小学奥数614讲 数论综合一

10/10小学奥数614讲数论综合一

学科培优数学

“数论综合一”

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知识定位

在近几年的重点中学小升初分班考试中，数论题目的分值大都超过了行程问题，占据了考试内容最显著的地位！数论题目灵活多变，能较充分考察你思维的开拓性、方法技巧的综合运用能力、创新及细心程度，易于分开学生层次。数论问题按知识体系大体可分为：整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数，这几大板块我们在之前的学习中已经都接触过了，但它们并不是数论的全部，细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”，它们也是帮你解决数论问题的法宝。比如最大最小问题、关于取整运算、尾数问题、二进制应用、一些特殊变形问题等。

知识梳理

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．

例题精讲

【试题来源】

【题目】从1开始由小到大按顺序取自然数，第一次取一个数，第二次取两个数，第三次取三个数，以后继续按照每次取一个、两个、三个的方式重复进行，第（）次取的数之和为573。

【答案】96

【解析】573/3=191所以三个数分别是190、191、192

因为3次是取6个数，我们用192÷6=32

那么也就是说，192是32个3次，就是取到192是96次。

【知识点】数论综合一

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小明写自然数从1到N，所写下的数字之和是28035，则N=？

【答案】28035

【解析】解法一

000001002003004005006007008009

010011012013014015016017018019

...

...

990991992993994995996997998999

共有1000个数字.

个位的1有100个

个位的2有100个

个位的3有100个

...

个位珠9有100个

同理.十位的1、2、3、……9分别有100

百位的1、2、3、……9有100

所以1至999各位数的和是

（1+2+3+……+9）*100*3=13500

1000到1999的个位、十位、百位数的和也是（1+2+3+……+9）*100*3=13500千位有1000个1，他们的和是1000。

还有2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位数字的和是35

全部相加是13500+13500+1000+35=28035

解法二:

（0、1999），（1、1998），（3，1997）……（999，1000）。

这样配共1000对。每对的和都有1+9+9+9=28

另外2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位数字的和是35

所以(1+9+9+9)*1000+35=28035

【知识点】数论综合一

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】从1到1001的所有自然数按格式排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1）1995，（2）2529，（3）1998问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。

【答案】230,214

【解析】用一个正方形框子框出的9个数的和必定是框子中间的数的9倍。

(1)因为1995不是9的倍数，所以9个数的和为1995不可能。

(2)2529÷9=281

又281÷7=40……余1即281在所有数的排列中，它排在左边第一列上，所以不可能以它为中心构成一个9个数的正方形框。

(3)1998÷9=222222÷7=31……余5

框中最大数是222+1+7=230

框中最小数是222-1-7=214

【知识点】数论综合一

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

【答案】30,168

【解析】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．

所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．

【知识点】数论综合一

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数；

③这个数除以9所得的余数是5．

那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．

【答案】14

【解析】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．

其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．

所以两位幸运数只有14．

【知识点】数论综合一

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】图中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同

时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

【答案】小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个1

2

圆周长，即爬到了过A的直径另

一点B．这时两只甲虫相距最远．

【解析】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．

小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．

所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个1

2

圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这

时两只甲虫相距最远．

【知识点】数论综合一

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?

【答案】31

【解析】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．

八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．

从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．

观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．【知识点】数论综合一【适用场合】当堂例题【难度系数】3

习题演练

【试题来源】

【题目】用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)，(aad)是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)所表示的整数写成十进制的表示是多少?

【答案】108

【解析】注意(adc)5+(1)5=(aab)5，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b=0，而c=(10)5－(1)5=(4)5，则C=4．

而(ade)5+(1)5=(adc)5，所以e+1=c，则e=3．又d+1=口，所以d=1，a=2．

那么，(cde)5为(413)5=4×52

+1×5+3=108．即(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是108．

【知识点】数论综合一【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4

【试题来源】

【题目】将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处拐一个弯，在3处拐第二个弯，在

555

5处拐第三个弯…，问拐第20个弯的地方是哪个数。

【答案】111

【解析】

拐弯的序数01234567……拐弯处的数12357101317……下面一列数中，相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、……第20个拐弯处的数是1+2×(1+2+……+10)=111

【知识点】数论综合一

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】把连续奇数1、3、5、7……，按右边的方法排列。问：数1995在哪条射线上？是这射线的第几个数？

【答案】250

【解析】1995是第(1995+1)÷2=998个奇数，因为周期数是8，998÷8=124……6，所以数1995在射线C上，且是第124×2+2=250个数。

【知识点】数论综合一

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】一个正整数，如果用７进制表示为abc，如果用５进制表示为cba，请用10进制表示这个数.

【答案】见解析

【解析】解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则

n＝abc＝a×72＋b×7＋c,n=cba=c×52＋b×5＋a

∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a

48a＋2b－24c＝0b＝12(c－2a)

∴12｜b,

又∵0≤b≤4

∴b＝0,

∴c＝2a

∴当a＝1,c＝2时，n＝51

当a＝2,c＝4时，n＝102

【知识点】数论综合一

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位是1031。如果甲数的数字和是10，乙数的数字和是8，那么甲、乙两数和是多少？

【答案】360

【解析】方法一：很显然，这道题的突破口是在个位数上

乘积的尾数是1，只有1×1，3×7或者9×9两种可能，

如果是1×1，根据1031判断，甲数和乙数的十位为0和3，1和2，4和9，5和8，6和7.

很容易试出这些均不成立。

根据乙的数字和是8，判断只有3×7这种可能

假设乙的个位数是7，则只能是107。根据乘积的尾数判断，甲的十位数应该是3。（因为这个数乘以7的乘积加上个位数进位2，得3）

所以甲就是433

433×107＝46331不合题意。

所以乙的个位数只能是3，甲的个位数只能是7。

所以甲有以下情况，127217307三种情况

根据上述方法很容易判断出甲是217，乙是143

方法二：根据弃九法得知，乘积是3031=31×7×11×13，适当组合可得知两数为31×7=217，11×13=143，和为360.

【知识点】数论综合一

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】有43位同学，他们身上带的钱数从8分到5角，钱数各不相同，每个同学都把身上全部的钱各自买了画片。画边有两种：3分钱一张的，和5非钱一张的。每人尽可能多卖5分钱一张的画片。问，他们能买的3分钱画片的总数是多少张？

【答案】84

【解析】43人的钱从8分到5角各不相同,说明这些人身上的钱分别是:

8分,9分,...,49分,50分.

下面分情况讨论:

8=3*1+5*1(意思是3分钱一张,5分前一张)

9=3*3+5*0

10=3*0+5*2

11=3*2+5*1

12=3*4+5*0

13=8+5=3*1+5*2.

50=3*0+5*10.

说明:

当钱除以5余1的时候,可以买2张3分的;有8个人.

当钱除以5余2的时候,可以买4张3分的;有8个人.

当钱除以5余3的时候,可以买1张3分的;有9个人.

当钱除以5余4的时候,可以买3张3分的;有9个人.

当钱除以5整除的时候,可以买0张3分的.有9个人.

所以一共买了

2*8+4*8+1*9+3*9=84张3分的.

【知识点】数论综合一

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】对于由1~5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下

的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换．例如，24513

可以进行两次置换：24513→42513→12543．可以进行4次置换的五位数有多少个？

【答案】24

【解析】经过4次置换后最后结果必为12345，所以可进行4次置换的五位数可由12345进行4次首位与其他位的调换得到，规则为从首位上调换出的数不能再与首位调换，那么这样的调换方法共有4×3×2×1＝24种，即可进行4次置换的五位数有24个。

【知识点】数论综合一

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少？

【答案】6444

【解析】如果是4个非0数字则应该能组成4×3×2×1=24个不同的4位数，而实际只能组成18个不同的4位数，则4个数字中必然有0。因为完全平方数的个位数只能为1，4，5，6，9（0必须成对出现），所以剩下的3个数字必有两个是这5个中的2个，若最小的数字是4，5，6的话，只有9604和4096为完全平方数，但4096并不是这4个数字所组成的最小的四位数，不满足题意，所以最小数字为1，此时1089和9801这两个四位数满足题意。因此这4个数字为0、1、8、9，所能组成的四位数千位为1、8、9的均有6个，所以这18个四位数千位上之和为1×6+8×6+9×6=108,同理，个位百位十位上的数字之和均为72，所以这18个四位数之和为108×1000+72×100+72×10+72=115992，其平均数为6444

【知识点】数论综合一【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5

【试题来源】

【题目】有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的13

．求所有这样的三位数．

【答案】207，117或108．

【解析】设这个三位数为abc，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么abc3ab(c3)+=+，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，

则abc+3=a(b1)(c310)++-，数字和为0+(b+1)+(c+3－10)=1(abc)3

++，则a+b+c=9，而c+3必须有进位，所以c只能为7，8，9．一一验，如下表：

c的值789a+b的值210a的值211b的值

010abc的值

207

117

108

验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足．所以，原来的三位数为207，117或108．【知识点】数论综合一【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5

【试题来源】

【题目】有1、A、B、C四个整数，满足A＋B＋C＝2001，而且1＜A＜B＜C。这四个整数两两求和得到六个和，把这六个数按从大到小排列起来，恰好构成一个等差数列。请问：A、B、C分别是多少？

【答案】445、667、889

【解析】满足条件的情况有两种：

①111ABCABACBC+<+<+<+<+<+；②111ABABCACBC+<+<+<+<+<+；先看①：

1

1ACABAC-+<+<+差，1

111BABCAB-+<+<+<+差，1

11CBCABACBC-+<+<+<+<+差，

所以有(1):(1):(1)2:3:4ABC=，又2001ABC++=，

所以(1)(1)(1)200131998ABC-+-+-=-=，得445A=，667B=，889C=；再看②

1

1ACAC-+<+差，1

1BCBC-+<+差，1

11CBABCACBC-+<+<+<+<+差，所以有

(1):(1):(1)1:2:4ABC=，又2001ABC++=，

所以(1)(1)(1)200131998ABC-+-+-=-=，得3

7

A=，不符合题意；所以445A=，667

B=，889

C=。【知识点】数论综合一【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5

【试题来源】

【题目】在一个国家里，国王要建N个城市，在城市之间建N-1条道路，使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市，道路不相交，不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短路线分别为1,2,3,…，2

)

1(-NN。若(1)N＝6；(2)N＝2006；国王的要求能否办到?

【答案】不能

【解析】（1）N=6时，可以按如下的方法设计道路。

设A,B,C,D,E,F为六个城市，从C引出三条道路，分别通向A,B,D，长度分别为1，2，5。从再引出两条道路，分别通向E,F，长度分别为4，8。此时即可满足要求，所以N=6时，国王的要求可以办到。

（2）根据在N个城市之间建N-1条道路可知，从一个城市到另一个城市只有唯一的路线。把城市染成红色，若城市与之间的路程为偶数，则也染上红色，否则染上黄色，这样可以把所有城市均染成红色或黄色，并且两城市同色时，它们之间的路程为偶数，否则它们之间的路程为奇数。

设有个城市染成红色，y个城市染成黄色，则由一个红色城市与一个黄色城市配对可配成xy对，所以在所有的路程中有xy个奇数。若

2)1(-NN是偶数，则1,2,3，…，2)1(-NN中有一半是奇数，所以有xy=4

1

N(N-1)。又因为x+y=N，则N=N2

-4xy=(x+y)2

-4xy=(x-y)2

。若

2)1(-NN是奇数，则1,2,3，…，2)1(-NN中有21[2

1

N(N-1)+1]个奇数，所以有xy=DABABx

21[21N(N-1)+1]=41N(N-1)+2

1。又因为x+y=N，则N=N2-4xy+2=(x+y)2-4xy=(x-y)2

+2，即N-2=(x-y)2

。

因此，如果题目中的要求可以实现，则N或N-2是完全平方数，由于2006和2004都不是完全平方数，所以国王的要求不能办到。【知识点】数论综合一【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5

【试题来源】

【题目】有13个不同自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?

【答案】7、5

【解析】13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．

当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22＝132，而2个不