函数的周期性与应用研究(杨新榕)

乐山师范学院毕业论文（设计）PAGE12函数的周期性与应用研究杨强数学与信息科学学院数学与应用数学专业07128002指导教师:韩仲明【摘要】本文研究的主要内容是函数的周期性在解题方面的应用。首先讨论什么是函数的周期,即函数周期的定义。第二研究函数周期在解决定积分的计算。第三讨论函数周期性在解决抽象函数时的性质和作用。最后利用函数的周期性求函数的解析式和值域。牢固的掌握以下性质(除计算定积分外)对解决在高中所遇到的关于周期函数十分有帮助。为了便于理解函数的周期性，本文采取一个性质一个应用对应研究的方法。【关键词】函数周期性应用函数的周期性是初等数学和高等数学都涉及的研究对象,在自然科学中又有广泛的应用.然而初等数学,高等数学都未系统阐述这方面的知识.本文从胜任中学教学这一目的出发,对函数的周期性在解题方面做了一些研究.本文研究的主要内容是函数的周期性在计算定积分、解抽象函数、求函数的解析式和值域等方面。牢固的掌握以上性质(除计算定积分外)对解决在高中所遇到的关于周期函数十分有帮助.1周期函数的定义现行高中教材是这样定义周期函数的定义1对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使当取定义域内的每个值时,有都成立,则称这个函数为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.从定义1可以看出如的定义域为则必有(1)(2)均有常见的周期函数的定义则是定义2设是定义在某一数集上的函数,若存在一常数具有性质(1)(2)则称为集合上的周期函数,常数T称为这个函数的周期.定义2是不独立的,应为既有必有,与条件重复.我们不难看出这两个定义是不一致的,根本区别在于是否属于定义域,用这两个定义分别判断同一函数有时会得出不一样的结论.例如函数在第一种定义下,取时有所以是周期函数,是它的周期.在第二种定义下,仍取,取则有：即,不满足定义2中(1)对于,所以不是周期函数.中学研究的周期函数主要是三角函数,都满足定义2,因此约定我们在定义2下探讨函数的周期性.由定义2不难发现：(1)周期函数的定义域必是一个无界的集合.因为若是的一个周期,则对一切有而.由,有,一般地对任何,有,所以是无界的.当然不一定是整个数轴.(2)若是的周期则也是的周期,因为由有.又.用数学归纳法可以证明：(3)若是的周期,则也是的周期.用定义2可以证明.(4)若和都是的周期则也是周期.由上可知周期决不会只有一个,我们讨论函数周期时一般右以只讨论正周期.定义3周期函数正周期中如果存在一个最小周期则称这个最小正周期为基本周期.如果是周期函数的基本周期,则讨论的性态可以只讨论内的性态.在研究函数周期性时我们总想找到它的基本周期.但有些周期函数是不存在最小正周期的.如:例1狄利克雷函数,它是以有理数为周期的,因为若为有理数,与同为有理数或同无理数中是没有最小的,即无基本周期.例2常数函数,它是实数域上的周期函数,任何非零实数都是它的周期,同样也是不存在一个最小的正数,因此也没有基本周期.为了判断一个周期函数是否有基本周期我们得先会判断函数是否周期函数即是否有周期.2计算定积分定理1 函数是定义在上的可积的周期函数,是它的一个周期,对,有,即周期函数在一个周期上的定积分等与常数.证明:在中,令,则因此推论函数是定义在上的可积的周期函数,是它的一个周期,对有证若,则成立.若,有由定理1有若,有例3计算解定理2函数是定义在上的可积的周期函数,是它的一个周期,对有证在中,令,则例4计算解函数有周期,又定理2和函数为奇函数,得定理3若是以为周期的连续函数,则对,有证设则于是例5计算解因为是以为周期的函数,由定理3有3解抽象函数3.1周期函数的判定定理判断一个函数是周期函数,除用周期函数的概念外,还有以下定理：定理1在函数中,若取定义域内的每一个值都有,则函数为周期函数,且是它的一个周期．定理2在函数中,若取定义域内的每一个值都有,则函数为周期函数,且是它的一个周期．证由可得:所以函数为周期函数,且是它的一个周期．定理3在函数中,若取定义域内的每一个值都有则函数为周期函数,且是它的一个周期．证明可得:

所以,函数为周期函数,且是它的一个周期．定理4若函数关于直线和都对称,则函数为周期函数,且是它的一个周期．3.2周期函数的运算性质性质1若则性质2若则性质3若则性质4若则3.3以上性质还可以有如下的推广推论1若则推论2若则推论3若则推论4若则3.4例题精选例例6(1)设是上的奇函数,且,当时,,则=_____解由性质1得．(2)设是上的奇函数,且,当时,则=____解由性质2(3)设是上的奇函数,且,当时,则=_____解由推论1得例7已知奇函数满足且时,(1)4是否为函数的一个周期?请说明理由．(2)求的值．分析(1)此题考察周期函数的概念,由定理1知道此函数是周期函数,且4为它的一个周期,这里只需证是否成立．(2)此题可利用性质(1)或(2)来解答,此处用性质(2)．解(1)由数是奇函数及容易得．(2)由函数是奇函数可得：例8偶函数在上是增函数,且关于对称,试比较与的大小.分析由定理5可知,函数是周期函数,且周期为2．解由函数是偶函数得函数关于对称,而它又关于对称,所函数是以2为周期的函数.．由于函数在上是增函数．因此,所以．4求函数的解析式和值域在解决存在有周期性函数,的有关题型时,我们要研究其类型和解题规律.现就存在有周期性函数的常见题型进行分类说明.4.1求函数为解析式和值域.例9已知定义在上的奇函数有最小正周期,且当时,(1)求在上的解析式(2)若求上的解析式分析(1)在上只需求在和，时解析式即可.可设,则又为奇函数.;且又，∴(2)我们要借助在一个周期上的函数解析式,在上有,故有当时当时研究周期性函数,先从它的某个周期着手,然后再推广到它的整个定义式上.4.2求函数值或值域例10已知奇函数满足,当时,,求.分析奇函数中,已知,知又知求解函数值或值域时,应注意函数自变量的取值范围,根据函数的周期性,把该自变量转化到已知区间上,然后求解.4.3函数周期性的推广例11已知为非零常数,若,则是函数的一个周期分析知例12已知奇函数，有,当时,有求分析的一个周期是2例13若则为函数的一个周期分析知例14设函数在上满足,且在闭区间上,只有(1)试判断函数的奇偶性(2)试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论.分析(1)由和知对称轴为和所以;即且的一个周期为10,所以,而所以是非奇非偶函数.(2)由故在和上各有两个解所以上有个解,在上有个解,所以在上有802个解.例15中,若和是它图象上的两个不同对称中心,则是的一个周期.分析和是的对称中心有和所以即.是周期函数且是它的一个周期.例16已知奇函数的一个对称中心为,若求:分析为奇函数,,是两个不同对称中心,4是的一个周期,，（5）中,若和是其图像上的一条对称轴和一个对称中心,则是的一个周期.分析是的一条对称轴,有是的一个对称中心,有即所以是周期函数,是的一个周期.例17已知偶函数的一个对称中心为,且,求分析是偶函数,图像关于轴对称且关于点呈中心对称,知是周期函数且4是它的一个周期小结综上所述,函数的周期性是高中数学中十分重要的性质之一.掌握好函数周期性对学生学习好高中数学有很大的帮助.对学生解题能力的提高也有很大的帮助.【参考文献】[1]闫西安.谈谈函数的周期性[J].科技咨询导报,2007,3:235.[2]朱派文.浅谈抽象函数的周期性问题[J].内江师范学院学报,2005,B12:240-241.[3]岳晓红.利用函数的周期性计算定积分[J].宜宾学院学报,2003,6:89,92.[4]赵建勋.谈谈函数的周期性[J].数学通讯双号刊,2004,07M:[5]曾喜萍.复合函数的周期性[J].广西大学学报自然科学版,2004,3:190-192.[6]李金菊.利用函数的周期性解抽象函数题[J].昭通师范高等专科学校学报,2005,2:57-59.[7]彭永成.函数的周期性和函数对标性之间联系探究[J].中国科技信息,2005,17A:62,68.[8]余江平,赵英辉.周期函数的周期性及其周期的求解方法[J].中国基础教育研究,2006,2:110-111.[9]张剑湖,叶峰.浅谈函数的周期性[J].高等数学研究,2004,7卷5:51-52.[10]郑林.函数的周期性[J].广西师院学报,1994,1:90-96.FunctionofperiodicityandapplicationresearchYangQiangCollegeofmathematic&information,07128002,Instructor:HanZhongMing【Abstract】Themaincontentofthistextisaboutthefunctioncyclistapplicationintherespectofsolvingproblems.First,thistextisdiscussingwhatisthefunctioncyclicity,thatisthedefinitionofthefunction.Second,thistextstudiesthefunctionperiodinsolvingintegralcalculation.Third,discussthefunctioncyclicitycharacterduringtheperiodofthefunctionresolvinganabstractandtheeffect.Makinguseofthefunctioncyclisttoseekfunctionanalysisstyleandvalueregionfinally.Undersolidgrasping,thecharacter(exceptcalculatingadefiniteintegral)hasveryhelpingtothe