2022-2023学年人教版初中数学专题《相似三角形旋转相似（手拉手模型）》含答案解析

专题相似优选提升题：相似三角形五种解题模型题型四：旋转相似（手拉手模型）一．填空题（共1小题）1．（2021秋•江安县期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④sin∠CPB＝；其中正确的结论有①②③．（写出所有正确结论的序号）．【分析】根据题意可得：CA＝AB，AD＝AE，利用两角成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明①△BAE∽△CAD，从而得∠AEB＝∠ADC，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△EMP∽△DMA，从而证明②MP•MD＝MA•ME，利用②的结论再证明△DEM∽△APM，从而得∠APM＝∠DEM＝90°，根据已知可知∠EAC＝90°，然后利用射影定理证明③2CB2＝CP•CM，求出∠CPB的度数即可判断．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝＝，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∵MP•MD＝MA•ME，∴＝，∵∠AMP＝∠DME，∴△DEM∽△APM，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∵∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠EAC＝180°﹣（∠DAE+∠CAB）＝90°，∴∠EAC＝∠APC，∵∠ACP＝∠ACM，∴△CPA∽△CAM，∴＝，∴CA2＝CP•CM，∴2CB2＝CP•CM，故③正确；设BE与AC相交于点F，∵△BAE∽△CAD，∴∠ACD＝∠ABE，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠CPB＝∠CAB＝45°，∴sin∠CPB＝，故④错误，所以，正确的结论有：①②③，故答案为：①②③．【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握手拉手模型的相似三角形是解题的关键．二．解答题（共8小题）2．（2022春•龙岗区期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD＝∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD＝CE，∠BCE＝90°，即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，故答案为：120；（2）DE2＝CD2+BD2；理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2；（3）由（2）知，BD＝CE，∵CE＝10，∴BD＝10，∵BC＝6，∴CD＝BD﹣BC＝4，由（2）知，∠BCE＝90°，∴∠DCE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CE2+CD2＝116，在Rt△ADE中，DE2＝2AE2＝116，∴AE＝．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．3．（2021秋•亭湖区校级期末）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝；②直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程．（结果保留π）【分析】（1）通过题目条件证明△FBD∽△EBA，即可推出答案；（2）同（1），此时△FBD与△EBA仍然相似；（3）通过前两问的铺垫，得出P点的轨迹在这个矩形的外接圆上，进而分析其运动路径，求出轨迹长即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：由（2）可得∠BAP＝∠BDP，∴A、B、P、D四点共圆，∴点P在矩形ABCD的外接圆上运动，如图4：分析运动过程可知，在△BEF顺时针旋转180°的过程中，P点从点B运动到点C，又回到点B，具体分析如下：当△BEF刚开始旋转时，P与B点重合，如图5：当△BEF开始旋转一定角度后，P点延弧BC运动，如图6：当△BEF旋转60°后，P点到达C点，如图7：当△BEF旋转超过60°后，P点开始从C点延弧BC往B点运动，如图8：当△BEF旋转180°时，P点到达B点，如图9：综上，P点的运动轨迹长为2．∴其轨迹长为2＝2××2×π×2＝．【点评】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，旋转等知识点，熟练掌握旋转型相似是解题关键．4．（2021秋•开江县期末）【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：BF＝DE，BF⊥DE；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【分析】（1）先证明△BCF≌△DCE，得出BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，进而证明BF⊥DE；（2）①由∠BCD＝∠ECF＝90°得∠BCF＝∠DCE，且，得△BCF∽△DCE，即可得出BF与DE的关系；②利用相似三角形的性质求出CF、BC的长度及∠CBF＝∠CDE，进而得出BF⊥DE，再利用勾股定理及等量代换得出DF2+BE2＝DB2+EF2，即可求出DF2+BE2的值．【解答】解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠DBO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用这些性质是解决问题的关键．5．（2021秋•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．6．（2021秋•新乡期末）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得；（2）利用等腰三角形的性质可证明△ABE∽△CBD，得，∠BAE＝∠BCD，从而∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝ABC＝45°；（3）分DE在AB上方或在AB下方时，作AH⊥CD于H，利用（2）中结论求出CD的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠B＝45°，∴直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°，故答案为：；45；（2）无变化，理由如下：延长AE，CD交于点F，CF交AB于点G，∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，又∵，∴△ABE∽△CBD，∴，∠BAE＝∠BCD，∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；（3）如图，当DE在AB上方时，作AH⊥CD于H，由A，D，E三点在同一条直线上知，∠ADB＝90°，∴AD＝，由（2）知∠ADH＝45°，，∴AH＝＝，CD＝，∴S△ACD＝CD×AH＝＝12+，当DE在AB下方时，同理可得S△ACD＝×CD×AH＝＝12﹣，综上：S△ACD＝12±．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．7．（2021春•环翠区期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，∠ABC与∠ACQ的数量关系是∠ABC＝∠ACQ；（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF对角线的交点，连接CQ．若正方形APEF的边长为10，，求正方形ADBC的边长．【分析】（1）利用SAS定理证明△BAP≌△CAQ，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明△BAC∽△PAQ，得到，再证明△BAP∽△CAQ，根据相似三角形的性质解答即可；（3）根据相似三角形的性质求出BP，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）∵△ABC和△APQ都是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴∠ABC＝∠ACQ，故答案为：∠ABC＝∠ACQ；（2）∠ABC＝∠ACQ，理由如下：∵AB＝BC，∴∠BAC＝，∵AP＝PQ，∴∠PAQ＝，∵∠APQ＝∠ABC，∴∠BAC＝∠PAQ，∴△BAC∽△PAQ，∴，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∴∠ABC＝∠ACQ；（3）如图3，连接AB，∵四边形ADBC和四边形APEF都是正方形，∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAP＝∠CAQ，，∴△BAP∽△CAQ，∴，∴BP＝CQ＝2，∵AP2＝AC2+PC2，∴100＝AC2+（AC﹣2）2，∴AC＝8，AC＝﹣6（舍去），∴正方形ADBC的边长为8．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．8．（2020秋•平顶山期末）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（1）观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时，①的值为；②∠BEC的度数为45度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值及∠BFC的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．【分析】（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．证明△DAB∽△EAC，推出＝＝，∠ABD＝∠ACE，再证明∠BAO＝∠CEO＝45°，可得结论．（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．证明△DAB∽△EAC，可得结论．（3）分两种情形：如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．分别求出EC，可得结论．【解答】解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠EAC＝∠DAB，＝＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠BAO＝∠CEO＝45°，故答案为：，45．（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠EAC＝∠DAB，＝＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOB＝∠FOC，∴∠BAO＝∠CFO＝45°，∴＝，∠BFC＝45°．（3）如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，∵AE＝DE＝，AC＝BC＝，∠AED＝∠ACB＝90°，∴AD＝AE＝2，∵EO⊥AD，∴OD＝OA＝OE＝1，∴OC＝＝3，∴EC＝OE+OC＝4，∵BD＝EC，∴BD＝4．如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．同法可得OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，EC＝3﹣1＝2，∴BD＝EC＝2，综上所述，BD的长为4或2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．9．（2021秋•邗江区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α后，△ABC与△ADE构成位似图形，我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形是（填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；如图1，△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，①若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，则∠BAE＝25°；②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC＝；（2）知识运用：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，