最新人教版九年级数学上册《-垂直于弦的直径》教学课件

24.1.2垂直于弦的直径R·九年级上册24.1.2垂直于弦的直径R·九年级上册新课导入圆是轴对称图形吗？状元成才路新课导入圆是轴对称图形吗？状元成才路(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.状元成才路(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.状元成推进新课什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？回顾知识点1圆的轴对称性状元成才路推进新课什么是轴对称图形？回顾知识点1圆的轴对称性状元成才

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆状元成才路如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探究状元成才路用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？O如何来证明圆是轴对称图形呢？状元成才路圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对BOACDE

是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？状元成才路BOACDE是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.BOACDE圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.状元成才路证明：连结OA、OB.BOACDE圆是轴对称知识点2垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.⌒⌒⌒⌒BOACDE状元成才路知识点2垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．知识要点垂径定理BOACDE状元成才路垂直于弦的直径平分弦，并知识要点垂径定理BOACDE状元成才下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4OAEBDOCAEB状元成才路下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBAE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理状元成才路AE＝BE⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，①过圆心③平分弦题设推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．状元成才路推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平NOABMCD注意为什么强调这里的弦不是直径？

一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．状元成才路NOABMCD注意为什么强调这里的弦不是直径？一个圆根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意

个条件都可以推出其他

个结论.注意两三状元成才路根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．垂径定理的推论状元成才路条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．状元成才路垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=r例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23状元成才路例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.

则R2=18.52+(R-7.23)2

解得：R≈27.3

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23状元成才路解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.ACBDO377.2318.5随堂演练基础巩固1.下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B状元成才路随堂演练基础巩固1.下列说法中正确的是()B状2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BD

C.OD=DCD.AC=BC3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是

，最短弦的长是

.C106⌒⌒状元成才路2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形.证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四边形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,∴四边形ADOE是正方形.状元成才路4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：(1)∠AOB的度数；(2)点O到AB的距离.解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.(2)作OM⊥AB，则∠AOM=∠AOB=30°.∴在Rt△AOM中，AM=AB=25mm.状元成才路5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.解：连接OC.∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r=.即⊙O的半径为m.状元成才路6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=150m.在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2,解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.状元成才路7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.状元成才路8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.状元成才路9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.综合应用状元成才路9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥C解：分两种情况讨论.第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.∵AB∥CD.

∴OE⊥AB.连接OB、OD.∴EM＝OM-OE＝7cm.状元成才路解：分两种情况讨论.状元成才路第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，

∴EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.状元成才路第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，状元成才路10.如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？拓展延伸状元成才路10.如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的解：OM＜ON.理由如下：连接OA、OC.则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,又∵AB＞CD,∴CN＜AM,∴CN2＜AM2.在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,∴OM2＜ON2.∴OM＜ON.状元成才路解：OM＜ON.状元成才路课堂小结垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.状元成才路课堂小结垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所

上完这节课，你收获了什么？有什么样的感悟？与同学相互交流讨论。课后研讨上完这节课，你收获了什么？有什么样的感悟？与同学相互学完这一节课，你有什么感悟和收获，请你记录下来吧！我的课堂反思学完这一节课，你有什么感悟和收获，请你记录下来吧！我的课堂反课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业1.从课后习题中选取；虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理。

——毛泽东虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理。谢谢观赏！祝大家学习进步谢谢观赏！祝大家学习进步24.1.2垂直于弦的直径R·九年级上册24.1.2垂直于弦的直径R·九年级上册新课导入圆是轴对称图形吗？状元成才路新课导入圆是轴对称图形吗？状元成才路(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.状元成才路(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.状元成推进新课什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？回顾知识点1圆的轴对称性状元成才路推进新课什么是轴对称图形？回顾知识点1圆的轴对称性状元成才

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆状元成才路如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探究状元成才路用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？O如何来证明圆是轴对称图形呢？状元成才路圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对BOACDE

是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？状元成才路BOACDE是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.BOACDE圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.状元成才路证明：连结OA、OB.BOACDE圆是轴对称知识点2垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.⌒⌒⌒⌒BOACDE状元成才路知识点2垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．知识要点垂径定理BOACDE状元成才路垂直于弦的直径平分弦，并知识要点垂径定理BOACDE状元成才下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4OAEBDOCAEB状元成才路下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBAE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理状元成才路AE＝BE⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，①过圆心③平分弦题设推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．状元成才路推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平NOABMCD注意为什么强调这里的弦不是直径？

一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．状元成才路NOABMCD注意为什么强调这里的弦不是直径？一个圆根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意

个条件都可以推出其他

个结论.注意两三状元成才路根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．垂径定理的推论状元成才路条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．状元成才路垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=r例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23状元成才路例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.

则R2=18.52+(R-7.23)2

解得：R≈27.3

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23状元成才路解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.ACBDO377.2318.5随堂演练基础巩固1.下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B状元成才路随堂演练基础巩固1.下列说法中正确的是()B状2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BD

C.OD=DCD.AC=BC3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是

，最短弦的长是

.C106⌒⌒状元成才路2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形.证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四边形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,∴四边形ADOE是正方形.状元成才路4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：(1)∠AOB的度数；(2)点O到AB的距离.解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.(2)作OM⊥AB，则∠AOM=∠AOB=30°.∴在Rt△AOM中，AM=AB=25mm.状元成才路5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.解：连接OC.∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r=.即⊙O的半径为m.状元成才路6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=150m.在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2,解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.状元成才路7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.状元成才路8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.状元成才路9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.综合应用状元成才路9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是