福建省龙岩市武平县城郊中学2016届九年级(下)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建省龙岩市武平县城郊中学九年级（下）期中数学试一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．﹣3的绝对值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．92．下列运算正确的是（）A．2a+2a=2a2 B．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2C．（2a2）3=8a5 D．a2•a3=a63．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下面的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）A． B． C． D．5．在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（）A． B． C． D．6．下面用正负数表示四个足球与规定克数偏差的克数，其中质量好一些的是（）A．+10 B．﹣20 C．﹣5 D．+157．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．68．如图，抛物线y=ax2+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（）A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．+1=c9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中一定正确的是（）A．②④ B．①③ C．①④ D．②③10．如图，点E、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点，BC=6．点A、D分别为线段EF、BC上的动点．连接AB、AD，设BD=x，AB2﹣AD2=y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．二、填空题．（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．上海世博会的主题馆与中国馆利用太阳能发电，年发电量可达2840000度．2840000用科学记数法可表示为．（保留两个有效数字）12．若有意义，则x的取值范围是．13．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是．14．分解因式：xy2﹣x=．15．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=，则AC的长度是cm．16．如图，长方体的底面边长分别为3cm和2cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．三、解答题．（本大题共9小题，共86分）17．计算：18．先化简，再求值：÷﹣，其中a=tan60°．19．解不等式组，并在数轴上表示解集．20．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．我市各学校九年级学生在体育测试前，都在积极训练自己的考试项目，王强就本班同学“自己选测的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“排球”部分所对应的圆心角度数为；（4）若全校有360名学生，请计算出全校“其他”部分的学生人数．22．为了美化学习环境，加强校园绿化建设，某校计划用不多于5200元的资金购买A、B两种树苗共60棵（可以是同一种树苗），加强校园绿化建设．若购买A种树苗x棵，所需总资金为y元，A、B两种树苗的相关信息如表：项目品种单价（元/棵）成活率A10098%B6090%（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要使得所购买树苗的成活率不低于95%，有几种选购方案？所用的资金分别是多少？23．为了参观上海世博会，某公司安排甲、乙两车分别从相距300千米的上海、泰州两地同时出发相向而行，甲到泰州带客后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）请直接写出甲离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶4.5小时后离各自出发点的距离相等，求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，甲、乙两车从各自出发地驶出后经过多少时间相遇？24．已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（﹣，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．25．图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和OD′E′叠放在一起（C与O重合）．（1）操作：固定△ABC，将△ODE绕点C顺时针旋转30°，后得到△ODE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于F（图2）：探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）在（1）的条件下将△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）．探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．（3）将图1中△ODE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后奖△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）（图4）．探究：在图4中，线段ON•EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON•EM的值，如果有变化，请你说明．

2015-2016学年福建省龙岩市武平县城郊中学九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．﹣3的绝对值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣3的绝对值为3，即|﹣3|=3．故选A．【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．下列运算正确的是（）A．2a+2a=2a2 B．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2C．（2a2）3=8a5 D．a2•a3=a6【考点】平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据合并同类项的法则，平方差公式，幂的乘方与积的乘方法则，及同底数幂的乘法法则得出．【解答】解：A、应为2a+2a=4a，故选项错误；B、（﹣a+b）（﹣a﹣b）=（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故正确；C、应为（2a2）3=8a6，故选项错误；D、应为a2•a3=a5，故选项错误．故选B．【点评】本题考查合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下面的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从左面看得到的平面图形即可．【解答】解：左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1，故选A．【点评】考查简单组合几何体的三视图知识；用到的知识点为：左视图是从几何体左面看得到的平面图形．5．在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据摸出一个球是绿球的概率是，得出蓝球的个数，进而得出小球总数，即可得出随机摸出一个球是蓝球的概率．【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是，设蓝球x个，∴=，解得：x=9，∴随机摸出一个球是蓝球的概率是：．故选：D．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．6．下面用正负数表示四个足球与规定克数偏差的克数，其中质量好一些的是（）A．+10 B．﹣20 C．﹣5 D．+15【考点】正数和负数．【分析】本题需先求出四个数的绝对值，然后找出绝对值最小的数即可．【解答】解：∵|+10|=10，|﹣20|=20，|﹣5|=5，|+15|=15，∴﹣5的绝对值最小，∴C正确．故选C．【点评】本题主要考查了正数和负数，在解题时要根据绝对值表示的意义找出正确答案是本题的关键．7．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6【考点】多边形内角与外角．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故选：B．【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（）A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．+1=c【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．【解答】解：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OA，所以A（﹣c，0），把它代入y=ax2+bx+c，即ac2﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故本题选A．【点评】根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系．9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中一定正确的是（）A．②④ B．①③ C．①④ D．②③【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF．由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有④BE2+DC2=DE2是正确的．【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，∴△ABE与△ACD是否相似无法确定，故②错误；同理，DE与BE+DC的大小也无法确定，故③错误；∵△AED≌△AEF，∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，在Rt△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴BE2+BF2=FE2，即BE2+DC2=DE2，故④正确．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全都三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中．10．如图，点E、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点，BC=6．点A、D分别为线段EF、BC上的动点．连接AB、AD，设BD=x，AB2﹣AD2=y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象；垂径定理．【专题】应用题；压轴题．【分析】延长EF与弦BC相交于点G，根据条件先正面EF的延长线垂直平分BC，利用勾股定理得到y=AB2﹣AD2=BG2+AG2﹣DG2﹣AG2=BG2﹣DG2，用含x的代数式表示即可得到函数关系式，从而判断图象．注意自变量的范围是0＜x≤6．【解答】解：延长EF与弦BC相交于点G∵点E、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点∴点G是弦BC的中点，即BG=GC，EG⊥BC又∵BD=x，BC=6，当D在BG上时，DG=3﹣x；当D在GC上时DG=x﹣3故有y=BG2﹣DG2=，即y=6x﹣x2，0≤x≤6．故选C．【点评】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．上海世博会的主题馆与中国馆利用太阳能发电，年发电量可达2840000度．2840000用科学记数法可表示为2.8×106．（保留两个有效数字）【考点】科学记数法与有效数字．【专题】应用题．【分析】较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．【解答】解：2840000=2.84×106≈2.8×106．【点评】从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．12．若有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式的被开方数x+1是非负数．【解答】解：根据题意，得x+1≥0，解得，x≥﹣1；故答案是：x≥﹣1．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是小张．【考点】方差；折线统计图．【分析】观察图象可得：小张的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小张的成绩较为稳定．【解答】解：从图看出：小张的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定．故填小张．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．分解因式：xy2﹣x=x（y﹣1）（y+1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，=x（y2﹣1），=x（y﹣1）（y+1）．故答案为：x（y﹣1）（y+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=，则AC的长度是240cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】过B作AC的垂线，根据坡面BC的坡度和铅直高度，可求出坡面BC的水平宽，进而可求出AC的长．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则AD=30+30=60．Rt△BCD中，tan∠BCD=i=，BD=60．∴CD=BD÷i=300，∴AC=CD﹣AD=240（cm）．【点评】在坡度坡角问题中，需注意的是坡度是坡角的正切值，是坡面铅直高度和水平宽度的比．16．如图，长方体的底面边长分别为3cm和2cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．【考点】平面展开﹣最短路径问题．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB为对角线．AB==2SHAPEcm．【点评】本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．三、解答题．（本大题共9小题，共92分）17．计算：【考点】实数的运算．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的锐角三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：=2﹣+1﹣2=﹣1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．先化简，再求值：÷﹣，其中a=tan60°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】化简原式时先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分，最后计算异分母分式的减法即可，将a=tan60°=代入化简所得分式求值可得．【解答】解：原式=•﹣=﹣=﹣==，当a=tan60°=时，原式===3．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．19．解不等式组，并在数轴上表示解集．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＜1，由②得，x＜﹣3，故不等式组得解集为：x＜﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．20．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；（证法2：可根据AF平行且相等于DC，得出四边形ADCF是平行四边形，从而证得DE是△BCF的中位线，由此得出D是BC中点）（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．∵AF=DC，∴BD=DC．即：D是BC的中点．（2）解：四边形ADCF是矩形；证明：∵AF=DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF是矩形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．21．我市各学校九年级学生在体育测试前，都在积极训练自己的考试项目，王强就本班同学“自己选测的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有50名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“排球”部分所对应的圆心角度数为115.2°；（4）若全校有360名学生，请计算出全校“其他”部分的学生人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图可知跳绳的人数是15人，所占比例为30%，即可求出总人数；（2）利用总人数以及跳远所占比例即可得出跳远的人数，即可得出其他人数，画出条形图即可；（3）根据条形图可知排球人数为16人，除以总人数乘以360°即可得出；（4）利用其他人数所占比例，估计总体即可．【解答】解：（1）15÷30%=50；（2）（3）16÷50×360°=115.2°；（4）360×（10÷50）=72名．【点评】此题主要考查了条形图与扇形图的综合应用，解决此类问题注意图形有机结合，综合分析获取正确信息，根据扇形图与条形图求出跳绳人数是解决问题的关键，22．为了美化学习环境，加强校园绿化建设，某校计划用不多于5200元的资金购买A、B两种树苗共60棵（可以是同一种树苗），加强校园绿化建设．若购买A种树苗x棵，所需总资金为y元，A、B两种树苗的相关信息如表：项目品种单价（元/棵）成活率A10098%B6090%（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要使得所购买树苗的成活率不低于95%，有几种选购方案？所用的资金分别是多少？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【专题】图表型．【分析】（1）总资金y=A树苗所需要的资金+B树苗所需要的资金；（2）关系式为：A种树木的成活数量+B种树木的成活数量≥树苗总数×95%，结合（1）中得到的自变量取值即可得到相应的选购方案及所用资金．【解答】解：（1）y=100x+60（60﹣x）=40x+3600100x+60（60﹣x）≤5200，解得x≤40，（∴0≤x≤40，且x为整数）；（2）98%x+90%（60﹣x）≥95%×60，解得：，又∵x≤40，x是整数∴x=38、39、40．所以有三种购树苗方案：①购A种树苗38棵、B种树苗22棵，所用资金38×100+22×60=5120元；②购A种树苗39棵、B种树苗21棵，所用资金39×100+21×60=5160元；③购A种树苗40棵、B种树苗20棵，所用资金为40×100+20×60=5200元．【点评】考查一次函数的应用；根据成活率及总资金得到自变量的取值是解决本题的易错点．23．（12分）（2014•鄂城区校级模拟）为了参观上海世博会，某公司安排甲、乙两车分别从相距300千米的上海、泰州两地同时出发相向而行，甲到泰州带客后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）请直接写出甲离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶4.5小时后离各自出发点的距离相等，求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，甲、乙两车从各自出发地驶出后经过多少时间相遇？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）从0到3图象是正比例函数，从3小时后是一次函数，（2）当它们行驶4.5小时后离各自出发点的距离相等，写出两直线的交点，可以求出乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，（3）两车相遇，所走的路程为300，列出等量关系式，求得时间．【解答】解：（1）甲离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为（2）由题意知，图中AB与OC的交点P的橫坐标为4.5，代入AB的解析式求得P点的纵坐标为180．得OC解析式为y=40x，当y=300时，．即乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为．（3）由题意可知有两次相遇．①当0≤x≤3时，100x+40x=300，解得；②当时，（540﹣80x）+40x=300，解得x=6．综上所述，两车第一次相遇时间为出发后小时，第二次相遇时间为出发后6小时．【点评】能够根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值．24．已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（﹣，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）在直角三角形ACO中，根据已知条件可以求得OA，AC的长，再根据勾股定理求得OC的长，根据锐角三角函数的概念求得∠CAO的度数；（2）要求反比例函数的表达式，需要求得点D的坐标．作DE⊥x轴于点E，根据对顶角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的长，根据三角形的外角的性质可以求得∠ADO=30°．则OD=OA．从而求得OE，DE的长，再根据点D的坐标求得反比例函数的表达式．【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，∴AC是⊙B的直径．∴AC=2．又∵点A的坐标为（﹣，0），∴OA=．∴．∴sin∠CAO=．∴∠CAO=30°；（2）如图，连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E，∵OD为⊙B的切线，∴OB⊥OD．∴∠BOD=90°．∵AB=OB，∴∠AOB=∠OAB=30°．∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．在△AOD中，∠ODA=180°﹣120°﹣30°=30°=∠OAD．∴OD=OA=．在Rt△DOE中，∠DOE=180°﹣120°=60°，∴OE=OD•cos60°=OD=，ED=OD•sin60°=．∴点D的坐标为．设过D点的反比例函数的表达式为，∴．∴．【点评】此题主要是运用了30度的直角三角形的性质、切线的性质和等腰三角形的判定和性质，综合性较强