数学八年级下册二次根式的概念公开课课件

二次根式的概念二次根式的概念1复习引入问题1什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2什么叫做算术平方根?

如果x2=a(x≥0)，那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3什么数有算术平方根?我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.(a

≥0)复习引入问题1什么叫做平方根?一般地，2新知引入思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图图新知引入思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(13新知引入（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．新知引入（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t4新知讲解问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

二次根式的概念及有意义的条件①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2这些式子有什么共同特征？新知讲解问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，5新知讲解归纳总结注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(a

≥0)新知讲解归纳总结注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①6问题1什么叫做平方根?无论x取任何实数，代数式都有意义，“”称为二次根号.上面问题中，得到的结果分别是：，，，．∵25的算术平方根为5，∴x+4y的平方根为±3.(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；问题2这些式子有什么共同特征？“”称为二次根号.对于任意一个二次根式，我们知道：例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.(2)∵被开方数需大于或等于零，(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值新知应用例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：(m

≤0)问题1什么叫做平方根?新知应用例1下列各式中，哪些7【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（）C新知演练【变式2】下列式子中是二次根式的有（）B(1)、(3)、(5)是二次根式【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（）C新8新知应用例2(1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-3≥0，得x≥3.当x≥3时，在实数范围内有意义.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥0且x≠2

新知应用例2(1)当x是怎样的实数时,9新知演练【变式1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解:(1)由题意得x－2＞0，∴x＞2.(2)∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥－3.∵分母不能等于零，∴x－2≠0，∴x≠2.∴x≥－3且x≠2.总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.新知演练【变式1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有10新知演练【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.总结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.新知演练【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有11归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥12新知讲解二次根式的双重非负性问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.新知讲解二次根式的双重非负性问题1当x是怎样的实数时，13∵y＜,（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；∵y＜,∴x+4y的平方根为±3.“”称为二次根号.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（）“”称为二次根号.“”称为二次根号.∵25的算术平方根为5，例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.问题2这些式子有什么共同特征？新知讲解

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性∵y＜,14新知应用例3若，求a－b+c的值.解：

由题意可知a－2=0，b－3=0，c－4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a－b+c=2－3+4=3.总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.新知应用例3若15若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.①外貌特征：含有“”【变式2】下列式子中是二次根式的有（）(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；②内在特征：被开方数a≥0例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.问题2什么叫做算术平方根?例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？无论x取任何实数，代数式都有意义，上面问题中，得到的结果分别是：，，，．问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.即(x+3)2+m－9≥0．【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？例2(1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?∵25的算术平方根为5，(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.“”称为二次根号.问题2这些式子有什么共同特征？例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”问题3什么数有算术平方根?例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.(2)多个二次根式相加如有意义的∴x+4y=1+2×4=9，∴x－2≠0，∴x≠2.∴x－2≠0，∴x≠2.解得a=2，b=3，c=4.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值无论x取任何实数，代数式都有意义，问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？解:(1)由题意得x－2＞0，∴x＞2.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？例2(1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?即(x+3)2+m－9≥0．问题2这些式子有什么共同特征？新知应用例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为16新知演练若x，y是实数，且y＜，求的值.

解：根据题意得，∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.【变式题1】新知演练若x，y是实数，且y＜17拓展提升1.无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围.解：由题意得x2

+6x+m≥0．即(x+3)

2

+m－9≥0．∵(x+3)

2

≥0∴m－9≥0，即m≥9.拓展提升1.无论x取任何实数，代数式18拓展提升2.已知|3x－y－1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x－y－1=0且2x+y－4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.拓展提升2.已知|3x－y－1|和19课堂总结在有意义的条件下求字母的取值范围定义二次根式带有二次根号被开方数为非负数抓住被开方数是非负数，从而建立不等式求出解集二次根式的双重非负性二次根式中，a≥0且≥0课堂总结在有意义的条件下求字母的取值范围定义二次根式带有二次20二次根式的概念二次根式的概念21复习引入问题1什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2什么叫做算术平方根?

如果x2=a(x≥0)，那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3什么数有算术平方根?我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.(a

≥0)复习引入问题1什么叫做平方根?一般地，22新知引入思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图图新知引入思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(123新知引入（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．新知引入（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t24新知讲解问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

二次根式的概念及有意义的条件①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2这些式子有什么共同特征？新知讲解问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，25新知讲解归纳总结注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(a

≥0)新知讲解归纳总结注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①26问题1什么叫做平方根?无论x取任何实数，代数式都有意义，“”称为二次根号.上面问题中，得到的结果分别是：，，，．∵25的算术平方根为5，∴x+4y的平方根为±3.(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；问题2这些式子有什么共同特征？“”称为二次根号.对于任意一个二次根式，我们知道：例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.(2)∵被开方数需大于或等于零，(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值新知应用例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：(m

≤0)问题1什么叫做平方根?新知应用例1下列各式中，哪些27【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（）C新知演练【变式2】下列式子中是二次根式的有（）B(1)、(3)、(5)是二次根式【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（）C新28新知应用例2(1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-3≥0，得x≥3.当x≥3时，在实数范围内有意义.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥0且x≠2

新知应用例2(1)当x是怎样的实数时,29新知演练【变式1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解:(1)由题意得x－2＞0，∴x＞2.(2)∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥－3.∵分母不能等于零，∴x－2≠0，∴x≠2.∴x≥－3且x≠2.总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.新知演练【变式1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有30新知演练【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.总结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.新知演练【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有31归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥32新知讲解二次根式的双重非负性问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.新知讲解二次根式的双重非负性问题1当x是怎样的实数时，33∵y＜,（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；∵y＜,∴x+4y的平方根为±3.“”称为二次根号.(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（）“”称为二次根号.“”称为二次根号.∵25的算术平方根为5，例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.问题2这些式子有什么共同特征？新知讲解

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性∵y＜,34新知应用例3若，求a－b+c的值.解：

由题意可知a－2=0，b－3=0，c－4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a－b+c=2－3+4=3.总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.新知应用例3若35若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.①外貌特征：含有“”【变式2】下列式子中是二次根式的有（）(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；②内在特征：被开方数a≥0例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.问题2什么叫做算术平方根?例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？无论x取任何实数，代数式都有意义，上面问题中，得到的结果分别是：，，，．问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.即(x+3)2+m－9≥0．【变式2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？例2(1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?∵25的算术平方根为5，(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.“”称为二次根号.问题2这些式子有什么共同特征？例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”问题3什么数有算术平方根?例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.(2)多个二次根式相加如