平面向量的加法及其几何意义

关于平面向量的加法及其几何意义第一页，共二十七页，2022年，8月28日1向量：既有

又有

的量叫向量2相等向量：长度

且方向

的向量叫相等向量。1向量的关键特征是大小和方向一：复习大小方向相等相同回忆？说明：2向量可以平移到平面内的任一位置第二页，共二十七页，2022年，8月28日1引例：如图，某对象从A点经B点到C点，两次位移AB，BC的结果，与A点直接到C点的位移AC

.二：新授ABC相同=AB+BCAC第三页，共二十七页，2022年，8月28日如图表示橡皮条在两个力作用下，沿着GC的方向伸长了EO。第四页，共二十七页，2022年，8月28日撤去力F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度。第五页，共二十七页，2022年，8月28日问：力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同作用的效果

.相同第六页，共二十七页，2022年，8月28日改变力F1和F2的大小和方向，重复以上实验，观察F与F1，F2关系.结论：FF1+F2=第七页，共二十七页，2022年，8月28日2加法的定义：如图，已知非零向量a、b在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即

a+b=AB+BC=AC.求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.第八页，共二十七页，2022年，8月28日向量加法的平行四边形法则：如图以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。第九页，共二十七页，2022年，8月28日说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连ABCOABC第十页，共二十七页，2022年，8月28日说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连ABCOABCABCB?第十一页，共二十七页，2022年，8月28日说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连ABCOABCABCBCBCBCBCBCBCBCBCBCBCBCB第十二页，共二十七页，2022年，8月28日说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连2：用平行四边形法则作图要求向量有共同的起点规定：a+00+aa==3：三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的说明：此规定是对向量加法定义的补充4:实数相加结果是数，而向量相加结果是向量.ABCOABC第十三页，共二十七页，2022年，8月28日abO.ABO.ABC3.例1

已知向量a、b，求作向量a+b.作法1：在平面内任取一点O，作法2：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.作OA=a，OB=b，连结OC，则OC=OA+OB=a+b.以OA、OB为邻边做OACB，第十四页，共二十七页，2022年，8月28日练习1

已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作向量a+b.abababab（1）（2）（3）（4）aba+b（1）ABCaba+b（2）ABCa+bab（3）ABCa+bab（4）ABC用三角形法则作图的关键是首尾相连，结果由起点指向终点第十五页，共二十七页，2022年，8月28日练习2

已知向量a、b，用向量加法的平行四边形法则作向量a+b.abab（1）（2）a+bab（1）a+bab（2）OABCOABC用平行四边形法则作图的关键是将两向量平移到共同的起点第十六页，共二十七页，2022年，8月28日思考：当两个向量共线时，它们的加法与数的加法关系如何？结论：abab（1）（2）4.1两向量同向时，和的模等于模的和，

且方向与两向量的方向相同.2两向量异向时，和的模等于模的差的绝对值，

方向与模较大的向量的方向相同.Aa+bBCa+bABC（1）（2）abab第十七页，共二十七页，2022年，8月28日5探究：1当a、b不共线时，|a+b||a|+|b|<2当a、b同向时，|a+b||a|+|b|=3当a、b异向时，|a+b|||a|-|b||=a+bABCaba+bABCaba+bABC<||a|-|b||结论：|a+b||a|+|b|||a|-|b||第十八页，共二十七页，2022年，8月28日ABCabDaba+b6探究：数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也满足交换律与结合律？结论：交换律：a+b=b+aa+b第十九页，共二十七页，2022年，8月28日ABCDababa+b6探究：数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也满足交换律与结合律？结论：交换律：a+b=b+aABCabDca+b+ca+b结合律：(a+b)+c=a+(b+c)第二十页，共二十七页，2022年，8月28日ABCDababa+b6探究：数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也满足交换律与结合律？结论：交换律：a+b=b+aAaBCDbca+b+cb+c结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+b第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日练习3.根据图示填空：(1)a+d=

;(2)c+b=

.练习4.根据图示填空：(1)a+b=

;(2)c+d=

.(3)a+b+d=

;(4)e+c+d=

.ABCDabcOd第3题图ABCDabcEdefg第4题图DACBcffgd+a=e+(c+d)=(c+d)+e=第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日7.例2应用长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日7.例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.应用第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日BCAD解：（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则AC表示船实际航行的速度.例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度

（保留两个有效数字）；（2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流速间的夹角约为68°

。∵tan∠CAB=,

∴由计算器得∠CAB≈68°52例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（