平面与平面垂直的判定

关于平面与平面垂直的判定第一页，共三十七页，2022年，8月28日

水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度.水平面水坝第二页，共三十七页，2022年，8月28日半平面半平面半平面第三页，共三十七页，2022年，8月28日从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记为：二面角简记：二面角的定义第四页，共三十七页，2022年，8月28日思考1我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？第五页，共三十七页，2022年，8月28日2.二面角的取值范围二面角的平面角：以二面角的棱上

为端点，在两个半平面α和β内分别作

于棱l的两条射线OA和OB，则这两条射线OA和OB所成的角∠AOB叫作二面角的平面角，

的二面角叫作直二面角．任一点垂直β平面角是直角第六页，共三十七页，2022年，8月28日β平面角的大小与棱上点的选取无关.第七页，共三十七页，2022年，8月28日求二面角的平面角第八页，共三十七页，2022年，8月28日αP思考3

教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？第九页，共三十七页，2022年，8月28日αβaBbCEAD

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作平面与平面垂直的定义第十页，共三十七页，2022年，8月28日βααβ注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.图形表示第十一页，共三十七页，2022年，8月28日

当我们把门打开时，门所在的平面与地面是什么位置关系？第十二页，共三十七页，2022年，8月28日思考4

如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？第十三页，共三十七页，2022年，8月28日

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示:线面垂直则面面垂直平面与平面垂直的判定定理第十四页，共三十七页，2022年，8月28日如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？PABC第十五页，共三十七页，2022年，8月28日例1如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.分析：找出在一个面内与另一个面垂直的直线.BC⊥平面PAC第十六页，共三十七页，2022年，8月28日证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有

PA⊥α，BC在α内，

∴PA⊥BC，

∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，

AB为⊙O直径，∴∠BCA＝90°，即BC⊥CA

又∵

PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，

∴

BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，

∴平面PAC⊥平面PBC.第十七页，共三十七页，2022年，8月28日[例1]

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.

第十八页，共三十七页，2022年，8月28日[精解详析]∵PD⊥平面ABCD，AC

平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.[例1]

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.第十九页，共三十七页，2022年，8月28日探究点一：平面与平面垂直的性质定理

探要点、究所然第二十页，共三十七页，2022年，8月28日探究点一：平面与平面垂直的性质定理

探要点、究所然第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日求证：平面ABD⊥平面BCD.第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，

CD＝DA，

E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．

求证：平面BEF⊥平面BGD.第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，

CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对

角线AC的中点．

求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形，B1C⊥A1B，求证：平面A1BC1⊥平面AB1C.第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形，

B1C⊥A1B，求证：平面A1BC1⊥平面AB1C.证明：∵侧面B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B.A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1.又B1C平面AB1C，∴平面A1BC1⊥平面AB1C.第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日[例2]

如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.[思路点拨]

(1)用面面垂直的判定定理；(2)先证线面垂直，再证线线垂直．第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日[精解详析]

(1)∵AB是⊙O的直径，C在圆上∴AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.第三十页，共三十七页，2022年，8月28日[一点通]

解决直线、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系：即线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日4．四面体ABCD中，△BCD，△ABC是全等三角形，且

AB＝AC，E为BC的中点．求证：平面ADE⊥平面ABC.

证明：∵△BCD与△ABC全等，且AB＝AC，∴BD＝DC，又E为BC的中点．∴AE⊥BC，DE⊥BC.又AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，又BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADE.第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日第三十五页，共三十七页，2022年，8月28