气溶胶力学第7章-气溶胶粒子的扩散与沉降-课件

第七章

气溶胶粒子的扩散与沉降第七章

气溶胶粒子的扩散与沉降1

1872年植物学家布朗（RobertBrown）首先观察到水中花粉的连续随机运动，后来人们称之为布朗运动。大约50年后才有人观察到烟尘粒子在空气中的类似运动。1900年爱因斯坦导出了布朗运动的关系式，后来被实验所验证。气溶胶粒子的扩散是由于气体分子随机运动，碰撞粒子并使其内系统的一部分输到另一部份的过程。在这一过程中粒子没有特定的运动方向。随机运动的结果使得粒子总是由高浓度区域向低浓度区域扩散。

在任何气溶胶系统中都存在扩散现象，而对粒径小于几个

的微细粒子，扩散现象尤为明显，而且往往伴随有粒子的沉降、粒子的收集和粒子的凝并发生。无论采取何种收集手段，气溶胶粒子的扩散对其收集性能有着重要的影响。为了除尘净化目的，在本章中我们将着重介绍有关扩散的基本理论及其应用。1872年植物学家布朗（RobertBrown）首一

扩

散

的

基

本

定

律

在各向同性的物质中，扩散的数学模型是基于这样一个假设：即穿过单位截面积的扩散物质的迁移速度与该面的浓度梯度成比例，即（7-1）式（7-1）称为费克第一扩散定律。这里F——在单位时间内通过单位面积的粒子的数量；C——扩散物质的浓度；D——扩散系数。在某些情况下，D为常数。而在另一些情况下，D可能是变量。其单位为。式（7-1）中的负号说明物质向浓度增加的相反方向扩散。在各向同性介质中，物质扩散的基本微分方程可以从式（7-1）中推导出来。一

扩

散

的

基

本

定

律在各向同性的物质中考虑一体积微元，令其各边平行相应的坐标轴，而长边分别为2dx，2dy,2dz。微元体的中心在P（x,y,z）点，这里扩散物质的浓度为C，ABCD和

二面垂直x轴，如图7-1所示。那么穿过平面ABCD进入微元体的扩散物质为：同理，穿过

面流出微元体的扩散物质为：

那么对于这两个面在微元体中扩散物质的增量为：对于其它相应的面，我们分别得到：

和

考虑一体积微元，令其各边平行相应的坐标轴，而长边分别为而微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而我们可以得出（7-2）如果扩散系数为常数，Fx,Fy,Fz由式（7-1）决定，则式（7-2）变为：（7-3）对于一维情况，式（7-3）变为（7-4）式（7-3）或式（7-4）通常称为费克扩散第二定律。而微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而我们可以得出（7-2对于柱坐标，式（7-3）可改写为：

（7-5）对于球面坐标，式（7-3）可改写为：

（7-6）所有这些方程都可以写成向量形式：（7-7）对于一维情况，当x方向上有速度为的介质的运动时，则在微元体中对应两面扩散物质的增加率为：对于柱坐标，式（7-3）可改写为：（7-5）对于球面坐标同理，在微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而，考虑到式（7-1）我们可以得到此时的扩散方程为：对于三维情况：

（7-8）（7-9）扩散方程也可以用其他概念来概括，若以

表示粒子在t时刻出现在区间[x,x+dx]的概率，以C0表示系统中粒子的个数浓度，那么在t时刻落在区间[x,x+dx]内的粒子的个数浓度为这样，我们可以把扩散方程用概率写成为（7-10）同理，在微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而，考虑到式（7对于一维情况：（7-11）当没有介质的运动时，vx=0，则（7-12）扩散系数的确定无疑是非常重要的。1905年爱因斯坦曾指出：气溶胶粒子的扩散等价于一巨型气体分子；气溶胶粒子布朗运动的动能等同于气体分子；作用于粒子上的扩散力是作用于粒子的渗透压力。对于单位体积中有n个悬浮粒子的气溶胶，其渗透压力P0由范德霍夫（Van’tHoff）定律得：式中k是波尔兹曼常数；T是绝对温度。对于一维情况：（7-11）当没有介质的运动时，vx=0，则图7-1粒子的扩散模型

由图7-1，因为粒子的浓度由左向右是逐渐降低，气溶胶粒子从左向右扩散并穿过平面E、E’、E，E'平面间微元距离dx,相应的粒子浓度变化为dn，由式（7-13）知，驱使粒子由左向右扩散力Fdiff为：（7-14）进行扩散运动的粒子还受斯托克斯阻力的作用，当粒子扩散是稳定的，则式中C——肯宁汉修正系数，所以

（7-15）图7-1粒子的扩散模型由图7-1，因为粒子的浓度由左向式（7-15）中左面的乘积nv是单位时间内通过单位面积的粒子的数量，即式（7-1）中的F，所以（7-16）式（7-16）是气溶胶粒子扩散系数的斯托克斯-爱因斯坦公式。或者写为：（7-17）式中B——粒子的迁移率。扩散系数D随温度的增高而增大,与粒径大小成反比，其大小可表征扩散运动的强弱。粒径对扩散系数的影响见表7-1。

式（7-15）中左面的乘积nv是单位时间内通过单位面积表7-1单位密度球体的扩散系数（20℃）扩散系数粒子直径（μm）迁移率（cm/s.N）

此外，由式（7-16）知，物质的扩散系数与其密度无关系，因此，在考虑气溶胶粒子的扩散问题时，可以应用其几何直径。

表7-1单位密度球体的扩散系数（20℃）扩散系数粒子直径

二

在

静

止

介

质

中

气

溶

胶

粒

子

的

扩

散

沉

降关于布朗运动引起的气溶胶粒子在“壁”上的沉降有很大的实际意义。这里所说的“壁”是指气溶胶粒子所接触的固体及液体表面。我们可以认为：只要气溶胶粒子与“壁”接触，粒子就粘在其上。这样，确定粒子在“壁”上沉降的速度，可以归结为计算一定分布状态的粒子到达一直边界的概率。

在大多数情况下，以粒子的浓度表示更方便一些。这时和壁相碰撞粒子的浓度等于零。我们可以用扩散理论来解决很多实际问题。（一）平面源在x=0处存在一平面源的扩散物质，对扩散系数D为常数的一维情况，可以应用式（7-4）来描述，即

二

在

静

止

介

质

中

气

溶

胶

粒

子

的

扩该方程的解可以很容易看出为：该式对x=0是对称的，当x趋近于+∞或-∞时，对t>0,式（7-18）趋于零，除x=0以外，对t=0,它处处为零。在单位横截面为无限长圆柱体中扩散物质的总量M为：（7-18）（7-19）如果浓度分布是由式（7-18）表示，令那么

（7-20）因而式（7-20）可以写为（7-21）该方程的解可以很容易看出为：该式对x=0是对称的，当x式（7-21）描述了在t=0时刻在平面x=0上的物质M由于扩散而引起的扩散。图7-2上所表示的是三个连续时间的典型分布。以上讨论的问题，扩散物质的一半沿x的负方向移动。然而如果我们有一半无限圆柱体伸展于x>0的区间里并且在x=0处有一不渗透的边界，所有的扩散发生在x的正方向，这时浓度分布为（7-22）式（7-21）描述了在t=0时刻在平面x=0上的物质

图7-2平面源浓度-距离曲线（曲线上的数字为Dt）

图7-2平面源浓度-距离曲线（曲线上的数字为Dt）（二）对垂直墙的扩散垂直墙在x=x0处与含有静止气溶胶的很大空间相联，此处初始浓度n0是均匀的，在这里我们可以应用一维扩散方程（7-4）式，且有：

初始条件x>x0时，n(x,0)=n0边界条件t>0时，n(x0,t)=0,这一问题的解是：（7-23）——概率积分函数。

其中

（二）对垂直墙的扩散垂直墙在x=x0处与含有静止气溶胶如果x0=0，即垂直墙位于x=0处，此时，（7-24）图7-3壁面附近气溶胶的浓度分布

图7-4壁面附近气溶胶的浓度分布

式（7-23）与式（7-24）所表示的浓度分布见图7-3及图7-4：如果x0=0，即垂直墙位于x=0处，此时，（7-24）通常比粒子的分布更有兴趣的问题是粒子的扩散速度，或在单位时间、单位面积上粒子的沉降量。单位面积上的扩散速度F可以按（7-1）式表示，即（7-25）把式（7-23）代入式（7-25）有那么在t1—t0时间间隔内到达单位面积墙壁上的粒子数量为：（7-26）（7-27）通常比粒子的分布更有兴趣的问题是粒子的扩散速度，或在单位时在0—t时间内粒子沉降的数量为（7-28）此问题中的壁可以成为“吸收壁”。（三）半无限原始分布时的扩散

在实践中更经常出现的问题，是由原始分布发生在半无限区间的情况，此时我们规定为：当t=0时，C=C0，x<0;C=0,x>0,以上情况可以参看图（7-5），对宽度微元扩散物质的强度为

那么，在距微元

,,处的点P在t时刻的浓度由式（7-21）知为：在0—t时间内粒子沉降的数量为（7-28）此问题中的壁可以

图7-5半无限原始分布

由于原始分布（7-21）引起的扩散方程的解是整个分布区间的积分，即(7-30)这里

，一般写为：

（7-31）次函数可以查误差函数表，并且次函数有下列基本性质；（7-32）图7-5半无限原始分布由于原始分布（7-2因而（7-33）——误差函数的余函数。这样该问题的扩散方程的解可以写为（7-34）式（7-34）所表示的浓度分布的形式见图（7-6）可以看出，对所有的t>0时刻，在x=0处。该情况的墙壁称为“渗透壁”。图7-6浓度-距离曲线

因而（7-33）——误差函数的余函数。这样该问题的扩散方程（7-35）这种情况下的浓度分布见图7-7，该分布对x=0是对称的。区间里的初始浓度为C0的扩散物质的扩散问题，几分限用从x-h到x+h来代替（7-30）式中x到∞，可以得到：

用同样的方法，对于分布在

（7-35）这种情况下的浓度分布见图7-7，该分布对x=0图7-7对有范围的线源的浓度-距离曲线[曲线上的数值

]

图7-7对有范围的线源的浓度-距离曲线[曲线]（四）重力场中的扩散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，如果没有布朗运动在气溶胶云中发生，在沉降过程中，气溶胶云的顶部将保持一明显的边界。然而在布朗扩散的情况下，就不存在明显的边界了。钱德莱塞克哈（Chandrasekehar）曾经讨论了这个问题，作用在粒子上的重力为：此时粒子的沉降速度为：（7-36）亦可查表7-2。（四）重力场中的扩散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，表7-2气溶胶粒子的特征参数粒子直径表中β——粒子迁移率；D——粒子的扩散系数；τ——张弛时间；——平均热速度；

——粒子的平均自由程。

表7-2气溶胶粒子的特征参数粒子直径表中β——粒子迁移那么对在垂直方向上的一维情况；可以应用式（7-37）边界条件：t>0时，n(0,t)=0(7-38)初始条件：x≠h时，n(x,0)=0（7-39）x=h时

此时，方程（7-37）的解为：（7-40）因而粒子在（t,t+dt）之间与水平壁面相撞的概率为：（7-41）那么对在垂直方向上的一维情况；可以应用式（7-37）边界若把式（7-41）对h从0到∞积分，我们可以得到在时间（t,t+dt）中在一厘米的壁上所沉积的粒子数：（7-42）当

，则式（7-42）化为

即布朗运动已

不影响对壁的沉降速度，此时它只与粒子的沉降速度

有关。

当

时，式（7-42）化为

在这种情况下沉淀由没有沉降作用时的扩散和没有扩散作用时的沉降各占一半贡献。由此可见，同时有布朗运动和外力作用情况下，计算气溶胶在壁上的沉降速度时，只取两种效应简单的总和会产生严重的偏差。以上各点，只有在静止介质中才是正确的，在实践中这种情况是很少遇到的，只能认为是理想化的结果。若把式（7-41）对h从0到∞积分，我们可以得到在时间（三

层

流

中

气

溶

胶

粒

子

层流中气溶胶粒子的扩散问题在实际中遇到得较少，往往在一些测量方法中遇到的扩散（一）圆管中气溶胶粒子向筒壁的沉淀：气溶胶粒子转移的概率

为：

而位移的绝对平均值为（7-43）因而可以认为在管子进口地方和管壁之间的距离小于

（7-44）的粒子全部沉淀在壁上，若我们假定层流时的速度分布为三

层

流

中

气

溶

胶

粒

子

层流中气溶胶粒子的扩（7-45）式中

——平均速度；R——管的直径；

——某一点到圆心的距离。

这样在层流

内的平均速度为

，因而在t时间内在这个层中的粒子沿轴向走过的平均距离为（7-46）把式（7-44）与式（7-46）中的t消去，我们得到（7-47）因而在单位时间流过离管口x的横截面的粒子数目为：（7-48）其中N0是进入管口剖面的粒子数目，因为

于是（7-49）（7-45）式中——平均速度；R——管的直径；——某一其中（7-50）式（7-49）的图形见图7-8。图7-8粒子在细管中的沉降（二）均一速度场中气溶胶粒子的扩散对于浓度为N0的粒子流，瞬时的从一点源射出，并有一均一的速度v的气流在x方向流过点源，这一问题常称瞬间点源问题。在和气流一起运动的坐标系统中，对位于原点的点源，浓度分布为其中（7-50）式（7-49）的图形见图7-8。图7-（7-51）其中N0时在t=0时刻，源所放出来的粒子数目。而在静止的坐标系统中，式（7-51）变为：（7-52）同理，对于分布在y坐标轴上的无限长的粒子的线源，我们可以得到：（7-53）其中

表示单位长线源放出的粒子数目。

在源头连续的情况下，空气中气溶胶粒子的分布应是恒定的，因而对式（7-9）我们假定，此外我们还假定（7-51）其中N0时在t=0时刻，源所放出来的粒子物质的对流输送速度比扩散输送要大，如果气流速度v是x轴方向，那么

项比

小很多，因而可略去

项，式（7-9）可化为：（7-54）这样式（7-54）的解与式（7-4）的解是一样的。即用x代替t，用z代x，用D/v代替D，并乘以，对线源得：

（7-55）而对于定常的点源则得：（7-56）物质的对流输送速度比扩散输送要大，如果气流速度v是x轴方向，四

气

溶

胶

粒

子

向

圆

柱

体

对于悬浮在气体中的细小粒子，被截留和惯性碰撞收集的可能性是很小的，因为它们不仅服从绕圆柱体的流线，而且也以不规则的方式横断流线而运动，在气体分子的撞击下粒子作随机运动，粒子的轨迹离开气体流线而沉降到障碍物的整个表面，越是细小的粒子和较小的流动速度，越表现出这一效果。朗缪尔（Langmuir）第一个研究了由于扩散作用粒子在孤立圆柱体上的沉降。利用方程（5-57），假设在t时间内粒子完全沉降到物体表面的气溶胶的厚度为xo，则由式（7-44）得：的

扩

散（7-57）四

气

溶

胶

粒

子

向

圆

柱

体

对于悬浮在气体中把式（5-57）用于扩散沉降，此时（7-58）为了确定xo，必须求出在x0厚度中的沉降时间t，为此假设扩散发生在之间，如图7-9所示。

图7-9扩散沉降发生的时间把式（5-57）用于扩散沉降，此时（7-58）为了确如果圆柱体的半径a远远大于厚度xo时，该式可简化为：把此式代入式（7-57）可得：（7-59）如果圆柱体的半径a远远大于厚度xo时，该式可简化为：把此式其中

称为派克莱特数。粒子扩散系数D为：

（7-60）其中k——波尔兹曼常熟；T——绝对温度；C——肯宁汉修正系数；dp——粒子直径。也可以应用图7-10来查粒子扩散系数D值。图7-10粒子扩散系数对于

，式（7-58）可以简化为：

（7-61）其中称为派克莱特数。粒子扩散系数D为：（7-60）其中耐坦森也推倒一同样的关系式，当

时为：

（7-62）福尔德兰德尔托到的关系式为：（7-63）同样，基于库瓦帕拉-黑派尔速度场，富克斯和斯太乞金娜托到的公式为：（7-64）这里，C=0.75或C=0.5，这个方程有个优点，即不需要进行干扰效果的修正。若假定为势流，斯太尔曼（Stairmand）托到的关系为：（7-65）耐坦森也推倒一同样的关系式，当时为：（7-62）福尔德把Peclet数引进扩散收集效率的关系式中，在孤立圆柱体情况下，对于势流

，对于粘性流，

，所以用无因次数

可表征扩散沉降的强度，即扩散沉降效率是

的函数。

例1.已知

求扩散沉降效率。解：由式（7-64）对于小于

数情况，斯太乞金娜和桃捷森（Torgeson）得出：

（7-67）把Peclet数引进扩散收集效率的关系式中，在孤立圆柱如果

此时Re=0.0513，式（7-61）、（7-64）、（7-65）分别为：由图7-10中查得扩散系数D，那么上列三式的计算结果见图7-11。可见计算结果式（7-61）〈式（7-64）〈式（7-65）。在没有实验资料验证的情况下，在实验中应用式（7-64）可能较稳妥些。7-11扩散收集效率如果五

气

溶

胶

粒

子

向

球

体由于扩散作用引起的粒子的沉降服从费克第一定律，即的

扩

散（7-68）其中N——是粒子沉降到表面积A上的速度。图7-12中表示出了厚度为

的浓度边界。与速度边界层相似，浓度边界层的浓度可以表示为：（7-69）图7-12扩散边界层与速度边界层五

气

溶

胶

粒

子

向

球

体由于扩散作用引起的粒子为了便于分析，假设浓度边界层的厚度是速度边界层的一部分，即（7-70）那么式（7-69）可以写为

（7-71）且在球体表面的浓度梯度为（7-72）应用图7-13中所表示的球体表面积微元由式（7-72）和（7-68）得：把上式对球体的前半部分进行积分得：（7-73）

图

7-13向球表面扩散

为了便于分析，假设浓度边界层的厚度是速度边界此外，粒子的沉降量还可由下式计算：

由式（6-20）及式（7-71）可把上式化为：（7-74）把表示N的两个方程（7-73）、（7-74）等同起来并令

，

称施密特（Schmidt）数，则由于

比1小的多，上式还可以近似写为：

（7-75）此外，粒子的沉降量还可由下式计算：由式（6-20）及式（7把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）由于尾迹的影响，球体的后半部分很难进行精确的分析，我们假设后半球收集的粒子数目与前半球相同，这时，（7-77）粒子流过球体直径为圆的断面的总流量为：（7-78）把式（7-77）被式（7-78）除得到收集效率：（7-79）对于标准空气，施密特数可以写为：（7-80）把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）表7-3例2的计算结果

0.10.20.51.05.0C2.911.891.3371.1681.034SCED0.000280.000130.0000560.0000330.00001例2.球滴直径为0.5mm，以速度10m/s穿过标准状态的空气，计算不同粒径的扩散收集效率，设

解：

由式（7-79）得：

计算结果见表7-3。除了上述计算扩散收集效率的克劳福德（Crawford）方法之外，约翰斯通和罗伯兹建议采用相似热传输的计算公式：（7-81）表7-3例2的计算结果0例3.直径为1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿过含粉尘粒子的标准空气，设，计算单一效率与综合效率。

解：

经计算

对对而扩散效率为

计算结果见图7-14。图7-14液滴的收集效率

例3.直径为1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿过含粉尘六

烟

尘

在

大

气

中

的

紊

流从通风口及烟囱中流出的污染物质向大气中的扩散与很多因素有关：流出物质的物理-化学性质、气象特征、烟囱的高度和位置、以及烟囱下游的地区特征，但这些因素不可能在分析方法中全部考虑到。要达到最大程度的扩散，流出物必须由足够的冲量和浮力，对于流出物中的细小固体粒子，他们的沉降速度较低，可以把气体扩散的研究成果用于小粒子的扩散。然而对大粒子就不能以相同的方法处理，它们有明显的沉降速度。扩

散

与

沉

降六

烟

尘

在

大

气

中

的

紊

流从通风口及烟囱（一）烟尘在大气中扩散的数学模型如果风速取为沿x轴方向，且风速u为常量，则扩散方程可以写为：（7-82）在烟囱的扩散问题中，式（7-82）中右边第2项远小于第一项，因而可以略去。此外，扩散过程是稳定的，因而，这样式（7-82）可以简化为：

（7-83）此二阶偏微分方程的一般解为：（7-84）这里,K是任意常数，其值由边界条件确定，必须满足的条件是源的下游任何垂直平面上污染物的迁移量是常数（稳定状态），且该常数必须等于源的发散量Q，即（一）烟尘在大气中扩散的数学模型如果风速取为沿x轴方向（7-85）对y的积分限制应为

到

，然而对z的积分限应根据源的状态而定。（1）在地面上的点源：对在地面水平的点源，z的积分应取从0到

，根据式（7-84）、式（7-85）为令

，则上式为

，

由标准积分，我们有：（7-85）对y的积分限制应为到因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度为H的点源：式（7-85）中对z的积分限可取为到

，这样会导致一小的误差，但在数学上更容易处理，此时常数化为：（7-87）（二）正态分布为了估算在源的下游污染物的浓度，往往遇到一分布函数，即正态分布函数，因而需要对正态分布函数进行研究。正态分布函数为：因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度为H的点源：（7-88）这里是任一实数；

称标准偏差，是大于零的实数。

式（7-88）的图形见图7-15，

决定了f(x)的最大值的位置，且曲线对

是对称的。当

=0时，曲线对称与x轴。

标准偏差，决定曲线的宽窄，不论

是多大，曲线下的面积总是1。分布函数随

的增大而扩展，在大气污染扩散中有重要的物理意义。通常扩散方程取双正态分布形式，是每一个轴向的单一正态分布函数的简单乘积，因此我们将用这些方程与下面的内容进行比较。（7-88）这里是任一实数；称标准偏差，是大于零的实数图7-15不同

的正态分布

、

图7-15不同的正态分布、（三）地面水平上点源的扩散把式（7-86）代入式（7-84）中可以得到地面水平面上污染物的浓度：（7-90）在把式（7-89）应用于解决点源的扩散问题，最大浓度发生在中心线上，相当于式（7-89）中的、

为零，因而式（7-89）变为：

把式（7-90）改写成与上式相似的形式，为此我们令：；（7-91）把式（7-91）代到式（7-90）中可得到地面水平点源下游的浓度关系式：（三）地面水平上点源的扩散把式（7-86）代入式（7-84）（7-92）在计算中，通常

的单位为m，风速u用m/s表示，如果浓度C用

、

表示。如果y、z都取为零，那么公式（7-92）化为（7-93）这一方程金额已用来计算地面水平点源中心线的浓度。（三）地面水平以上高度H处的点源由式（7-89）知，对一有效高度为H的烟囱的扩散，指数相

必须加以改变，需要把式（7-92）中的z以（z-H）代之，对于没有反射的高度为H的点源（见图7-16）浓度为（7-94）（7-92）在计算中，通常图7-16高度为H的点源的扩散模型

图7-17应用假象源来描述在地面的反射图7-16高度为H的点源的扩散模型图7-17应用“没有反射”这一限制是极为重要的。这个方程对计算气溶胶粒子在x方向下游某一点的浓度（地面水平）是有意义的。但是对于气体污染物，将不会被地面所吸收，而要从地面水平扩散回大气里，即地面对气体污染物不是一个汇。对该情况我们可以假想在-H处有一镜像源，如图7-17所示。在A点以后的阴影面积中浓度将增加，此阴影区中的浓度由两个正态分布曲线叠加而定，即把式（7-94）进行叠加，因而一项中包含（z+H）项，另一项包含（z-H）项，结果浓度方程为：（7-95）当z=0时，方程（6-90）变为：（7-96）“没有反射”这一限制是极为重要的。这个方程对计算气溶该式表示具有反射时的地面水平的浓度。（五）标准误差的决定以上推导的几个公式是对下风连续源有效的，对于瞬时或间歇的点源是无效的。此外，仅仅已知发散强度Q及有效高度H还是不够的，还必须知道

值才能进行计算。

吐尔耐尔（Turner）根据大量观测资料给出了

和

对距离x的关系图，如图7-18、7-19所示。可以根据不同大气稳定性等级及下游的位置x查得水平标准误差及垂直标准误差

，大气稳定性等级可以从表7-4中查得。

（六）有效烟囱高度的计算有效烟囱高度H是烟囱的实际高度h加上烟的上升高度

的方法，卡森（Carson）和莫塞斯（Moses）总结了711个烟的升高的观测值得出：

该式表示具有反射时的地面水平的浓度。（五）标准误差的决定表7-4大气稳定性等级表

10米高度处表面风速m/s白天太阳的辐射强度夜间气象条件强中等弱云层覆盖晴朗<22-33-55-6>6AA-BBCCA-BBB-CC-DDBCCDDEEDDDFFEDD（7-97）其中

——烟的升高，m；

——烟在烟囱出口的速度，m/s；D——烟囱直径，m；u——烟囱出口处的风速，m/s；——热扩散速度，kJ/s。

表7-4大气稳定性等级表10米高度处表面风速m/s白图7-18标准误差

与距离x间的函数关系

图7-19标准误差

与距离x间的函数关系图7-18标准误差与距离x间的函数关系图7-19这里m——烟囱内的质量流量，kg/s

；——烟气的定压比热；

——分别为烟囱出口温度及烟囱出口处的大气温度，

；P——大气压力。

郝兰德（Holland）提出：（7-98）其中P——大气压力，单位是毫巴，其他符号同前。此外，莫塞斯和卡森还对不同大气稳定性提出了下列三个公式：（不稳定）

（7-99）（中等稳定）

（7-100）（稳定）

（7-101）这里m——烟囱内的质量流量，kg/s；——烟气的定压比热以上n个计算烟囱的升高的公式都是可取的。（七）烟囱高度的决定在烟囱的下风侧一般都存在其他企业和居民区，在那里浓度不得超过一定值C。风速u从气象资料中可以确定，主要问题是求出所需的烟囱高度H。在中等稳定气象条件下，比例

几乎与距离x无关。如果此比例取为常数，且让y=0，那么由式（7-96）可知浓度是的单一函数。把式（7-96）对x求导数并令其等于零，可以得到沿中心线的最大浓度及其位置。即：（7-102）由式（7-102），

值可以由烟囱高度H加以确定，而从图（7-19）中可以读出x值，它是最大浓度所在位置，如果把条件代入式（7-96）且令y=0，那么在点源下游中心线地面水平的最大浓度为:以上n个计算烟囱的升高的公式都是可取的。（七）烟囱高度的决定（无反射时）

（7-103）（有反射时）

（7-104）改写以上两式得：（无反射时）

（有反射时）

若

已知，可从式（7-103）和（7-104）决定

值。再由图7-20查出相应的x值，再由x从图7-19种查出

值，把

代入式（7-102）即可得出在设计距离处不超过浓度C的烟囱高度H，这个高度不是烟囱的实际高度，而是有效高度，若把H作为实际高度，则其中包含了安全因素。把此高度代入式（7-103）、（7-104）可得：（无反射时）（7-103）（有反射时）（7-104）改（无反射）

（有反射）

说明烟囱有效高度增加一倍，下游中心线的地面水平最大浓度减少4倍，因而控制地面水平最大浓度的有效办法是增加烟囱高度。

图7-20标准误差乘积

与x的关系

（无反射）（有反射）说明烟囱有效高度增加一倍，下游（八）线源在某些情况下，如位于河流或笔直延伸的公路旁的一组工业，以及繁忙的公路，均可作为线源来处理，可模拟成一连续发散的无限线源。当风流方向垂直发散线时，下有的浓度可以写为：（7-105）这里q为单位长线源的强度，一般单位为g/m.s。若线源的程度较短，我们必须考虑两边的边缘影响，线源两端的位置取为，这里

，那么沿x轴地面水平的浓度以下式来计算：

（7-106）这里，该积分值可查表。

（八）线源在某些情况下，如位于河流或笔直延伸的公路旁的一（九）粒子在地面上的沉降气体污染物不受重力影响，而固体粒子的运动受重力强烈影响，重力对粒子扩散的影响是使中心显示向下倾斜。由于重力影响，高度H在式（7-94）中必须用离子的沉降距离加以修正，粒子离开烟囱后的自由沉降距离是其中

是粒子最终沉降速度，t是污染物流到下游x距离处的时间，因而

，这时粒子浓度方程为：（7-107）若计算沿中心线地面水平的浓度，由y=0,z=0，我们得：（7-108）这里是粒子的发散速度，

可以g/s表示，

用m表示，u用m/s表示。（九）粒子在地面上的沉降气体污染物不受重力影响，而固若以

表示单位时间单位面积的质量沉降，则C与

之间的关系如下：

所以粒子沿中心线在地面水平的沉降为：（7-109）例3.密度为1.5g/cm3的粉尘，从有效高度H=120m的烟囱中发散，粒子的发散流量对

的粒子为4g/s，风速是3m/s，且大气稳定性等级为D级。求出：①对距离为200—5000m的下游的沉降量，②在何处发生最大沉降量。解：①对

的粒子经计算

，由式（7-109）得：

若以表示单位时间单位面积的质量沉降，则C与之间的关系如下令

，

按上式可计算出

值如表7-5所示。

表7-5不同位置的沉降量②从表7-5中可以看出最大沉降量发生在离烟囱2000m处。

x(m)AB2005001000150020003000400050001840751101602102903508.519314055708410091.716.14.772.180.8430.2260.0370令，按上式可计算出值如表7-5所示。表7-5不同第七章

气溶胶粒子的扩散与沉降第七章

气溶胶粒子的扩散与沉降67

1872年植物学家布朗（RobertBrown）首先观察到水中花粉的连续随机运动，后来人们称之为布朗运动。大约50年后才有人观察到烟尘粒子在空气中的类似运动。1900年爱因斯坦导出了布朗运动的关系式，后来被实验所验证。气溶胶粒子的扩散是由于气体分子随机运动，碰撞粒子并使其内系统的一部分输到另一部份的过程。在这一过程中粒子没有特定的运动方向。随机运动的结果使得粒子总是由高浓度区域向低浓度区域扩散。

在任何气溶胶系统中都存在扩散现象，而对粒径小于几个

的微细粒子，扩散现象尤为明显，而且往往伴随有粒子的沉降、粒子的收集和粒子的凝并发生。无论采取何种收集手段，气溶胶粒子的扩散对其收集性能有着重要的影响。为了除尘净化目的，在本章中我们将着重介绍有关扩散的基本理论及其应用。1872年植物学家布朗（RobertBrown）首一

扩

散

的

基

本

定

律

在各向同性的物质中，扩散的数学模型是基于这样一个假设：即穿过单位截面积的扩散物质的迁移速度与该面的浓度梯度成比例，即（7-1）式（7-1）称为费克第一扩散定律。这里F——在单位时间内通过单位面积的粒子的数量；C——扩散物质的浓度；D——扩散系数。在某些情况下，D为常数。而在另一些情况下，D可能是变量。其单位为。式（7-1）中的负号说明物质向浓度增加的相反方向扩散。在各向同性介质中，物质扩散的基本微分方程可以从式（7-1）中推导出来。一

扩

散

的

基

本

定

律在各向同性的物质中考虑一体积微元，令其各边平行相应的坐标轴，而长边分别为2dx，2dy,2dz。微元体的中心在P（x,y,z）点，这里扩散物质的浓度为C，ABCD和

二面垂直x轴，如图7-1所示。那么穿过平面ABCD进入微元体的扩散物质为：同理，穿过

面流出微元体的扩散物质为：

那么对于这两个面在微元体中扩散物质的增量为：对于其它相应的面，我们分别得到：

和

考虑一体积微元，令其各边平行相应的坐标轴，而长边分别为而微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而我们可以得出（7-2）如果扩散系数为常数，Fx,Fy,Fz由式（7-1）决定，则式（7-2）变为：（7-3）对于一维情况，式（7-3）变为（7-4）式（7-3）或式（7-4）通常称为费克扩散第二定律。而微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而我们可以得出（7-2对于柱坐标，式（7-3）可改写为：

（7-5）对于球面坐标，式（7-3）可改写为：

（7-6）所有这些方程都可以写成向量形式：（7-7）对于一维情况，当x方向上有速度为的介质的运动时，则在微元体中对应两面扩散物质的增加率为：对于柱坐标，式（7-3）可改写为：（7-5）对于球面坐标同理，在微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而，考虑到式（7-1）我们可以得到此时的扩散方程为：对于三维情况：

（7-8）（7-9）扩散方程也可以用其他概念来概括，若以

表示粒子在t时刻出现在区间[x,x+dx]的概率，以C0表示系统中粒子的个数浓度，那么在t时刻落在区间[x,x+dx]内的粒子的个数浓度为这样，我们可以把扩散方程用概率写成为（7-10）同理，在微元体中扩散物质的总量的变化率为：因而，考虑到式（7对于一维情况：（7-11）当没有介质的运动时，vx=0，则（7-12）扩散系数的确定无疑是非常重要的。1905年爱因斯坦曾指出：气溶胶粒子的扩散等价于一巨型气体分子；气溶胶粒子布朗运动的动能等同于气体分子；作用于粒子上的扩散力是作用于粒子的渗透压力。对于单位体积中有n个悬浮粒子的气溶胶，其渗透压力P0由范德霍夫（Van’tHoff）定律得：式中k是波尔兹曼常数；T是绝对温度。对于一维情况：（7-11）当没有介质的运动时，vx=0，则图7-1粒子的扩散模型

由图7-1，因为粒子的浓度由左向右是逐渐降低，气溶胶粒子从左向右扩散并穿过平面E、E’、E，E'平面间微元距离dx,相应的粒子浓度变化为dn，由式（7-13）知，驱使粒子由左向右扩散力Fdiff为：（7-14）进行扩散运动的粒子还受斯托克斯阻力的作用，当粒子扩散是稳定的，则式中C——肯宁汉修正系数，所以

（7-15）图7-1粒子的扩散模型由图7-1，因为粒子的浓度由左向式（7-15）中左面的乘积nv是单位时间内通过单位面积的粒子的数量，即式（7-1）中的F，所以（7-16）式（7-16）是气溶胶粒子扩散系数的斯托克斯-爱因斯坦公式。或者写为：（7-17）式中B——粒子的迁移率。扩散系数D随温度的增高而增大,与粒径大小成反比，其大小可表征扩散运动的强弱。粒径对扩散系数的影响见表7-1。

式（7-15）中左面的乘积nv是单位时间内通过单位面积表7-1单位密度球体的扩散系数（20℃）扩散系数粒子直径（μm）迁移率（cm/s.N）

此外，由式（7-16）知，物质的扩散系数与其密度无关系，因此，在考虑气溶胶粒子的扩散问题时，可以应用其几何直径。

表7-1单位密度球体的扩散系数（20℃）扩散系数粒子直径

二

在

静

止

介

质

中

气

溶

胶

粒

子

的

扩

散

沉

降关于布朗运动引起的气溶胶粒子在“壁”上的沉降有很大的实际意义。这里所说的“壁”是指气溶胶粒子所接触的固体及液体表面。我们可以认为：只要气溶胶粒子与“壁”接触，粒子就粘在其上。这样，确定粒子在“壁”上沉降的速度，可以归结为计算一定分布状态的粒子到达一直边界的概率。

在大多数情况下，以粒子的浓度表示更方便一些。这时和壁相碰撞粒子的浓度等于零。我们可以用扩散理论来解决很多实际问题。（一）平面源在x=0处存在一平面源的扩散物质，对扩散系数D为常数的一维情况，可以应用式（7-4）来描述，即

二

在

静

止

介

质

中

气

溶

胶

粒

子

的

扩该方程的解可以很容易看出为：该式对x=0是对称的，当x趋近于+∞或-∞时，对t>0,式（7-18）趋于零，除x=0以外，对t=0,它处处为零。在单位横截面为无限长圆柱体中扩散物质的总量M为：（7-18）（7-19）如果浓度分布是由式（7-18）表示，令那么

（7-20）因而式（7-20）可以写为（7-21）该方程的解可以很容易看出为：该式对x=0是对称的，当x式（7-21）描述了在t=0时刻在平面x=0上的物质M由于扩散而引起的扩散。图7-2上所表示的是三个连续时间的典型分布。以上讨论的问题，扩散物质的一半沿x的负方向移动。然而如果我们有一半无限圆柱体伸展于x>0的区间里并且在x=0处有一不渗透的边界，所有的扩散发生在x的正方向，这时浓度分布为（7-22）式（7-21）描述了在t=0时刻在平面x=0上的物质

图7-2平面源浓度-距离曲线（曲线上的数字为Dt）

图7-2平面源浓度-距离曲线（曲线上的数字为Dt）（二）对垂直墙的扩散垂直墙在x=x0处与含有静止气溶胶的很大空间相联，此处初始浓度n0是均匀的，在这里我们可以应用一维扩散方程（7-4）式，且有：

初始条件x>x0时，n(x,0)=n0边界条件t>0时，n(x0,t)=0,这一问题的解是：（7-23）——概率积分函数。

其中

（二）对垂直墙的扩散垂直墙在x=x0处与含有静止气溶胶如果x0=0，即垂直墙位于x=0处，此时，（7-24）图7-3壁面附近气溶胶的浓度分布

图7-4壁面附近气溶胶的浓度分布

式（7-23）与式（7-24）所表示的浓度分布见图7-3及图7-4：如果x0=0，即垂直墙位于x=0处，此时，（7-24）通常比粒子的分布更有兴趣的问题是粒子的扩散速度，或在单位时间、单位面积上粒子的沉降量。单位面积上的扩散速度F可以按（7-1）式表示，即（7-25）把式（7-23）代入式（7-25）有那么在t1—t0时间间隔内到达单位面积墙壁上的粒子数量为：（7-26）（7-27）通常比粒子的分布更有兴趣的问题是粒子的扩散速度，或在单位时在0—t时间内粒子沉降的数量为（7-28）此问题中的壁可以成为“吸收壁”。（三）半无限原始分布时的扩散

在实践中更经常出现的问题，是由原始分布发生在半无限区间的情况，此时我们规定为：当t=0时，C=C0，x<0;C=0,x>0,以上情况可以参看图（7-5），对宽度微元扩散物质的强度为

那么，在距微元

,,处的点P在t时刻的浓度由式（7-21）知为：在0—t时间内粒子沉降的数量为（7-28）此问题中的壁可以

图7-5半无限原始分布

由于原始分布（7-21）引起的扩散方程的解是整个分布区间的积分，即(7-30)这里

，一般写为：

（7-31）次函数可以查误差函数表，并且次函数有下列基本性质；（7-32）图7-5半无限原始分布由于原始分布（7-2因而（7-33）——误差函数的余函数。这样该问题的扩散方程的解可以写为（7-34）式（7-34）所表示的浓度分布的形式见图（7-6）可以看出，对所有的t>0时刻，在x=0处。该情况的墙壁称为“渗透壁”。图7-6浓度-距离曲线

因而（7-33）——误差函数的余函数。这样该问题的扩散方程（7-35）这种情况下的浓度分布见图7-7，该分布对x=0是对称的。区间里的初始浓度为C0的扩散物质的扩散问题，几分限用从x-h到x+h来代替（7-30）式中x到∞，可以得到：

用同样的方法，对于分布在

（7-35）这种情况下的浓度分布见图7-7，该分布对x=0图7-7对有范围的线源的浓度-距离曲线[曲线上的数值

]

图7-7对有范围的线源的浓度-距离曲线[曲线]（四）重力场中的扩散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，如果没有布朗运动在气溶胶云中发生，在沉降过程中，气溶胶云的顶部将保持一明显的边界。然而在布朗扩散的情况下，就不存在明显的边界了。钱德莱塞克哈（Chandrasekehar）曾经讨论了这个问题，作用在粒子上的重力为：此时粒子的沉降速度为：（7-36）亦可查表7-2。（四）重力场中的扩散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，表7-2气溶胶粒子的特征参数粒子直径表中β——粒子迁移率；D——粒子的扩散系数；τ——张弛时间；——平均热速度；

——粒子的平均自由程。

表7-2气溶胶粒子的特征参数粒子直径表中β——粒子迁移那么对在垂直方向上的一维情况；可以应用式（7-37）边界条件：t>0时，n(0,t)=0(7-38)初始条件：x≠h时，n(x,0)=0（7-39）x=h时

此时，方程（7-37）的解为：（7-40）因而粒子在（t,t+dt）之间与水平壁面相撞的概率为：（7-41）那么对在垂直方向上的一维情况；可以应用式（7-37）边界若把式（7-41）对h从0到∞积分，我们可以得到在时间（t,t+dt）中在一厘米的壁上所沉积的粒子数：（7-42）当

，则式（7-42）化为

即布朗运动已

不影响对壁的沉降速度，此时它只与粒子的沉降速度

有关。

当

时，式（7-42）化为

在这种情况下沉淀由没有沉降作用时的扩散和没有扩散作用时的沉降各占一半贡献。由此可见，同时有布朗运动和外力作用情况下，计算气溶胶在壁上的沉降速度时，只取两种效应简单的总和会产生严重的偏差。以上各点，只有在静止介质中才是正确的，在实践中这种情况是很少遇到的，只能认为是理想化的结果。若把式（7-41）对h从0到∞积分，我们可以得到在时间（三

层

流

中

气

溶

胶

粒

子

层流中气溶胶粒子的扩散问题在实际中遇到得较少，往往在一些测量方法中遇到的扩散（一）圆管中气溶胶粒子向筒壁的沉淀：气溶胶粒子转移的概率

为：

而位移的绝对平均值为（7-43）因而可以认为在管子进口地方和管壁之间的距离小于

（7-44）的粒子全部沉淀在壁上，若我们假定层流时的速度分布为三

层

流

中

气

溶

胶

粒

子

层流中气溶胶粒子的扩（7-45）式中

——平均速度；R——管的直径；

——某一点到圆心的距离。

这样在层流

内的平均速度为

，因而在t时间内在这个层中的粒子沿轴向走过的平均距离为（7-46）把式（7-44）与式（7-46）中的t消去，我们得到（7-47）因而在单位时间流过离管口x的横截面的粒子数目为：（7-48）其中N0是进入管口剖面的粒子数目，因为

于是（7-49）（7-45）式中——平均速度；R——管的直径；——某一其中（7-50）式（7-49）的图形见图7-8。图7-8粒子在细管中的沉降（二）均一速度场中气溶胶粒子的扩散对于浓度为N0的粒子流，瞬时的从一点源射出，并有一均一的速度v的气流在x方向流过点源，这一问题常称瞬间点源问题。在和气流一起运动的坐标系统中，对位于原点的点源，浓度分布为其中（7-50）式（7-49）的图形见图7-8。图7-（7-51）其中N0时在t=0时刻，源所放出来的粒子数目。而在静止的坐标系统中，式（7-51）变为：（7-52）同理，对于分布在y坐标轴上的无限长的粒子的线源，我们可以得到：（7-53）其中

表示单位长线源放出的粒子数目。

在源头连续的情况下，空气中气溶胶粒子的分布应是恒定的，因而对式（7-9）我们假定，此外我们还假定（7-51）其中N0时在t=0时刻，源所放出来的粒子物质的对流输送速度比扩散输送要大，如果气流速度v是x轴方向，那么

项比

小很多，因而可略去

项，式（7-9）可化为：（7-54）这样式（7-54）的解与式（7-4）的解是一样的。即用x代替t，用z代x，用D/v代替D，并乘以，对线源得：

（7-55）而对于定常的点源则得：（7-56）物质的对流输送速度比扩散输送要大，如果气流速度v是x轴方向，四

气

溶

胶

粒

子

向

圆

柱

体

对于悬浮在气体中的细小粒子，被截留和惯性碰撞收集的可能性是很小的，因为它们不仅服从绕圆柱体的流线，而且也以不规则的方式横断流线而运动，在气体分子的撞击下粒子作随机运动，粒子的轨迹离开气体流线而沉降到障碍物的整个表面，越是细小的粒子和较小的流动速度，越表现出这一效果。朗缪尔（Langmuir）第一个研究了由于扩散作用粒子在孤立圆柱体上的沉降。利用方程（5-57），假设在t时间内粒子完全沉降到物体表面的气溶胶的厚度为xo，则由式（7-44）得：的

扩

散（7-57）四

气

溶

胶

粒

子

向

圆

柱

体

对于悬浮在气体中把式（5-57）用于扩散沉降，此时（7-58）为了确定xo，必须求出在x0厚度中的沉降时间t，为此假设扩散发生在之间，如图7-9所示。

图7-9扩散沉降发生的时间把式（5-57）用于扩散沉降，此时（7-58）为了确如果圆柱体的半径a远远大于厚度xo时，该式可简化为：把此式代入式（7-57）可得：（7-59）如果圆柱体的半径a远远大于厚度xo时，该式可简化为：把此式其中

称为派克莱特数。粒子扩散系数D为：

（7-60）其中k——波尔兹曼常熟；T——绝对温度；C——肯宁汉修正系数；dp——粒子直径。也可以应用图7-10来查粒子扩散系数D值。图7-10粒子扩散系数对于

，式（7-58）可以简化为：

（7-61）其中称为派克莱特数。粒子扩散系数D为：（7-60）其中耐坦森也推倒一同样的关系式，当

时为：

（7-62）福尔德兰德尔托到的关系式为：（7-63）同样，基于库瓦帕拉-黑派尔速度场，富克斯和斯太乞金娜托到的公式为：（7-64）这里，C=0.75或C=0.5，这个方程有个优点，即不需要进行干扰效果的修正。若假定为势流，斯太尔曼（Stairmand）托到的关系为：（7-65）耐坦森也推倒一同样的关系式，当时为：（7-62）福尔德把Peclet数引进扩散收集效率的关系式中，在孤立圆柱体情况下，对于势流

，对于粘性流，

，所以用无因次数

可表征扩散沉降的强度，即扩散沉降效率是

的函数。

例1.已知

求扩散沉降效率。解：由式（7-64）对于小于

数情况，斯太乞金娜和桃捷森（Torgeson）得出：

（7-67）把Peclet数引进扩散收集效率的关系式中，在孤立圆柱如果

此时Re=0.0513，式（7-61）、（7-64）、（7-65）分别为：由图7-10中查得扩散系数D，那么上列三式的计算结果见图7-11。可见计算结果式（7-61）〈式（7-64）〈式（7-65）。在没有实验资料验证的情况下，在实验中应用式（7-64）可能较稳妥些。7-11扩散收集效率如果五

气

溶

胶

粒

子

向

球

体由于扩散作用引起的粒子的沉降服从费克第一定律，即的

扩

散（7-68）其中N——是粒子沉降到表面积A上的速度。图7-12中表示出了厚度为

的浓度边界。与速度边界层相似，浓度边界层的浓度可以表示为：（7-69）图7-12扩散边界层与速度边界层五

气

溶

胶

粒

子

向

球

体由于扩散作用引起的粒子为了便于分析，假设浓度边界层的厚度是速度边界层的一部分，即（7-70）那么式（7-69）可以写为

（7-71）且在球体表面的浓度梯度为（7-72）应用图7-13中所表示的球体表面积微元由式（7-72）和（7-68）得：把上式对球体的前半部分进行积分得：（7-73）

图

7-13向球表面扩散

为了便于分析，假设浓度边界层的厚度是速度边界此外，粒子的沉降量还可由下式计算：

由式（6-20）及式（7-71）可把上式化为：（7-74）把表示N的两个方程（7-73）、（7-74）等同起来并令

，

称施密特（Schmidt）数，则由于

比1小的多，上式还可以近似写为：

（7-75）此外，粒子的沉降量还可由下式计算：由式（6-20）及式（7把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）由于尾迹的影响，球体的后半部分很难进行精确的分析，我们假设后半球收集的粒子数目与前半球相同，这时，（7-77）粒子流过球体直径为圆的断面的总流量为：（7-78）把式（7-77）被式（7-78）除得到收集效率：（7-79）对于标准空气，施密特数可以写为：（7-80）把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）表7-3例2的计算结果

0.10.20.51.05.0C2.911.891.3371.1681.034SCED0.000280.000130.0000560.0000330.00001例2.球滴直径为0.5mm，以速度10m/s穿过标准状态的空气，计算不同粒径的扩散收集效率，设

解：

由式（7-79）得：

计算结果见表7-3。除了上述计算扩散收集效率的克劳福德（Crawford）方法之外，约翰斯通和罗伯兹建议采用相似热传输的计算公式：（7-81）表7-3例2的计算结果0例3.直径为1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿过含粉尘粒子的标准空气，设，计算单一效率与综合效率。

解：

经计算

对对而扩散效率为

计算结果见图7-14。图7-14液滴的收集效率

例3.直径为1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿过含粉尘六

烟

尘

在

大

气

中

的

紊

流从通风口及烟囱中流出的污染物质向大气中的扩散与很多因素有关：流出物质的物理-化学性质、气象特征、烟囱的高度和位置、以及烟囱下游的地区特征，但这些因素不可能在分析方法中全部考虑到。要达到最大程度的扩散，流出物必须由足够的冲量和浮力，对于流出物中的细小固体粒子，他们的沉降速度较低，可以把气体扩散的研究成果用于小粒子的扩散。然而对大粒子就不能以相同的方法处理，它们有明显的沉降速度。扩

散

与

沉

降六

烟

尘

在

大

气

中

的

紊

流从通风口及烟囱（一）烟尘在大气中扩散的数学模型如果风速取为沿x轴方向，且风速u为常量，则扩散方程可以写为：（7-82）在烟囱的扩散问题中，式（7-82）中右边第2项远小于第一项，因而可以略去。此外，扩散过程是稳定的，因而，这样式（7-82）可以简化为：

（7-83）此二阶偏微分方程的一般解为：（7-84）这里,K是任意常数，其值由边界条件确定，必须满足的条件是源的下游任何垂直平面上污染物的迁移量是常数（稳定状态），且该常数必须等于源的发散量Q，即（一）烟尘在大气中扩散的数学模型如果风速取为沿x轴方向（7-85）对y的积分限制应为

到

，然而对z的积分限应根据源的状态而定。（1）在地面上的点源：对在地面水平的点源，z的积分应取从0到

，根据式（7-84）、式（7-85）为令

，则上式为

，

由标准积分，我们有：（7-85）对y的积分限制应为到因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度为H的点源：式（7-85）中对z的积分限可取为到

，这样会导致一小的误差，但在数学上更容易处理，此时常数化为：（7-87）（二）正态分布为了估算在源的下游污染物的浓度，往往遇到一分布函数，即正态分布函数，因而需要对正态分布函数进行研究。正态分布函数为：因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度为H的点源：（7-88）这里是任一实数；

称标准偏差，是大于零的实数。

式（7-88）的图形见图7-15，

决定了f(x)的最大值的位置，且曲线对

是对称的。当

=0时，曲线对称与x轴。

标准偏差，决定曲线的宽窄，不论

是多大，曲线下的面积总是1。分布函数随

的增大而扩展，在大气污染扩散中有重要的物理意义。通常扩散方程取双正态分布形式，是每一个轴向的单一正态分布函数的简单乘积，因此我们将用这些方程与下面的内容进行比较。（7-88）这里是任一实数；称标准偏差，是大于零的实数图7-15不同

的正态分布

、

图7-15不同的正态分布、（三）地面水平上点源的扩散把式（7-86）代入式（7-84）中可以得到地面水平面上污染物的浓度：（7-90）在把式（7-89）应用于解决点源的扩散问题，最大浓度发生在中心线上，相当于式（7-89）中的、

为零，因而式（7-89）变为：

把式（7-90）改写成与上式相似的形式，为此我们令：；（7-91）把式（7-91）代到式（7-90）中可得到地面水平点源下游的浓度关系式：（三）地面水平上点源的扩散把式（7-86）代入式（7-84）（7-92）在计算中，通常

的单位为m，风速u用m/s表示，如果浓度C用

、

表示。如果y、z都取为零，那么公式（7-92）化为（7-93）这一方程金额已用来计算地面水平点源中心线的浓度。（三）地面水平以上高度H处的点源由式（7-89）知，对一有效高度为H的烟囱的扩散，指数相

必须加以改变，需要把式（7-92）中的z以（z-H）代之，对于没有反射的高度为H的点源（见图7-16）浓度为（7-94）（7-92）在计算中，通常图7-16高度为H的点源的扩散模型

图7-17应用假象源来描述在地面的反射图7-16高度为H的点源的扩散模型图7-17应用“没有反射”这一限制是极为重要的。这个方程对计算气溶胶粒子在x方向下游某一点的浓度（地面水平）是有意义的。但是对于气体污染物，将不会被地面所吸收，而要从地面水平扩散回大气里，即地面对气体污染物不是一个汇。对该情况我们可以假想在-H处有一镜像源，如图7-17所示。在A点以后的阴影面积中浓度将增加，此阴影区中的浓度由两个正态分布曲线叠加而定，即把式（7-94）进行叠加，因而一项中包含（z+H）项，另一项包含（z-H）项，结果浓度方程为：（7-95）当z=0时，方程（6-90）变为：（7-96）“没有反射”这一限制是极为重要的。这个方程对计算气溶该式表示具有反射时的地面水平的浓度。（五）标准误差的决定以上推导的几个公式是对下风连续源有效的，对于瞬时或间歇的点源是无效的。此外，仅仅已知发散强度Q及有效高度H还是不够的，还必须知道

值才能进行计算。

吐尔耐尔（Turner）根据大量观测资料给