正态样本统计量的抽样分布概述课件

6.2正态样本统计量的抽样分布6.2.1

正态分布6.2.3t分布(学生分布)6.2.4F分布6.2.2(卡方)分布6.2.5正态总体抽样分布的某些结论6.2.6Excel实现6.2正态样本统计量的抽样分布6.2.1正态分布6

确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.

由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计6.2.1正态分布(Normaldistribution)则特别地,则若i.i.d.~若i.i.d.~6.2.1正态分布(Normaldistribution上(双)侧

分位数的概念设X

为连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),为给定常数,0<<1若则称

x

为X

所服从的分布的上分位数.如果

X的概率密度函数为偶函数,则对于满足

0<<1/2

的

,则称

x/2为X

所服从的分布的双侧分位数

若上(双)侧分位数的概念设X为连续型随机变量,其标准正态分布的上分位数

zz•常用数字/2

-z/2=z1-/2/2

z/2•-z/2•标准正态分布的上分位数zz•6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定义

设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1时,其密度函数为6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定义设相n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.n=2时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.一般地,其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的一般地,其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的n=2n=3n=5n=10n=15

分布密度函数图n=2n=3n=5n=10n=15例如分布的性质20.05(10)•n=10()05.0307.18)10(307.18)10(2205.0=>=ccP例如分布的性质20.05(10)•n=10()05.相互独立,证1设则相互独立,证1设则6.2.3t分布(Student分布)定义则T

所服从的分布称为自由度为n

的t分布其密度函数为X,Y

相互独立,设6.2.3t分布(Student分布)定义则Tt

分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°t分布的上

分位数

t

与双测

分位数

t/2

有表可查t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°t分布的上n=10t-t••n=10t-t••t/2-t/2••/2/2t/2-t/2••/2/26.2.4F

分布(Fdistributionwithnandmdegrees)则F

所服从的分布称为第一自由度为n

,第二自由度为m

的F分布,其密度函数为定义X,Y

相互独立，设令6.2.4F分布则F所服从的分布称为第一自由度为m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10m=10,n=4m=4,n=10F分布的性质例如事实上,故但F(n,m)•19.5)5,4(05.0=F?)4,5(95.0=FF分布的性质例如事实上,故但F(n,m)•19.5)5例1

证明证例1证明证证例2

证明：设令证例2证明：设令6.2.5正态总体抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体与相互独立设总体的样本为()，则(1)(2)6.2.5正态总体抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总(II)两个正态总体设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本它们相互独立.

令(II)两个正态总体设是来自正态总体的一个简单随机样本则若则(3)则若则(3)设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本,它们相互独立.

则设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随与相互独立与相互独立(4)(4)例3

设总体大于70的概率不小于90%,则样本容量

,为使样本均值解设样本容量为

n

,则故令查表得即所以取——.42例3设总体大于70的概率不小于90%,则样本容量例4

从正态总体中，抽取了

n=20的样本(1)

求(2)

求例4从正态总体中，抽取了n=20的样本(1)求解

(1)即故(P.386)解(1)即故(P.386)(2)故(2)故例5

设X与Y

相互独立，X~N(0,16),Y~N(0,9),

X1,X2,…,X9

与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自

X

与

Y

的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解例5设X与Y相互独立，X~N(0,16),从而从而例6

设总体的样本,为总体X试确定常数c

使cY服从分布.解故因此例6设总体的样本,为总体X试确定常数c使cY服从分布例7

设是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,

是样本均值,则服从自由度为n-1的t

分布的随机变量为:例7设是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,故应选(B)解故应选(B)解例8

在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:(1)因为=2Φ(1.118)-1=0.7364解例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2解=0.2923例8

在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.2923例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5解=0.4215例8

在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.4215例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5Step1在数据编辑窗口中，建立数据文件;Step2计算样本均值——调用Average函数：Step3计算样本方差——调用Var函数;Step4计算样本标准差——调用Stdev函数.(1)利用Excel计算样本均值、样本方差、样本标准差

6.2.6Excel实现Step1在数据编辑窗口中，建立数据文件;Step2Step1计算标准正态分布的上侧α分位数

Step2计算

的上侧α分位数

Step3计算

的上侧α分位数

Step4计算

的上侧α分位数

(2)

利用Excel计算四大分布的分位数Step1计算标准正态分布的上侧α分位数Step2内容小结：1.

正态分布3.t分布(学生分布)4.F分布2.(卡方)分布6.Excel实现5.正态总体抽样分布的某些结论内容小结：1.正态分布3.t分布(学生分布)4.F分思考题:(非正态总体的样本均值分布问题)设总体X的分布未知，其期望为来自总体X

的样本，则当n充分均已知，大时，其样本均值服从什么分布？答案：即思考题:(非正态总体的样本均值分布问题)设总体X的分布未思考题2(2003年数学一考研试题选择题)设随机变量X～t(n)，n>1，，则()Y～(n).B.Y～(n-1).C.Y～F(n，1).D.Y～F(1，n).思考题3.(2001年数学一考研试题十二题)设总体X服从正态分布，(>0)，从该总体中抽取简单随机样本，其样本均值，求统计量的数学期望。思考题2(2003年数学一考研试题选择题)思考题3.(200生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热爱。12月-2212月-22Thursday,December29,2022人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。11:05:5611:05:5611:0512/29/202211:05:56AM做一枚螺丝钉，那里需要那里上。12月-2211:05:5611:05Dec-2229-Dec-22日复一日的努力只为成就美好的明天。11:05:5611:05:5611:05Thursday,December29,2022安全放在第一位，防微杜渐。12月-2212月-2211:05:5611:05:56December29,2022加强自身建设，增强个人的休养。2022年12月29日11:05上午12月-2212月-22精益求精，追求卓越，因为相信而伟大。29十二月202211:05:56上午11:05:5612月-22让自己更加强大，更加专业，这才能让自己更好。十二月2211:05上午12月-2211:05December29,2022这些年的努力就为了得到相应的回报。2022/12/2911:05:5611:05:5629December2022科学，你是国力的灵魂；同时又是社会发展的标志。11:05:56上午11:05上午11:05:5612月-22每天都是美好的一天，新的一天开启。12月-2212月-2211:0511:05:5611:05:56Dec-22相信命运，让自己成长，慢慢的长大。2022/12/2911:05:56Thursday,December29,2022爱情，亲情，友情，让人无法割舍。12月-222022/12/2911:05:5612月-22谢谢大家！生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热爱。12月-2212月-226.2正态样本统计量的抽样分布6.2.1

正态分布6.2.3t分布(学生分布)6.2.4F分布6.2.2(卡方)分布6.2.5正态总体抽样分布的某些结论6.2.6Excel实现6.2正态样本统计量的抽样分布6.2.1正态分布6

确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.

由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计6.2.1正态分布(Normaldistribution)则特别地,则若i.i.d.~若i.i.d.~6.2.1正态分布(Normaldistribution上(双)侧

分位数的概念设X

为连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),为给定常数,0<<1若则称

x

为X

所服从的分布的上分位数.如果

X的概率密度函数为偶函数,则对于满足

0<<1/2

的

,则称

x/2为X

所服从的分布的双侧分位数

若上(双)侧分位数的概念设X为连续型随机变量,其标准正态分布的上分位数

zz•常用数字/2

-z/2=z1-/2/2

z/2•-z/2•标准正态分布的上分位数zz•6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定义

设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1时,其密度函数为6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定义设相n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.n=2时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.一般地,其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的一般地,其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的n=2n=3n=5n=10n=15

分布密度函数图n=2n=3n=5n=10n=15例如分布的性质20.05(10)•n=10()05.0307.18)10(307.18)10(2205.0=>=ccP例如分布的性质20.05(10)•n=10()05.相互独立,证1设则相互独立,证1设则6.2.3t分布(Student分布)定义则T

所服从的分布称为自由度为n

的t分布其密度函数为X,Y

相互独立,设6.2.3t分布(Student分布)定义则Tt

分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°t分布的上

分位数

t

与双测

分位数

t/2

有表可查t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°t分布的上n=10t-t••n=10t-t••t/2-t/2••/2/2t/2-t/2••/2/26.2.4F

分布(Fdistributionwithnandmdegrees)则F

所服从的分布称为第一自由度为n

,第二自由度为m

的F分布,其密度函数为定义X,Y

相互独立，设令6.2.4F分布则F所服从的分布称为第一自由度为m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10m=10,n=4m=4,n=10F分布的性质例如事实上,故但F(n,m)•19.5)5,4(05.0=F?)4,5(95.0=FF分布的性质例如事实上,故但F(n,m)•19.5)5例1

证明证例1证明证证例2

证明：设令证例2证明：设令6.2.5正态总体抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体与相互独立设总体的样本为()，则(1)(2)6.2.5正态总体抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总(II)两个正态总体设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本它们相互独立.

令(II)两个正态总体设是来自正态总体的一个简单随机样本则若则(3)则若则(3)设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本,它们相互独立.

则设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随与相互独立与相互独立(4)(4)例3

设总体大于70的概率不小于90%,则样本容量

,为使样本均值解设样本容量为

n

,则故令查表得即所以取——.42例3设总体大于70的概率不小于90%,则样本容量例4

从正态总体中，抽取了

n=20的样本(1)

求(2)

求例4从正态总体中，抽取了n=20的样本(1)求解

(1)即故(P.386)解(1)即故(P.386)(2)故(2)故例5

设X与Y

相互独立，X~N(0,16),Y~N(0,9),

X1,X2,…,X9

与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自

X

与

Y

的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解例5设X与Y相互独立，X~N(0,16),从而从而例6

设总体的样本,为总体X试确定常数c

使cY服从分布.解故因此例6设总体的样本,为总体X试确定常数c使cY服从分布例7

设是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,

是样本均值,则服从自由度为n-1的t

分布的随机变量为:例7设是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,故应选(B)解故应选(B)解例8

在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:(1)因为=2Φ(1.118)-1=0.7364解例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2解=0.2923例8

在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.2923例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5解=0.4215例8

在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:解=0.4215例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5Step1在数据编辑窗口中，建立数据文件;Step2计算样本均值——调用Average函数：Step3计算样本方差——调用Var函数;Step4计算样本标准差——调用Stdev函数.(1)利用Excel计算样本均值、样本方差、样本标准差

6.2.6Excel实现Step1在数据编辑窗口中，建立数据文件;Step2Step1计算标准正态分布的上侧α分位数

Step2计算

的上侧α分位数

Step3计算

的上侧α分位数

Step4计算

的上侧α分位数

(2)

利用Excel计算四大分布的分位数Step1计算标准正态分布的上侧α分位数Step2内容小结：1.

正态分布3.t分布(学生分布)4.F分布2.(卡方)分布6.Excel实现5.正态总体抽样分布的某些结论内容小结：1.正态分布3.t分布(学生分布)4.F分思考题:(非正态总体的样本均值分布问题)设总体X的分布未知，其期望为来自总体X

的样本，则当n充分均已知，大时，其样本均值服从什么分布？答案：即思考题:(非正态总体的样本均值分布问题)设总体X的分布未思考题2(2003年数学一考研试题选择题)设随机变量X～t(n)，n>1，，则()Y～(n).B.Y～(n-1).C.Y