13第十三章-达朗贝尔原理(动静法)解析

第三篇《动力学》★第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理第十四章达朗伯原理本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而依据关于平衡的理论来求解。这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静法。动力学达朗贝尔----J.leR.d’Alembert,1717~1783。达朗贝尔原理：1743年提出。3§13–1惯性力·质点的达朗贝尔原理

§13–2质点系的达朗贝尔原理§13–3刚体惯性力系的简化§13–4绕定轴转动刚体的轴承动约束力

第十三章达朗贝尔原理FN动力学§13-1惯性力·质点的达朗贝尔原理设质点M，质量为m，受主动力，约束反力。根据质点动力学第二定律：可改写成：假想FI是一个力，上式在形式上是一个平衡方程。FIFI称为质点的惯性力，大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。5动力学质点的达朗贝尔原理：假如在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。FNFI6动力学[注]质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有变更动力学问题的实质。接受动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学供应的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。7动力学列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。[例1]影片14018动力学选单摆的摆锤为探讨对象虚加惯性力

角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。解：由动静法,有解得9动力学对整个质点系，作用于质点系上全部的主动力、约束反力与假想的加在质点系上各质点的惯性力，在形式上组成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。可用方程表示为：设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有如将质点系受力按内力、外力划分,又因为§13-2质点系的达朗贝尔原理则：10[例2]滑轮的半径为r，物块A、B的质量分别为m1、m2，滑轮上作用一力偶M，设绳子不行伸长，不计绳子和滑轮的质量，求物块A的加速度和轴承O的约束反力。ArBO解：取滑轮和物块A、B为探讨对象：aam1gm2gFIAFIBMFOxFOy惯性力ArBMOaam1gm2gFIAFIBFOxFOy在本题中不计滑轮的质量，假如要考虑滑轮的质量，则如何计算？加上滑轮的惯性力和重力。动力学§13-3刚体惯性力系的简化应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必需给各质点虚加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力，这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个质点上加惯性力是不行能的，为了应用便利，依据静力学中力系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可以干脆施加其简化结果，使动静法切实可行。常见的刚体运动有平动、定轴转动和平面运动。13动力学这个惯性力系简化为通过质心C的合力：刚体内各点的加速度都与质心C的加速度aC相等，任一质点的惯性力，组成一同向的平行力系。一、刚体作平动FInFI1FI2aCFIRaC14动力学结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。FInFI1FI2aCFIRaC15二、刚体绕定轴转动质点的惯性力为：定轴转动刚体，角速度，角加速度。取简化中心：转轴上一点O。坐标系oxyz如图示，O点为转轴上的一点。取质点，其坐标分别为：切向惯性力：法向惯性力：惯性力系向O点简化的主矢为：惯性力系的主矢在o点，垂直z轴。惯性力系对x轴的矩为：因为故记（13-9）称其为对于Z轴的惯性积，取决于刚体质量对于坐标轴的分布。惯性力系对x轴的矩为：（13-10）同理可得惯性力系对y轴的矩为：（13-11）惯性力系对z轴的矩为：（13-12）综上，刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上一点O简化的主矩为：（13-13）假如刚体有质量对称平面且该平面与转轴z垂直，简化中心o取为此平面与转轴z的交点，则则惯性力系简化的主矩为：（13-13-1）工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面。于是得结论：当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面交点简化时，得位于此平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反，动力学主矢：设刚体有质量对称平面，且转轴垂直于该对称平面，如皮带轮、齿轮、砂轮等。三、有质量对称平面的刚体绕定轴转动此惯性力系为空间力系，利用对称性可以简化为在对称平面内的平面力系，再向转轴z与对称平面的交点O点简化：主矩：αFIi21FIi向O点简化结果为：动力学向质心C点简化：23动力学假设刚体具有对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质心C）的平动和绕基点的转动。α四、刚体作平面运动惯性力系向质心C点简化：得24α动力学A端铰支的均质杆长l,质量m,杆由与水平面成0角位置静止落下。求起先落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。选杆AB为探讨对象向A点虚加惯性力系：解：依据动静法，有[例3]αFFFIRFIRI25动力学αFFFIRFIRI26动力学用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为探讨对象由得：由质心运动定理：αFF27动力学牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M之最大值。取轮为探讨对象虚加惯性力系：解：由动静法，得：[例4]OαFIRICmg28动力学由(1)得由(2)得N=mg+S，要保证车轮不滑动，必需F<fN=f(mg+S)(5)可见，f越大越不易滑动。

Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：OαFIRICmg29§13-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力机械在转动起来之后，轴承的约束力可分为静约束力和动约束力（附加动反力）。动约束力是机械产生破坏、振动与噪声的主要因素。本节探讨内容：1求出绕定轴转动刚体的轴承全约束力（包括静约束力和附加动约束力）；2推出消退附加动约束力的条件。定轴转动刚体，角速度，角加速度。取简化中心：转轴上一点O。所有主动力向O点简化的结果：主矢：主矩：惯性力系向O点简化的结果：主矢：主矩：A、B处的5个约束反力如图所示：惯性力没有Z方向的重量（Z方向无加速度重量）。坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。依据质点系的动静法，列空间随意力系的平衡方程如下：由上述5个方程解得轴承全反力为：止推轴承B沿Z轴的约束力与惯性力无关，与Z轴垂直的轴承约束力显然与惯性力系的主矢和主矩有关。由于和引起的轴承给轴的约束力称为附加动约束力，要使附加动约束力等于零，必须有：即要使轴承给轴的附加动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零。由式（13－5）和式（13－10）、（13－11），应有：由此可见，要使惯性力系的主矢等于零，必须，即转轴必通过轴心。而要使，必须有，即刚体对于转轴Z的惯性积必须等于零。结论：刚体绕定轴转动时，避开出现轴承附加动反力的条件是：转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。惯性主轴：如果刚体对于通过某点的Z轴的惯性积等于零，则称此轴为过该点的惯性主轴。中心惯性主轴：通过质心的惯性主轴，称之。上述结论可叙述为：避开出现轴承附加动反力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。静平衡：刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外没有受到其它主动力作用，则刚体可以在随意位置静止不动，这种现象称为静平衡。动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承附加动约束力，这种现象称为动平衡。

。

能够静平衡的定轴转动刚体不确定能够实现动平衡，但动平衡的定轴转动刚体确定能够实现静平衡。[例13－8](P341)动力学依据达朗贝尔原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以随意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就便利得多。达朗贝尔原理的应用39动力学(1)选取探讨对象－－原则与静力学相同。(2)受力分析－－画出全部主动力和外约束反力。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：(4)虚加惯性力－－在受力图上画上惯性力和惯性力偶，确定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。

(3)运动分析－－主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。40动力学

(5)列动静方程－－选取适当的矩心和投影轴。

(6)建立补充方程－－运动学补充方程（运动量之间的关系）。

(7)求解求知量。

[注]的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。留意：后面的例题中，惯性力的下标I用g代替。41[例13-6]

(P337)绞车和梁合重P，绞盘的转动惯量为J，以加速度a提升重物。重物的质量为m，绞盘的半径为r，求由于加速提升重物而对支座A、B的附加压力。解：取梁、绞车和重物为探讨对象，施加惯性力，列平衡方程：解得：附加反力：附加反力确定于惯性力系。[例13-7]

(P338)均质圆盘质量为mA，半径为r，瘦长杆长l=2r，质量为m，A点为光滑铰链联接，作用力F，轮子作纯滚动。问：(1)F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？（2）为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？αa解：运动分析、受力分析和施加惯性力。[AB杆][整体]要求只滚不滑：动力学质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取整个系统为探讨对象解：[方法1]用达朗贝尔原理求解

[例5]

48列补充方程： 动力学虚加惯性力和惯性力偶：由动静法：gαFgR1FgR2代入上式得：49动力学[方法2]用动量矩定理求解依据动量矩定理：取系统为探讨对象α50动力学取系统为探讨对象，任一瞬时系统的两边除以dt，并求导数，得[方法3]用动能定理求解α51动力学在图示机构中，沿斜面对上作纯滚动的圆柱体重为P，半径均为R，质量匀整分布；鼓轮O重为Q，半径为R，质量匀整分布；绳子不行伸长，其质量不计，斜面倾角θ，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？[例6]θ52动力学解：取轮O为探讨对象，虚加惯性力偶列出动静方程：取轮A为探讨对象，虚加惯性力和惯性力偶MgA如图示。[方法1]用达朗贝尔原理求解MgαFgRMgOαQ53动力学列出动静方程：运动学关系：，将MgO、FgR、MgA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：MgαFgR54动力学代入(2)、(3)、(5)式，得：55动力学(1)用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为探讨对象两边对t求导数：方法2用动力学普遍定理求解θ56动力学(2)用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）取轮O为探讨对象，由动量矩定理得(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力取轮O为探讨对象，依据质心运动定理：α57动力学(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体A为探讨对象，依据刚体平面运动微分方程方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度

用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力、轴承O处反力和及摩擦力）。α58动力学均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点起先滚动。平板对水平线的倾角为θ，试求OA=S时平板在O点的