含时间因素的货币等值计算教材

第三章含时间因素的货币等值计算讲授内容一、利息计算公式二、等值的计算三、电子表格的运用一、利息计算公式（一）利息的种类1、单利利息；2、复利利息（二）现金流量图（CashFlowDiagram）（三）利息计算公式1、一次支付复利公式；2、一次支付现值公式3、等额支付系列复利公式；4、等额支付系列积累基金公式5、等额支付系列资金恢复公式；6、等额支付系列现值公式7、均匀梯度系列公式（四）运用利息公式应注意的问题（五）名义利率和有效利率1、离散式复利；2、连续式复利（一）利息的种类假设以年利率6%借入资金1000元，共借4年，其偿还情况如表所示：1、单利计息即每期均按原始本金计算利息，这种计息方式称为单利（计息）。利息与时间呈线性关系，不论计息期数为多大，只有本金计息，而利息本身不再计息。设P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表本利和，则有：I=PniF=P(1+ni)2、复利计息将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）。同样设P代表本金，n代表计息期数，i

代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表本利和，则有：F=P(1+i)

nI=P{(1+i)n−1}我国银行目前名义上用的还是单利计算，只是通过存期的不同，规定不同的单利利率。我国当前居民银行存款利率：一年（2.25%）；二年（2.79%）；三年（3.33%）；五年（3.60%）贷款利率：半年至一年（5.31%）；一至三年（5.40%）；三至五年（5.76%）；五年以上（5.94%）符号定义：

P—现值

F—终值

i—年利率

n—计息期数

A—年金（年值）Annuity计息期末等额发生的现金流量

G—等差支付系列中的等差变量（三）利息公式第一年年初:P第一年年末:P(1+i)第二年年末:P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2

……第n年年末:P(1+i)n（三）利息公式1、一次支付复利公式F=P（1+i）ni

——利率(interestrate)；n

——计息期数(number)；P

——现在值(PresentValue/worth)；F

——将来值(FutureValue/worth)；(1+i)n

——一次支付复利系数(single-paymentcompoundamountfactor)，有时记为（F/P,i,n）,则有F=P(F/P,i,n)案例例在第一一年年年初，，以年年利率率6%投资1000元，则则到第第四年年年末末可得得本利利和多多少？？2、一次次支付付现值值公式式一次支支付现现值系系数案例例为了在在第四四年年年末得得到1262.50元，按按年利利率6%计算，，现在在必须须投资资多少少？答：或3、等额额支付付系列列复利利公式式…等额支支付系系列复复利系系数案例例连续5年每年年年末末借款款1000元，按按年利利率6%计算，，第5年年末末累积积借款款多少少？答：4、等额额支付付系列列积累累基金金公式式等额支支付系系列积积累基基金系系数案例例如果要要在第第5年年末末得到到资金金1000元，按按年利利率6%计算，，从现现在起起连续续5年每年年必须须存储储多少少？答：⒌等额支支付系系列资资金回回收（（恢复复）公公式等额支支付系系列资资金回回收现现金流流量图图0123……………….n-1n年PAAA……………….

？=AAF=（A/P，i，n）_____资金回回收系系数（capitalrecoveryfactor）(1+i)n

-1i(1+i)n

而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n

-1A(1+i)n

P5、等额额支付付系列列资金金恢复复公式式等额支支付系系列资金恢恢复系系数案例例如果现现在以以年利利率5%投资1000元，在在今后后的8年中，，每年年年末末以相相等的的数额额提取取回收收本利利和，，则每每年年年末可可以等等额提提取多多少？？6、等额额支付付系列列现值值公式式等额支支付系系列现值系系数案例例按年利利率6%计算，，为了了能够够在今今后5年中每每年年年末得得到100万元的的利润润，假假设不不考虑虑残值值的影影响，，现在在应投投资多多少？？答：7、均匀匀梯度度系列列公式式某工厂购进进一台机器器设备，每每年都需要要设备制造造商提供一一次有偿维维护服务，，该机器设设备随着使使用而日益益老化，所所需劳动力力和备件将将越来越多多，所需维维护费用也也将逐步增增加，该工工厂可选择择以下两种种维护费支支付方式：：（1）在使用n年以后再支支付前n年的维护费费；（2）在购进机机器时一次次性支付n年维护费；；已知第一年年年末的维维护费用为为A1，当每年的维维护费用以以相同的金金额G增加时，在考虑资金金时间价值值的情况下下，这两种种方式分别别应支付多多少维护费费？7、均匀梯度度系列公式式如果将上面面现金流量量图转化为为等额支付付系列：（1）第一种支支付方式：：等额支付系系列复利公公式（F）；（2）第二种支支付方式：：等额支付系系列现值公公式（P）；7、均匀梯度度系列公式式7、均匀梯度度系列公式式等额支付系系列积累基基金公式等额支付系系列资金恢恢复公式等额支付系系列复利公公式：7、均匀梯度度系列公式式等额支付系系列复利系系数梯度系数（A/G,i,n）案例假定某人第第一年末把把1000元存入银行行，以后9年每年递增增存款200元。如果年年利率为8%，把这笔存存款折算成成10年的年末等等额支付系系列，相当当于每年存存入多少？？答：案例假定某人第第一年末把把5000元存入银行行，以后5年每年递减减600元。如果年年利率为9%，把这笔存存款折算成成6年的年末等等额支付系系列，相当当于每年存存入多少？？答：等比梯度系系列8、运用利息息公式应注注意的问题题（1）为了实施施方案的初初始投资，，假定发生生在方案的的寿命期初初；（2）方案实施施工程中的的经常性支支出，假定定发生在计计息期末；；（3）本年的年年末即是下下一年的年年初；（4）P是在当前年年度开始时时发生；（5）F是在当前以以后的第n年年末发生生；（6）A是在考察期期间各年年年末发生。。当问题包包括P和A时，系列的的第一个A是在P发生一年后后的年末发发生；当问问题包括F和A时，系列的的最后一个个A是和F同时发生；；（7）均匀梯度度系列中，，第一个G发生在系列列的第二年年年末。（四）名义义利率和有有效利率当利率的时时间单位与与计息期不不一致时，，就出现了了名义利率率和有效利利率的概念念。有效利率(effectiveinterestrate)：资金在计息息期所发生生的实际利利率。(年)名义利率(nominalinterestrate)：当计息期短短于一年时时，每一计计息期的有有效利率乘乘上一年中中计息期数数所得到的的年利率。。例如，“每半年计息息一次，计计息期的利利率为3%”，3%为实际计息息用的利率率，即有效效利率。3%×2=6%为(年)名义利率。。（四）名义义利率和有有效利率有效利率和和名义利率率的关系实实际上是复复利和单利利的关系。。例如，“年利率12%，每月计息息一次”。此时，12%为名义利率率，年有效效利率为：：案例例如果实际的的年有效利利率为12%，按每月计计息一次，，那么实际际的月有效效利率为多多少？年名名义利率为为多少？解析：假设月实际利利率为r，则有：(1+r)12=1+12%从而可估算出出月有效利率率为0.95%；年名义利率为为：12×0.95%=11.4%。1、离散式复利利离散式复利：：按期（年、季季、月和日））计息的方法法。例如：年利率为6%，每半年计息息一次，有效效年利率是多多少？年利率率为6%，每月计息一一次，有效年年利率又是多多少？两者进进行比较后可可以得出什么么结论？一年中计算复复利的次数越越频繁，则年年有效利率比比年名义利率率越高。1、离散式复利利如果名义利率率为r，一年中计算算利息n次，每次计息息的利率为r/n，根据一次支支付复利系数数公式，年末末本利和为：：案例例假定某人把1000元进行投资，，时间为10年，利息按年年利率8%，每季度计息息一次计算，，求10年末的将来值值？解析：每年计计息4次，10年的计息期为为4×10=40次，每一计息息期的有效利利率为8%÷4=2%，10年末的将来值值：名义利率为8%，每年的计息息期n=4,年有效利率为为：名义利率为6%，计息期不同同时的年有效效利率比较：：由小到大频率增大连续复利下的的利息计算公公式二、等值的计计算478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%同一利率下不不同时间的货货币等值在某项经济活活动中，如果果两个方案的的经济效果相相同，就称这这两个方案是是等值的。例如：在年利利率6%情况下，现在在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。这两个等等值的现金流流量如下图所所示。（一）等值的的概念即使金额相等等，由于发生生的时间不同同，其价值并并不一定相等等；反之，不同时时间上发生的的金额不等，，其货币的价价值却可能相相等。货币的等值包包括三个因素金额金额发生的时时间利率如果两个现金金流量等值，，则在任何时时间其相应的的值必定相等等。货币等值是考考虑了货币的的时间价值从利息表上查查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839从用直线内插法法可得(二)计息期为一年年的等值计算算相同有效利率名义利率直接计算例：当利率为为多大时，现现在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750计算表明，当当利率为6.41%时，现在的300元等值于第9年年末的525元。例：当利率为为8%时，从现在起起连续6年的年末等额额支付为多少少时与第6年年末的10000等值？A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年计算表明，当当利率为8%时，从现在起起连续6年1363元的年末等额额支付与第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%例：当利率为为10%时，从现在起起连续5年的年末等额额支付为600元，问与其等等值的第0年的现值为多多大？解：P=A(P/A,10%,5)=2774.59元计算表明，当当利率为10%时，从现在起起连续5年的600元年末等额支支付与第0年的现值2274.50元是等值的。。(三)计息期短于一一年的等值计计算如计息期短于于一年，仍可可利用以上的的利息公式进进行计算，这这种计算通常常可以出现下下列三种情况况：1.计息期和支付期相同例：年利率为为12%，每半年计息息一次，从现现在起，连续续3年，每半年为为100元的等额支付付，问与其等等值的第0年的现值为多多大？解：每计息期期的利率（每半年一期期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100××4.9173=491.73元计算表明，按按年利率12%，每半年计息息一次计算利利息，从现在在起连续3年每半年支付付100元的等额支付付与第0年的现值491.73元的现值是等等值的。例：求等值状状况下的利率率。假如有人人目前借入2000元，在今后两两年中分24次等额偿还，，每次偿还99.80元。复利按月月计算。试求求月有效利率率、名义利率率和年有效利利率。解：现在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列数数值相当于i=1.5%。因为计息期期是一个月，，所以月有效效利率为1.5%。名义利率：：r=(每月1.5%）×（12个月）=18%年有效利率：：2.计息期长于于于支付期通常规定存款款必须存满整整个一个计息息期时才计算算利息，在计计息期间存入入的款项在该该期不计算利利息。计息期间间的存款款应放在在期末，，而计息息期间的的提款应应放在期期初。计息期间间的存款应放放在期末末，而计息息期间的的提款应放放在期初初。每季度计计息一次次，年利利率8％，求年年底帐户户总额。。例：250400100存款提款1001000123456789101112（月）

(二)计息期大大于支付付期的情情况解：按上上述原则则，现金金流量图图可改画画为：10025040010020001234季度300例:求每半年年向银行行借1400元，连续续借10年的等额额支付系系列的等等值将来来值。利利息分别别按:1）年利率率为12％,每年计息息一次。。2）年利率率为12％，每半半年计息息一次3）年利率率12％，每季季度计息息一次，，这三种种情况计计息。01210年28002800140014002800解：1）计息期期长于支支付期14002）计息期期等于支支付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）计息期期短于支支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）＝52000（元）0123414001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)季度3.计息期短短于支付付期例：按年年利率为为12%，每季度度计息一一次计算算利息，，从现在在起连续续3年的等额额年末支支付借款款为1000元，问与与其等值值的第3年年末的的借款金金额为多多大？解：其其现金流流量如下下图

0123456789101112季度F=？100010001000第一种方方法：取一个个循环周周期，使使这个周周期的年年末支付付转变成成等值的的计息期期末的等等额支付付系列，，其现金金流量见见下图：：012342392392392390123410001000将年度支支付转化化为计息息期末支支付（单单位：元元）A=F（A/F，3%，4）=1000××0.2390=239元（A/F，3%，4）239F=？季度经转变后后计息期期与支付付期重合合（单位位：元））F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元第二种方方法：把等额额支付的的每一个个支付看看作为一一次支付付，求出出每个支支付的将将来值，，然后把把将来值值加起来来，这个个和就是是等额支支付的实实际结果果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元第三种方方法：将名义义利率转转化为年年有效利利率，以以一年为为基础进进行计算算。年有效利利率是通过三种种方法计计算表明明，按年年利率12%，每季度度计息一一次，从从现在起起连续三三年的1000元等额年年末借款款与第三三年年末末的3392元等值。。例4:假定现金金流量是是：第6年年末支支付300元，第9、10、11、12年末各支支付60元，第13年年末支支付210元，第15、16、17年年末各各获得80元。按年年利率5％计息，，与此等等值的现现金流量量的现值值P为多少？？P=?0300678910111213141516172106080解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16也可用其其他公式式求得P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.16例5:某项目第第1~4年平均投投资50万元，第第4年建成投投产，年年净收益益40万元，第第5~10年生产达达产后年年均净收收益70万元。第第11~12年生产约约有下降降，年均均净收益益50万元，在在年利率率8%时，求终终值、现现值、第第4年期末的的等值资资金？62课堂练习习1、某工程程投资100万元，第第三年开开始投产产，需要要流动资资金300万元，投投产后，，每年销销售收入入抵销经经营成本本后为300万元，第第5年追加投投资500万元，当当年见效效且每年年销售收收入抵销销经营成成本后为为750万元，该该项目的的经济寿寿命为10年，残值值100万元，绘绘制该项项目的现现金流量量图？63课堂练习2.贷款上大学学，年利率率5％，每学年年初贷款6000元，4年毕业，毕毕业1年后开始还还款，6年内按年等等额付清，，每年应付付多少？（1）绘制该问问题的现金金流量图（2）写出计算算式课堂练习3.某投资工程程，第4年投产，生生产期20年，预测投产后年年均净收益益180万元，若基基准投资收收益率为10％，如果第第1年投资400万元，第2年投资300万元，试求求第3年尚需投资资多少万元元?（1）绘制该该问题的的现金流流量图（2）写出计计算式某新工程程项目欲欲投资200万元，工工程1年建成，，生产经经营期为为9年，期末末不计算算余值。。期望投投资收益益率为12％，问每每年至少少应等额额回收多多少金额额？4：023456789101PA2022/12/22663.4常用的还还本付息息方式在现代货货币市场场中，借借款人与与银行（（债权人人）事前前约定还还款的方方式和期期限，惯用的方方式有等等额还款款、等额额还本、、每期付付息到期期一次还还本和本本息到期期一次总总付等四种方方式。2022/12/2267(一)等额还款款这种方式式是要求求借款人人每期归归还相等等的金额额，直至至到约定定的期限限还清本本金和利利息。这这种还本本付息方方式便于于借款人人记忆和和均匀地地筹集还还款数额额。表3-5等额还款款方式计计算表（（单位位：万元元）年份12345合计年初欠款100.0082.2463.4243.4922.37311.52年末还本付息23.7023.7023.7023.7023.70118.50其中付息5.944.893.772.581.3318.50还本17.7618.8219.9321.1222.37100.00年末欠款82.2463.4243.4922.370.003.4常用的还还本付息息方式2022/12/2268(二)等额还本本这种方式式要求借借款人每每期归还还除等额额的本金金外，再再加上每每期的利利息支付付。这种种方式对对借款人人初期的的还款压压力较大大。表3-6等额还本本方式计计算表（（单位位：万元元）年份12345

合计年初欠款100.0080.0060.0040.0020.00300.00年末还本付息25.9424.7523.5622.3821.19117.82

其中付息5.944.753.562.381.1917.82还本20.0020.0020.0020.0020.00100.00年末欠款80.0060.0040.0020.000.003.4常用的还还本付息息方式2022/12/2269(三)每期付息息到期一一次还本本这种方式式常见于于债券的的偿付，，债权人人按票面面值获得得利息，，到期一一次兑现现面值。。表3-7每期付息息到期一一次还本本计算表表（（单位位：万元元）年份12345合计年初欠款100.00100.00100.00100.00100.00500.00年末还本付息5.945.945.945.94105.94129.7其中付息5.945.945.945.945.9429.70还本0000100.00100.00年末欠款100.00100.00100.00100.0003.4常用的还还本付息息方式2022/12/2270(四)本息到期期一次总总付这种方式式常发生生在投资资较大、、建设期期较长的的项目贷贷款。表3-8本息到期期一次总总付计算算表（（单单位：万万元）年份12345合计年初欠款100.00105.94112.23118.90125.96563.03年末还本付息0000133.44133.44其中付息000033.4433.44还本0000100.00100.00年末欠款105.94112.23118.90125.9603.4常用的还还本付息息方式2022/12/2271由于货币币的时间间价值，，不能把把发生在在不同时时间的利利息或还还款额简简单地相相加来判判断还本本付息的的好坏。。事实上上，以上上例子中中的4种还款方方式的货货币时间间价值都都是一样样的。3.4常用的还还本付息息方式9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。12月-2212月-22Thursday,December22,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。01:26:5401:26:5401:2612/22/20221:26:54AM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。12月月-2201:26:5401:26Dec-2222-Dec-2212、故人江海海别，几度度隔山川。。。01:26:5401:26:5401:26Thursday,December22,202213、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。12月-2212月-2201:26:5401:26:54December22,202214、他乡生白发发，旧国见青青山。。22十二月月20221:26:54上午01:26:5412月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。。十二二月月221:26上上午午12月月-2201:26December22,202216、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2022/12/221:26:5401:26:5422December202217、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。1:26:54上上午1:26上上午01:26:5412月-229、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。12月-2212月-22Thursday,December22,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。01:26:5401:26:5401:2612/22/20221: