正方体应用（3）截面问题 讲义-高三数学二轮专题复习

PAGE5专题：正方体应用（3）-截面问题知识梳理：多面体截面的概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线所围成的平面图形叫做平面截多面体的截面。二、多面体截面的性质1、多面体的截面是平面多边形；2、截面的边在多面体的面上；3、截面的顶点在多面体的棱上。三、多面体截面的作图方法1、目标：作平面与多面体的面的交线2、关键：在多面体的一个面上找与已知平面的两个公共点3、“交线法”的具体步骤（1）连：作平面与多面体一个面的两个公共点的连线段；（2）延：延长连线段，在面上形成交线；（3）找：找其他面上与已知交线所在直线共面相交的直线；（4）交：作两直线的交点，即平面与其他面的公共点；（5）检：检验所画图形是否满足截面概念及性质。典型例题：例1：正方体中，点分别在上，求作过三点的截面变式：（2018高考）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为B.C.D.例2、一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②菱形；③长方形；④正方形；⑤正六边形．其中正确的结论是___________．（把你认为正确的都填上）练习：1、正方体中，分别是的中点．那么，正方体的过的截面图形是（）Ａ．三角形 Ｂ．四边形 Ｃ．五边形 Ｄ．六边形2、正方体的棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为A．5 B． C． D．3、已知正方体的棱长为2，点为棱中点，则过点与垂直的平面截正方体所得的截面面积为A． B． C． D． 4、一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）AACBD5、如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是A．B．四边形是矩形 C．是棱柱D．是棱台6、有一木块如图所示，点在平面内，棱平行平面，要经过和棱将木料锯开，锯开的面必须平整，有种锯法，为A．0种 B．1种 C．2种 D．无数种7、(多选题)如图，在长方体中，，E、F分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有（）A．B．三棱锥的体积为C．若P是棱上一点，且，则E、C、P、F四点共面D．平面截该长方体所得的截面为五边形专题：正方体应用（3）-截面问题例1：作法：①在底面内，过点作直线分别与的延长线交于点．②在侧面内，连结交于点．③在侧面内，连结交于点．④连结．则五边形即为所求的截面变式：A例2：②③④❺练习：1、解析：如图1，设的中点是，则，所以在平面上，容易看出平面与都有交点（由对称性可知这两个交点分别是的中点），所以的截面图形是六边形，选（Ｄ）．点评：正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形这四种图形，特别要注意以下几个结论：①当截面是三角形时，必然是锐角三角形；②当截面是四边形时，可以是正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形，一定是至少一组对边平行，但不可能是直角梯形；③当截面是五边形时，不可能是正五边形；④当截面是六边形时，可以是正六边形．2、【答案】解：如图所示，设为的中点，连接，，设为的中点，连接，，由且，得是平行四边形，则且，又且，得且，则，，，共面，故平面截该正方体所得的截面为．又，，，故的面积为．故选：．3、解：过点与垂直的平面被正方体截面是以，，，，，中点，，，，，为顶点，边长为的正六变形，因为平面，平面平面，所以平面，且面积为．故选：．4、分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。5、解：因为，，所以，又平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，故，所以选项、正确；因为平面，，所以平面，又平面，故，所以选项也正确，故选：．6、解：平面，，过点作的平行线，交、于点，，连结，，则，，只需要过、所确定的平面锯开即可，又由于此平面是唯一确定的，故只有一种方法，故选：．7、【详解】连接DE，，如图所示，因为E为AB的中点，所以EB=BC=2，所以，同理，又DC=4，所以，即，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，所以平面，即，又，即与不平行，所以CE不垂直，故A错误；由等体积法可得：三棱锥的体积，故B正确；作出P，使，取中点G，则P为中点，连接FP，CP，，因为F，P分别为，中点，所以，又，且，所以，所以，所以E、C、P、F四点共面，故C正确；由选项C可得E、C、P、F四点共面，平