曲线运动 第2节

第2节质点在平面内的运动要点一分运动与合运动的理解1．分运动与合运动的定义一个物体同时参与两种运动时，这两种运动是分运动，而物体相对地面的实际运动都是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向．2．合、分运动的关系(1)等效性：各分运动合成起来与合运动相同，即分运动与合运动可以“等效替代”．(2)独立性：一个物体同时参与两个分运动，其中的任一分运动并不会因为存在另外的分运动而有所改变．即各分运动是互相独立、互不影响的．(3)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时结束，经历的时间相等．因此知道了某一个分运动的时间，也就知道了合运动的时间，反之也成立．(4)同体性：合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动．3．合运动与分运动的求法(1)已知分运动求合运动，又叫运动的合成；已知合运动求分运动，又叫运动的分解．不管合成还是分解，其实质是对运动的位移x、速度v和加速度a的合成与分解．因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循的法则是矢量运算的平行四边形定则．(2)运动的合成①两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．例如，竖直抛体运动看成是竖直方向的匀速运动(v0t)和自由落体运动(eq\f(1,2)gt2)的合成．下抛时，vt＝v0＋gt，x＝v0t＋eq\f(1,2)gt2；上抛时，vt＝v0－gt；x＝v0t－eq\f(1,2)gt2.②不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图5－2－2所示．图5－2－2(3)运动的分解运动的分解如同力的分解一样，如果没有其他条件约束的话，一个运动可以分解为无数组分运动，因此，在具体问题中，除遵循平行四边形定则外，还应该依据物体运动的实际效果来进行分解．进行运动分解的步骤：①确定合运动方向(实际运动方向)；②分析合运动的运动效果；③依据合运动效果确定两分运动方向；④依据平行四边形定则作出分解矢量图．要点二运动的性质和轨迹的判断1．判断方法两个互成角度的直线运动的合运动的性质和轨迹，由两分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定．(1)a＝0：匀速直线运动或静止．(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：①v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线运动；③v、a成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，且和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到)．(3)a变化：性质为变加速运动．2．互成角度的两个直线运动的合运动的几种可能情况(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动．(2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动．(3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动．合运动的方向即两个加速度合成的方向．(4)两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动．当两个分运动的初速度的合速度方向与两个分运动的合加速度方向在同一直线上时，合运动为匀变速直线运动，否则为匀变速曲线运动．要点三小船渡河问题图5－2－3船横渡过河时，船的实际运动v(即相对于河岸的运动)可以看成是随水以速度v水漂流的运动和以速度v船相对于静水的划行运动的合运动．这两个分运动互不干扰而且具有等时性，如图5－2－3所示．1．渡河时间t最短问题(1)渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船在垂直河岸方向上的速度的大小．(2)图5－2－4若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图5－2－4可知，此时tmin＝eq\f(d,v船)，船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水).2．渡河位移最短问题求解渡河位移最短问题，分为两种情况：(1)图5－2－5若v水<v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游夹角满足cosθ＝eq\f(v水,v船)，如图5－2－5所示．(2)若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图5－2－6所示，图5－2－6按水流速度和船的静水速度大小的比例，先从出发点A开始做矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧做切线，其方向为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cosθ＝eq\f(v船,v水)，最短位移xmin＝eq\f(d,cosθ)，过河时间t＝eq\f(d,v船sinθ).1.如何区分合运动与分运动？合运动一定大于它的分运动对应的物理量吗？平行四边形定则是解决运动合成和分解的工具，在处理一个复杂的运动时，首先明确哪个是合运动，哪个是分运动，才能用平行四边形定则求某一时刻的合速度、分速度，某一过程的合位移、分位移．物体实际发生的运动，通常叫合运动．例如：分析小船渡河问题，图5－2－7甲中，船头始终与河岸垂直，小船的合速度就是斜向下游的速度v.而图乙中小船船头必须指向斜上游，才能保证小船沿与河岸垂直的方向渡河，即有垂直河岸的合速度v.图5－2－7可以得出如下结论：①合运动是研究对象实际发生的运动，一般以地面为参考系．②合运动在中央，分运动在两边．③合运动不一定总是大于分运动，它可以大于、等于或小于它的分运动．2．两个互成角度的直线运动的合运动一定是直线运动吗？互成角度的两个直线运动的合运动不一定是直线运动，判断是直线还是曲线要看合外力(或合加速度)的方向与合速度的方向是否共线，若共线是直线运动，若不共线是曲线运动．3．小船渡河时间最短的时候，位移也是最短吗？(1)要使渡河时间最短，船头应指向对岸，即v船与水流方向垂直．船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)>d.渡河时间为tmin＝eq\f(d,v船)(d为河宽)，如图5－2－8甲所示．(2)当船垂直于对岸横渡时，位移最短为d，渡河时间为t＝eq\f(d,v船sinθ)，如图5－2－8乙所示．图5－2－8总之，小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短.一、运动的合成与分解例1如图5－2－9所示，图5－2－9竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以0.1m/s的速度匀速上浮．现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动(1)则可知玻璃管水平方向的运动速度为多少？(2)若玻璃管的长度为1.0m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，解析蜡块的合运动从运动效果上知：同时参与两个分运动．随玻璃管向右的匀速运动v2和竖直向上的匀速运动v1，用平行四边形定则去分析合运动与分运动各物理量间的关系．(1)v2＝eq\f(v1,tan30°)＝eq\f(0.1,\f(\r(3),3))m/s＝0.17m/s(2)蜡块上浮到顶端的时间t＝eq\f(l,v1)＝eq\f(1,0.1)s＝10s玻璃管水平运动的距离x2＝v2t＝0.17×10m答案(1)0.17m/s(2方法总结弄清运动物体的合、分运动，利用平行四边形定则去求解合、分运动的物理量.二、船渡河问题例2小船在200m宽的河中横渡，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，(1)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°＝0.6)(2)当小船的船头始终正对河岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？解析(1)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如右图所示．则v合＝eq\r(v\o\al(2,船)－v\o\al(2,水))＝4m/s经历时间t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船的航向与岸的上游所成角度为53°.(2)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移l＝v水t＝3×40m＝120m，即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸．答案(1)船的航向与岸的上游成53°夹角50s(2)40s，正对岸下游120方法总结船过河的实际运动可看作随水漂流v水和相对于静水的划行运动v船的合运动，这两个分运动互不干扰，各自独立，且具有等时性．明确船头正对河岸行驶时，并不到达河的正对岸，而是漂向下游一段距离，要使小船到达河的正对岸，船头应与岸的上游成一角度.三、绳通过滑轮拉物体的运动问题例3如图5－2－10所示，人用绳通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度．图5－2－10解析物体A的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值．这样就可将vA按图示方向进行分解，从而依据v1等于v0，才能找出vA与v0的关系，很容易求得物体A的速度vA＝eq\f(v0,cosθ).当物体A向左移动时，θ将逐渐变大，vA逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动．答案eq\f(v0,cosθ)方法总结分析这类问题，要分清哪个是合运动，哪个是分运动，物体A的实际运动就是合运动．A物体沿绳方向的分速度也即绳子运动的速度，从而找到A物体与人的速度之间的联系.1.对于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是()A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度C．合运动的方向就是物体实际运动的方向D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小答案C解析与合力跟分力的关系类似，合速度的大小可以大于分速度，也可以小于分速度，还可以等于分速度的大小．故A、B均错．仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故D错．2．一只小船在静水中的速度大小始终为5m/s，当在流速为3m/s的河中航行时，A．1m/sB．3m/sC．8m/sD答案BC3.图5－2－11竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水，内有一个用红蜡块做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速上升，现将玻璃管倒置，在圆柱体匀速上升的同时让玻璃管水平匀速运动．已知圆柱体运动的合速度是5cm/s，α＝30°，如图5－2－11所示，A．5B．4.33C．2.5D．无法确定答案C4．关于运动的合成与分解，下列说法正确的是()A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替答案ABD解析根据平行四边形定则，两个分运动的合运动就是以两个分运动为邻边的平行四边形的对角线，A正确．而将合运动分解为两个分运动时，可以在不同方向上分解，从而得到不同的解，B正确．任何形式的运动都可以分解，如竖直上抛运动可以分解成自由落体运动和匀速直线运动的合运动，故C错误，D正确．5．如图5－2－12所示，图5－2－12一名92岁的南非妇女从距地面大约2700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者．假设没有风的时候，落到地面所用的时间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，则实际下落所用时间()A．仍为tB．大于tC．小于tD．无法确定答案A解析依据合、分运动的独立性、等时性，t不变，A正确．6．在平直铁路上以速度v0匀速行驶的列车车厢中，小明手拿一钢球从某高处释放，探究其下落的规律，通过实验，下列结论得到验证的是()A．由于小球同时参与水平方向上的匀速运动和竖直方向上的下落运动，落点应比释放点的正下方偏前一些B．由于列车以v0的速度向前运动，小球落点应比释放点的正下方偏后一些C．小球应落在释放点的正下方，原因是小球不参与水平方向上的运动D．小球应落在释放点的正下方，原因是小球在水平方向上速度也为v0答案D7．某人以一定的垂直于河岸的速度向对岸游去．当水流匀速时，关于他过河所需时间、发生的位移与水的流速的关系正确的是()A．当水流速度很小时，发生的位移小，所需时间也小B．当水流速度很大时，发生的位移大，所需时间小C．当水流速度很大时，发生的位移大，所需时间不变D．位移、时间都不随水流速度的改变而改变，即与水流速度无关答案C8．北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？答案5m/s解析本题的研究对象有北风、水流、乘客、烟柱；“烟柱是竖直的”说明烟柱感觉不到风，即人感觉不到风，那么轮船应该与风同速．轮船的实际航向正南，大小为4m/s.由于河水流动，轮船应该有一个分速度大小与v水相等，方向与v水tanθ＝eq\f(v水,v风)＝eq\f(3,4)，则θ＝37°即船头应该与上游河岸成53°角航行且v船＝eq\r(v\o\al(2,水)＋v\o\al(2,风))＝eq\r(42＋32)m/s＝5m/s.题型①运动的合成与分解问题关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是()A．一定是直线运动B．一定是曲线运动C．可能是直线运动，也可能是曲线运动D．以上说法均不正确答案C解析两个运动的初速度合成、加速度合成，如右图所示．当a与v重合时，物体做直线运动；当a与v不重合时，物体做曲线运动，由于题目没有给出两个运动的初速度和加速度的具体数值及方向，故以上两种情况均有可能，C正确．拓展探究若两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动呢？若两个匀速直线运动的合运动呢？应选择上题中哪些答案？答案均为A项归纳总结两个直线运动的合运动做曲线运动还是做直线运动，取决于v合和a合的方向关系，即：若两者共线，是直线运动，反之则是曲线运动．合运动是否是匀变速运动，取决于a合，若a合恒定，则为匀变速运动；若a合不恒定，则为非匀变速运动.题型②小船渡河问题一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.船在静水中的速度为v2＝5m/s(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？答案(1)垂直河岸36s90eq\r(5)m(2)偏上游与河岸成60°角24eq\r(3)解析将船实际的速度(合速度)分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移．(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如右图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5t＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36sv合＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx＝v合t＝90eq\r(5)m(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河．船头应朝上游与河岸成某一角度β.垂直河岸渡河要求v水平＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如右图所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°，所以当船头向上游偏与河岸成一定角β＝60°时航程最短．x＝d＝180t＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s拓展探究若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？答案船头与上游河岸成53°角300解析因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝eq\f(d,sinα).欲使航程最短，需α最大，如右图所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2.sinα＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(1.5,2.5)＝eq\f(3,5)，得α＝37°.所以船头与上游河岸夹角为53°.位移x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(180,sin37°)m＝300m归纳总结1．不论水流速度多大，船身垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝eq\f(d,v船)，且这个时间与水流速度大小无关．2．当v水<v船时，合运动的速度可垂直于河岸，最短航程为河宽．3．当v水>v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝eq\f(v水,v船)d.题型③绳子末端速度的分解问题如图1所示，图1用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，求：(1)车B运动的速度vB多大？(2)车B是否做匀速运动？答案(1)vAcosθ(2)B不做匀速运动解析(1)把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如右图所示，所以车前进的速度vB应等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcosθ.(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动．拓展探究如图2所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平方向上运动．当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B运动的速度大小．图2答案vsinθ解析此题为绳子末端速度分解问题．物块A沿杆向下运动，产生使绳子伸长与使绳子绕定滑轮转动两个效果，因此绳子端点(即物块A)的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如右图所示．其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度．则有sinθ＝eq\f(vB,v)，因此vB＝vsinθ.归纳总结1．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解．物体的实际运动方向就是合速度的方向，然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．2．跨过定滑轮物体拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解：物体速度v沿绳方向的分速度就是绳子拉长或缩短的速度，另一个分速度就是使绳子摆动的速度．3．通过绳子的速度去找绳子连着的两物体间速度的关系.1.关于运动的合成，下列说法中正确的是()A．合运动的速度不一定比每一个分运动的速度大B．两个匀速直线运动的合运动也一定是直线运动C．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动D．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等答案ABD2．好莱坞电影以惊险刺激的镜头赢得了众多影迷的喜爱，男演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下的镜头更是屡见不鲜．如果不计空气阻力，在地面上从垂直列车运动方向看，演员落地过程中，相对于地面的运动轨迹应是()答案C3．关于运动的合成与分解，下列说法正确的是()A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和B．物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动C．两个分运动是直线运动，合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动D．若合运动是曲线运动，则其分运动至少有一个是曲线运动答案C解析合运动和分运动之间满足平行四边形定则，故A错．合运动是直线运动还是曲线运动，取决于v合的方向和a合的方向的关系．若v合的方向与a合的方向共线，则合运动为直线运动，反之为曲线运动，故B、D错，而C正确．4．如图3所示，图3在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B.在直升飞机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l＝H－T2(式中H为直升飞机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位)规律变化．(1)则在这段时间内，下列判断中正确的是(不计空气作用力)()A．悬索的拉力小于伤员的重力B．悬索成倾斜直线C．伤员做速度减小的曲线运动D．伤员做加速度大小方向均不变的曲线运动(2)则在这段时间内关于伤员的受力情况和运动轨迹正确的是下图中的()答案(1)D(2)A5．如图4所示，图4当小车A以恒定速度v向左运动时，则对于B物体来说，下列说法正确的是()A．匀加速上升B．匀速上升C．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力答案C解析小车A与物体B由同一条绳子连接且一起运动，则有小车速度沿绳子方向的分速度等于B上升的速度．小车向左的运动产生两个效果：一是使车与滑轮间的绳子拉长；二是增大绳子与竖直方向间的夹角．故可将小车的速度分解为沿绳子方向的速度v1和垂直于绳子方向的速度v2，物体B的速度即为v1，v1＝vcosθ，小车A向左运动时θ减小，cosθ增大，即v1变大，即物体B向上做加速运动，拉力F>mg，故C选项正确．6．如图5所示，图5在长约80～100cm、一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做成的小圆柱体(小圆柱体恰能在水中匀速上浮)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将玻璃管竖直倒置，在红蜡块匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面水平向右匀加速移动，你正对黑板面将看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是下图中的()答案C7．小河宽为d，河水中各点水流速度与各点到较近的河岸边的距离成正比，v水＝kx，k＝eq\f(4v0,d)，x是各点到河岸的距离．小船船头垂直于河岸渡河，小船划水速度为v0，则下列说法中正确的是()A．小船渡河时的轨迹是直线B．小船到达距河岸eq\f(d,4)处，船的渡河速度为eq\r(2)v0C．小船渡河时的轨迹是曲线D．小船到达距河岸eq\f(3d,4)处，船的渡河速度为eq\r(10)v0答案BC解析小船同时参与了两个分运动，即小船垂直河岸的匀速直线运动(速度为v0)和随水流方向的运动(速度为v水＝kx，k＝eq\f(4v0,d))，其实际运动的轨迹即合运动的轨迹．由于随水流