平面的方程课件

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：点坐标轨迹第一章第二章方程曲线曲面平面与直线一般曲面一般曲线普通参数方程与关系第三章第四章常见曲面和二次曲面第五章二次曲线的一般理论第三章平面与空间直线解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，1第三章平面与空间直线1、平面的方程2、平面与点的相关位置3、两平面的相关位置4、空间直线的方程5、直线与平面的相关位置6、空间两直线的相关位置7、空间直线与点的相关位置8、平面束哇！第三章平面与空间直线哇！2第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程1、方向矢量在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a,b称为平面的方向矢量。显然，任何一对与平面平行的不共线矢量都可作为平面的方向矢量。第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的32、平面的矢量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）称为平面的矢量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：第一节平面及其方程2、平面的矢量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e43、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ua+vb（1）第一节平面及其方程3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y05例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的矢量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},第一节平面及其方程例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,6从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。第一节平面及其方程从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-7特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3o第一节平面及其方程特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)称为8

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．二、平面的点法式方程1.法向量:注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.第一节平面及其方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平92.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)第一节平面及其方程2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,10例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第一节平面及其方程例1:求过点(2,3,0)且以n={1,211nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0第一节平面及其方程nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M112例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n={1,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第一节平面及其方程例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求13三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程可以化为它表示过定点注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.且法向量为n={A,B,C}的平面.第一节平面及其方程三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方14例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第一节平面及其方程例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面152.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0第一节平面及其方程2.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(16(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.第一节平面及其方程(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By17(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平18例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By

3Bz=0即:y

3z=0第一节平面及其方程例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.19例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第一节平面及其方程例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,20所求平面的方程为:即:(3)第一节平面及其方程所求平面的方程为:即:(3)第一节平面及其方程21设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解第一节平面及其方程设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解第22化简得令代入体积式所求平面方程为第一节平面及其方程化简得令代入体积式所求平面方程为第一节平面及其方程23

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：点坐标轨迹第一章第二章方程曲线曲面平面与直线一般曲面一般曲线普通参数方程与关系第三章第四章常见曲面和二次曲面第五章二次曲线的一般理论第三章平面与空间直线解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，24第三章平面与空间直线1、平面的方程2、平面与点的相关位置3、两平面的相关位置4、空间直线的方程5、直线与平面的相关位置6、空间两直线的相关位置7、空间直线与点的相关位置8、平面束哇！第三章平面与空间直线哇！25第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程1、方向矢量在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a,b称为平面的方向矢量。显然，任何一对与平面平行的不共线矢量都可作为平面的方向矢量。第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的262、平面的矢量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）称为平面的矢量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：第一节平面及其方程2、平面的矢量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e273、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ua+vb（1）第一节平面及其方程3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y028例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的矢量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},第一节平面及其方程例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,29从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。第一节平面及其方程从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-30特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3o第一节平面及其方程特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)称为31

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．二、平面的点法式方程1.法向量:注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.第一节平面及其方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平322.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)第一节平面及其方程2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,33例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第一节平面及其方程例1:求过点(2,3,0)且以n={1,234nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0第一节平面及其方程nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M135例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n={1,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第一节平面及其方程例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求36三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程可以化为它表示过定点注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.且法向量为n={A,B,C}的平面.第一节平面及其方程三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方37例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第一节平面及其方程例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面382.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0第一节平面及其方程2.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(39(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于