2001年高考数学(全国卷)

2001年普通高等学校招生全国统一考试 （02）（1）若sincos（A）第一、二象限0,则在（）（B）第一、三象限(C)第一、四象限 （D）第二、四象限（2）过点A1,1,1且圆心在直线0上的圆的方程是（）(A)x(B)(C)x(D)y12（3）设an是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）(A)1 (B)2 (C)4(D)6（4）若定义在区间内的函数fxlog2ax1满足f(x)0,则a的取值范围是（）(A)(0,1)2(B)(C)1(2+ ) (D)(0,2sin(（5）极坐标方程(A)(B)(C)(D)-）的图形是（（6）函数ycosx1(0）的反函数是（(A)yarccos(x1)(02) (B)yarccos(x1)(02)(C)yarccos(x1)(0x2)(D)yarccos(x1)(02)（7）若椭圆经过原点，且焦点为匕(1,0)尸2(3,0),则其离心率为（A）42（B）二31(C)-1(D)一4(8)若0(A)ab4(B)asincosb(C)ab（9）在正三棱柱ABCA1B1C1中,若(A)60°(B)90°AB(C)105(D)abJ2BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为（）(D)75(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:若f(x)单调递增,若f(x)单调递增,若f(x)单调递增,若f(x)单调递减,(4若f(x)单调递减,其中，正确的命题是(A)①③ (B)g(x)单调递增,则g(x)单调递减,则g(x)单调递增,则g(x)单调递减，则①@ (C)②③f(x)g(x)单调递增;f(x)g(x)单调递增;f(x)g(x)单调递减;f(x)g(x)单调递减;(D)②@一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法： ③单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.姮,则这个椭圆的侧面积是姮,则这个椭圆的侧面积是TOC\o"1-5"\h\z若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则()(A)P3 P2 Pi(B)P3 P2R(C)P(A)P3 P2 Pi(B)P3 P2(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。 现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为 ()(A)26 (B)24(C)20 (D)19(13)若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为2 2(14)双曲线—匚1的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上若PFJPF2,则点P到x轴的距离9 16为.(15)设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若Sn是等差数列，则q.

(16)圆周上有2n个等分点(n1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为(17)如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,/ABC90,SAL面ABCD,SAABBCAD-.2(l)求四棱锥SABCD的体积；(n)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(18)(本小题满分12分)已知复数乙i(1i)3.(I)求20乙及|z1；(n)当复数z满足Z1,求z乙|的最大值.(19)(本小题满分12分)设抛物线y22Px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC//x轴.证明直线AC经过原点O.(20)(本小题满分12分)已知i,m,n是正整数，且1imn.(I)证明niPm mi*(n)证明(1m)n (1n)m.(21)(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发， 某地投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 1.本年度当地旅游业收入估计为 400万元，由于该项建设对旅5、「， ，， ，人 ，、「，，―-人 1游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 -.4(I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an,bn的表达式;

(n)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入(22)(本小题满分14分)1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意x1,x2 [0,-],都有f(Xix2)f(xi)?f(x2),且f(1)a0.•1 .1(i)求fy及fq)；(n)证明f(x)是周期函数；r1(出)记an f(2n—),求lim(Inan).2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分..解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数..只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5分，满分60分.B (2)C (3)B (4) A (5)CA ⑺C (8)A (9) B (10)C(11)D(12)D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.(13)2兀(15)1(16)2n(n—1).解答题:12分.(17)12分.解：(I)直角梯形ABCD的面积是M底面1BCADAB10.52•••四棱锥S-ABCD的体积是SAM底面4(n)延长BA、CD相交于点M底面1BCADAB10.52•••四棱锥S-ABCD的体积是SAM底面4(n)延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱.•••AD//BC,BC=2AD,EA=AB=SA, SEXSB,SA，面ABCD,得SEB，面EBC,EB是交线,又BCXEB, BCL面SEB,故SB是CS在面SEB上的射影,•••CSXSE,所以/BSC是所求二面角的平面角.10分•••SBv'SA2AB2 V2,BC=1,BCXSB,BCtan/BSC —SB即所求二面角的正切值为12分(18)本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：(I)Z1=i(1—i)3=2-2i,将Z1化为三角形式，得22分zi 22cos-isin—4 47arg乙彳,7arg乙彳,242.(n)设z=cosa+isina,则z—zi=(cosa—2)+(sina+2)i,ZiZi2 c2 2cos2sin294^sin( -),4当sin(一)=i时，4z Zi2取得最大值94v2.从而得到z乙的最大值为2J21.12分i2分.(19)i2分.证明一：因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(卫，0),所以经过点F的直线的方程可设为证明一：因为抛物线2代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,若记A(xi,yi),B(x2y2),则yi,y2是该方程的两个根，所以yiy2=—p2.因为BC//x轴,且点c在准线故直线CO的斜率为y2p22Pyiyixi即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.8分E上，所以点c的坐标2i2分证明二：如图，记x证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD^l,D是垂足.则AD//FE//BC.连结AC,与EF相交于点N,则ENCNBFADACABNFAFBCAB根据抛物线的几何性质,AFADBFBCENAD||BF|ABAF|BC|ABNF即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.12分12分.(20)12分.(I)证明:pm=m (m—i+1),pmmi同理p：n由于m<n,i-1,所以p：n所以p：ni—,即mPnm(n)证明由二项式定理有icimCn,0miinCm5i0miP：>nipm(1<i<m<n=,而Cmpm

i!c：p：i!'10分所以,mCnTOC\o"1-5"\h\z因此，miennicm.

i2 i2又m0C0n°Cm°1,mC：nCmmn,miC： 0minn mii iimCnnCm.i0 i0即(1+m)n>(1+n)m. 12分(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：(I)第1年投入为800万元，第2年投入为800X(1—1)万元，……，第n年投入为800X5(1—1)n1万元.5所以，n年内的总投入为an=800+800x(1—1)+…+800X(1—』)n1TOC\o"1-5"\h\z5 5n 1k1800(1-)k1k1 5=4000X[1-(-)n];5,第n年旅游业收第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400X(1+,第n年旅游业收4入为400X(1+1)n1万元.4所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400X(1+1)+…+400X(1+])n1TOC\o"1-5"\h\z4 4n…，5、k1400(-)k1 4=1600X[(4)n—1]. ……6分5(n)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn—an>0,即1600X[(5)n-1]-4000X[1-(9)n]>0TOC\o"1-5"\h\z5化简得5X(4)n+2X(-)n-7>0, ……9分5设x(4)n,代入上式得5解此不等式，得5x解此不等式，得5x2-7x+2>0,22x-,x>1(舍去).(-)n<2,5 5由此得答：至少经过5答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.12分(22)本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.(I)解：因为对x1xf(x)f(-)x2C[0,g],都有f(-)>0,xC[0,f(XI+X算能力和逻辑思维能力.满分14分.(I)解：因为对x1xf(x)f(-)x2C[0,g],都有f(-)>0,xC[0,f(XI+X2)=f(XI)f(X2),所以1]., 1・•・f⑴f(1f(2)21f(42)=f(2)f(2)=[f(2)]1 1 1 124)=f(4)f(Z)=[f(4)]2f(1)•••f(1)21a21

f(4)1a4(n)证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),xCR.x€R,又由f(x)是偶函数知f(—x)=f(x)x€R,f(—x)=f(2-x),xCR,将上式中一x以x代换，得f(x)=f(x+