。要想求出函数，就要求出其各阶系数，转而变成求多元函数极小点其中：取的问题。为了求取极值，其必要条件为简化上式可得到矩阵形式其中，，要想使所求极值有唯一解，就要求非奇异。又因的组所组成向量为非奇异，则为非奇异，故而存在唯一的解使得为所求最优解。例题：在相同离散点下用最小二乘法完成曲线拟合程序及结果如下clearall;clc;x0=1:10;y0=[1.13.59.72.69.46.55.62.16.55.9];plot(x0,y0,'o');holdon;x=1:0.1:10;holdon;q=polyfit(x0,y0,3);fori=1:length(x);y1(i)=q(4)+q(3)*x(i)+q(2)*x(i)*x(i)+q(1)*x(i)*x(i)*x(i)plot(x(i),y1(i),'*');holdon;end阶次为一的时候拟合曲线阶次为二的时候拟合曲线阶次为三时拟合曲线分析：最小二乘法的拟合需要提前确定离散点分布情况的阶次，即使是相同的离散点所拟合的多项式阶次不同所得曲线会有很大差异，并且当离散点的规律超过三次多项式的时候所拟合曲线的误差就会很大并出现病态问题。所以最小二乘法应用范围还是很有限的，只有离散点规律简单的时候才能使用，离散点规律过于复杂用最小二乘法拟合出来的曲线误差会非常大。2、切比雪夫切比雪夫算法是借助于牛顿差值算法（下面有提及），首先设定所求拟合曲线对于所给离散点的各阶差商为h，算出拟合曲线在各个离散点上的值由牛顿公式求出：再次计算和各个离散点各阶差值，检验是否在所给要求h的范围内，如果没有达到则更换离散点值并再次计算，直到满足要求为止。分析：切比雪夫拟合法借助于牛顿差值，使得拟合曲线各阶差值在所规定的范围内，这样的指标使得拟合曲线误差很小所得拟合曲线准确。但如果拟合的曲线差值达不到要求拟合曲线还要从新计算，这使得计算起来比较繁琐。分析其结果和牛顿法类似。在数据两端拟合曲线的波动会变大。但次算法可以最大限度的降低龙格现象。和最小二乘法的比较见下面牛顿差值分析。第二题：拉格朗日差值、牛顿差值和样条差值三种差值方法的研究与分析背景和意义：许多实际问题中我们都会用到函数来表示某种实验规律的数据关系。然而在实验室中我们往往只能得到一些离散点的值却不能准确的推导出其实际的函数，或者我们知道他们的规律函数，但因为函数很复杂，在计算某些点的值得时候相当繁琐困难。因此我们利用差值的方法求出一个与很接近的简单的函数，用所求的近似的函数代替原有函数进行计算和研究就会使得工作量变小。1、拉格朗日差值（1）在给定区间中只有两个值，阶次为一时所给两点为，求解线性差值多项式，满足，。由此可见的几何意义为通过所给两点的直线。得（点斜式）或者，（两点式）由两点式可以看出，是由两个线性函数，相加而得。在所给节点上，，称为线性插值基数。（2）在给定区间有三个值，阶次为二时所给三个点为，求解线性差值多项式，满足，根据线性差值基数的性质，有可推得：（3）在给定区间有n+1个值，阶次为n时从上面的推理得其中（4）误差计算设误差为，又因误差在节点上为零，则，则有上式两边同时求n+1阶倒数则有于是得（5）程序和仿真lfun.mfunctionlfun(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;fork=1:np=1;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endplot(x,y,’--’)（6）分析拉格朗日算法非常精细，把每个点的值都会算到其中。但是每当增加几个点或者去除几个误差比较大的点的时候，公式的每一项都得从新计算，在应用中很不简便。拉格朗日算法虽然精细，但是在大量点集中得出的多项式中阶次比较高，计算量大，虽然在所给定的点中误差为零，但在点集的开始和结束段所拟合的曲线波动很大，数值不稳定，使得误差变大，一般的解决办法是分段进行拉格朗日差值计算，使区间减小，以方便在计算中添加点或者去除点，减小误差。2、牛顿差值（1）均差均差的公式为一阶均差：二阶均差：K阶均差：（2）各阶牛顿差值根据均差形式，我们可以得到一阶牛顿差值形式为：二阶差值形式为同理推得（3）误差误差为（4）举例和仿真nfun1.mfunctionfx=nfun1(x0,y0,x)n=length(x0);a(1)=y0(1);fork=1:n-1d(k,1)=(y0(k+1)-y0(k))/(x0(k+1)-x0(k));endforj=2:n-1fork=1:n-jd(k,j)=(d(k+1,j-1)-d(k,j-1))/(x0(k+j)-x0(k));endendforj=2:na(j)=d(1,j-1);endDf(1)=1;c(1)=a(1);forj=2:nDf(j)=(x-x0(j-1)).*Df(j-1);c(j)=a(j).*Df(j);endfx=sum(c);（5）分析牛顿差值运用均差的方法来推断离散点的规律，使得推算出的结果误差小，并且在添加离散点时不用重新计算使用起来方便。但是计算量比较大。和拉格朗日算法有着相同的弊端，即在离散点的开始和末尾处所拟合的曲线误差很大。此算法适用于离散点中间部分的差值估计，而对两侧的计算不太适合。3、样条差值样条差值一般取三次样条函数就能满足工程的需要，在定义域区间中有。因为样条函数为三次的，所以在定义域区间内必是连续的。设，，并且，根据朗格朗日定力，则有其中。对做两次积分则有可以求出，得令得出令得到M的关系式为：进而，问题变为求取未知数M的问题。在给定条件中的节点选为处的N+1个节点，所以所求未知数有N+1个，而所推导出的方程有N-1个。所以需要补充两个边界条件，安上面的推理可得出方程特别的为自然样条的条件。此时方程可以写为：解得。举例和仿真yzhun.mclearall;clc;x0=1:10;y0=[1.13.59.72.69.46.55.62.16.55.9];plot(x0,y0,'o');holdon;x=1:0.1:10;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x,y)总体分析：将三种差值算法仿真曲线整合到一张图中clearall;clc;x0=1:10;y0=[1.13.59.72.69.46.55.62.16.55.9];plot(x0,y0,'o');holdon;x=1:0.1:10;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x,y)holdon;fori=1:length(x);y(i)=nfun1(x0,y0,x(i))plot(x(i),y(i),'*');holdon;endlfun(x0,y0,x);其中‘0’代表离散点。‘-’代表样条拟合曲线。‘*’代表牛顿拟合曲线。‘--’代表拉格朗日拟合曲线。从图中不难看出拉格朗日差值算法和牛顿差值算法基本上类似，所拟合曲线两端误差很大不适合进行离散点的估算。而在数据中间位置，所拟合曲线误差较小。这两种算法比较适合运用在阶次相对较低，而运用结果在离散点中部取值的实验中，对于两侧的数据估算就无能为力了。这两种算法相对于最小二乘法来说严密很多，更适合曲线的拟合。对于样条差值计算来说，曲线走势很符合离散点的分布，很完整的把离散点平滑的连接起来，这对于数据研究是很关键的。而且就其拟合曲线的误差来看，在离散点处误差为零，在非离散点处误差小于牛顿和拉格朗日差值。此算法在科学研究中更为合适。在三种差值拟合方法所得结果，样条差值算法最为理想，其次为拉格朗日和牛顿差值。在两种曲线拟合方法中，切比雪夫拟合比最小二乘法拟合更理想。新疆大学2013-2014学年现代测控技术与系统作业课程名称：控制系统计算机辅助设计学院：电气工程学院专