平面杆件体系的几何组成分析

关于平面杆件体系的几何组成分析第一页，共三十七页，2022年，8月28日1§7-1几何组成分析的目的几何组成（构造）分析——

对平面杆件体系的几何组成所进行的分析几何组成分析的前提——

忽略杆件本身的小变形，即将杆件视为刚体

几何组成分析的结果——

几何不变体系（geometricallyunchangeablesystem）：在任何外力作用下，其形状和位置都不会改变。

几何可变体系（geometricallychangeablesystem）：在外力作用下，其形状或位置会改变。

几何常变体系：受力后可发生有限位移。几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。第二页，共三十七页，2022年，8月28日2§7-1几何组成分析的目的PP几何不变体系几何常变体系几何瞬变体系第三页，共三十七页，2022年，8月28日3§7-1几何组成分析的目的几何组成分析的目的——(1)判断杆件体系的几何组成结果(几何组成特性)；(2)研究几何不变体系的组成规则；(3)为区分静定结构和超静定结构以及进行结构的内力计算打基础。轴向超静定，N1、N2不定∵瞬变体系能产生很大的内力（或不确定）,∴几何瞬变体系不能作为建筑结构使用。只有几何不变体系才能作为建筑结构使用。第四页，共三十七页，2022年，8月28日4§7-2几何组成分析中的几个概念二、自由度S(degreeoffreedom)——

体系在平面上可独立运动的方式的数目；或为确定体系在平面上的位置所需的独立坐标的数目。

一、刚片——可视为刚片平面杆件体系中的各根杆件对杆件体系中某一已确定为几何不变的部分与杆件体系相连的地基

平面内的刚体（不变形体）yxAyAxAAyAxAyxBα平面内任一点具有2个自由度。平面内任一刚片具有3个自由度。第五页，共三十七页，2022年，8月28日5三、约束(restraint)——

在体系内部加入的减少自由度的装置。

多余约束(redundantrestraint)——

不减少体系自由度的约束。

§7-2几何组成分析中的几个概念注意：多余约束虽然不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与变形。第六页，共三十七页，2022年，8月28日6

1、(单）链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。§7-2几何组成分析中的几个概念IαβⅠ231几种常见的约束

一根链杆可以为体系减少一个自由度，相当于一个约束。第七页，共三十七页，2022年，8月28日7§7-2几何组成分析中的几个概念2、复链杆：连接三个或三个以上点的链杆。复链杆123l······连接l个点的复链杆相当于2×l–3个单链杆。（单）链杆12单链杆是复链杆的特例：2×l–3=2×2–3=1∴一根（单）链杆相当于一个约束。第八页，共三十七页，2022年，8月28日8

3、单铰：联结两个刚片的铰。

§7-2几何组成分析中的几个概念12Cxy一个单铰可为体系减少两个自由度，相当于两个约束。第九页，共三十七页，2022年，8月28日9§7-2几何组成分析中的几个概念由链杆和单铰的分析可见，两根链杆与一个单铰的约束作用是相当的，根据两根链杆交点（单铰）所在位置的不同，将单铰分为：实铰：两根链杆所交的一点；A(实铰)1212B(虚铰)对于虚铰所在体系为几何可变体系时，虚铰又称为瞬铰。虚铰：两根链杆在延长线上所交的一点。第十页，共三十七页，2022年，8月28日104、复铰：联结三个或三个以上刚片的铰。§7-2几何组成分析中的几个概念C123加复铰前体系有9个自由度加复铰C后，体系在平面上有（3+1+1）=5个自由度。进一步，联结n个刚片的复铰可为体系减少的自由度数为：3n–[3+(n–

1)]=2(n–1)单铰是复铰的特例：2(n–1)=2×(2–1）=2∴一个单铰相当于两个约束。联结n个刚片的复铰相当于(n–

1)个单铰，相当于2(n–

1)个约束。第十一页，共三十七页，2022年，8月28日115、单刚结（单刚性连结）：联结两个刚片的刚性连结。§7-2几何组成分析中的几个概念一个单刚结相当于3个约束。12单刚结第十二页，共三十七页，2022年，8月28日126、复刚结（复刚性连结）：联结三个或三个以上刚片的刚性连结。联结g个刚片的复刚结相当于(g–1)个单刚结，相当于3(g

–1)个约束§7-2几何组成分析中的几个概念加复刚结前，体系有3×g个自由度加复刚结后，整个体系有3个自由度∴一个复刚结为体系减少3(g

–1)个自由度12ig复刚结单刚结是复刚结的特例：3(g

–1)=3×(2

–1）=3∴一个单刚结相当于三个约束。第十三页，共三十七页，2022年，8月28日13§7-2几何组成分析中的几个概念四、体系的计算自由度W

(computationaldegreeoffreedom)一个平面杆件体系通常都是由若干部件（杆件或结点）加入一些约束组成。先按照各部件都是自由的情况，算出各部件的自由度总数，再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由度W。即：

W=(各部件自由度总数)－(全部约束总数)自由度S

、计算自由度W、多余约束d之间的关系：由自由度S

的概念，S≥0而由于多余约束d的存在，计算自由度W可能≤0∴S

－W=d即自由度S

、计算自由度W之差为多余约束d。第十四页，共三十七页，2022年，8月28日14§7-2几何组成分析中的几个概念其中，m—杆件(刚片)数；g—单刚结数；h—单铰数；b—单链杆数注意：1、地基这个刚片不能计入m中。2、复连接要换算成单连接。例如：公式一：W=3m－(3g+2h+b)h=3h=23、刚接在一起的各刚片可以作为一个大刚片。4、铰支座、定向支座相当于两个链杆，固定支座相当于三个链杆计入b中。

3个多余约束！5、如体系内部有多余约束则必须计入约束中，比如1个无铰封闭框内部具有3个多余约束。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日15例7.1求(1)~(4)体系的计算自由度。(1).§7-2几何组成分析中的几个概念其中，j—结点数；b—单链杆数公式二：W=2j－bW=3m－(3g+2h+b)=3×1

－(3×0+2×0+3+10）

=

－10解：第十六页，共三十七页，2022年，8月28日16§7-2几何组成分析中的几个概念公式一：W=3m－(3g+2h+b)=3×7－[3×0+2×(1×5+2×2)+3](2).公式二：W=2j－b=2×7－[1×5+(2×3－3)×2+3]=3×7－[0+2×9+3]=0单铰数目复铰转换成单铰数目单链杆数目复链杆转换成单链杆数目=3×7－[0+2×9+3]=0解：第十七页，共三十七页，2022年，8月28日17§7-2几何组成分析中的几个概念(3).W=2j－b

=2×6－(9+3)=0ABCDEF⑨①②③④⑤⑥⑧⑦W=2j－b=2×6－(9+3)=0⑨①②③④⑤⑥⑧⑦(4).几何不变体系几何可变体系说明W=0几何不变体系解：解：第十八页，共三十七页，2022年，8月28日18§7-2几何组成分析中的几个概念注意：W>0：表明体系具有自由度W=0：表明体系的约束个数与其自由度数目相等W<0：表明体系具有多余约束体系几何可变体系几何不变即W≤0是几何不变体系的必要条件而非充分条件，它仅仅表明具备成为几何不变体系所必须的约束，但并未涉及到约束的布置是否合理。几何不变体系的组成规则(充分条件)是什么？?第十九页，共三十七页，2022年，8月28日19§7-3几何不变体系的基本组成规则(充分条件)一、两刚片规则两刚片用不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相连；或以一铰及不通过该铰的一根链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。C1瞬变体系常变体系瞬变体系瞬变体系Aa2、3链杆的交点相当于单铰C123常变体系第二十页，共三十七页，2022年，8月28日20§7-3几何不变体系的基本组成规则三刚片用不在一条直线上的三铰两两相连，则组成无多余约束的几何不变体系。二、三刚片规则ABC三铰共线，瞬变体系三刚片以三对平行链杆相连，瞬变体系两平行链杆与两铰连线平行,瞬变体系第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日21既可以是不变体系，也可以是可变体系三、二元体规则§7-3几何不变体系的基本组成规则在体系上依次增加（或减去）二元体不改变原体系的几何组成特性。二元体：两根不共线的链杆连结成一新结点的装置。二元体体系A12两根链杆共线A12213体系三根链杆非二元体第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日22§7-3几何不变体系的基本组成规则以上三个规则可归结为铰结三角形法则三一点一体系两个两链杆不共线规则连接对象必要约束数对约束的布置要求

链杆不过铰一

两刚片三个三链杆不平行也不交于一点三刚片六个三铰不共线二体系第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日23§7-3几何不变体系的基本组成规则在体系的几何组成分析中应注意：如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则组成几何不变体系。如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片或刚片中的一部分。若W>0,表明体系缺少足够的约束,是几何可变体系。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日241、依次去掉二元体，简化体系后再进行分析。结论：无多余约束的几何不变体系。§7-3几何不变体系的基本组成规则几种常用的几何组成分析途径例7.2ACBD第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日252、如上部体系与地基用满足两刚片规则要求的三个约束相连,则可抛开地基，只分析上部体系。结论：有一个自由度的几何可变体系。§7-3几何不变体系的基本组成规则例7.3第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日26ⅠⅡⅢA显然刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上的A点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。(ⅠⅡ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)§7-3几何不变体系的基本组成规则例7.4第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日27结论：无多余约束的几何不变体系。3、由一基本刚片开始，逐步扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。A(Ⅰ,Ⅱ)C(Ⅱ,Ⅲ)B(Ⅰ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ§7-3几何不变体系的基本组成规则例7.5第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日28④结论：无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。§7-3几何不变体系的基本组成规则例7.6第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日29该体系是有四个多余约束的几何不变体系。§7-3几何不变体系的基本组成规则例7.7AABBW=3m－(3g+2h+b)=3×7－(3×0+2×10+5)=－4体系的计算自由度?第三十页，共三十七页，2022年，8月28日30ABCFDE？？？例7.8§7-3几何不变体系的基本组成规则第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日31ⅠⅡ4、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的实铰或虚铰相连。O23O13结论：无多余约束的几何不变体系。Ⅲ§7-3几何不变体系的基本组成规则例7.8O12ABCFDE第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日32