2018届高三数学每天一练半小时：第38练数列的通项含答案

一题6数列第38练数列的通项训练目标(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用.训练题型(1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前n项和求通项.解题策略求数列通项的常用方法：(1)公式法;(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.一、选择题iTOC\o"1-5"\h\z.在数列｛an｝中，ai=2,an+i=an+ln1+\,则&等于( )A. 2+lnn B. 2+(n-1)ln nC. 2+ nlnn D. 1+n+Inn.已知S为数列｛an｝的前n项和，且log2($+1)=n+1,则数列｛an｝的通项公式为( )A.nan=23n=1,

Ban=A.nan=2C.n-1HC.n-1Hn=2n+1D.an=2.在数列｛an｝中，a=2,an+=—2an+3,则数列｛d｝的通项公式an等于( )A.(-2)n1+1 B.2n一十1C.(-2)n1 D.(-2)n+1-1*4.已知各项均不为零的数列 ｛an｝,定义向量cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),neN.下列命题中真命题是( )A.*.若？nCNA.*.若？nCN总有Cn// bn成立，则数列｛an｝是等差数列B.若？nCN总有Cn//bn成立，则数列｛an｝是等比数列J、*- C.若？nCN总有Cn^bn成立，则数列｛an｝是等差数列、*- D.若？nCN总有O成立，则数列｛an｝是等比数列J5.(2016•宝鸡二模)已知数列｛an｝的前n项和为S,且满足4(n+1)(S+1)=(n+2)2an,B.(2n+1)2D.(2n+1)2—1则数列｛an｝的通项公式aB.(2n+1)2D.(2n+1)2—1A.(n+1)3- 2C.8n

、填空题、,i- 4一 an—、/3 * ~.数列｛an｝满足a=0,an+i=——N—(n€N),则a2015=3an+1.定义：称x+x：…+x为n个正数X1,X2,…，Xn的“平均倒数”，若正项数列｛Cn｝的前n项的“平均倒数”为2ng,则数列｛Cn｝的通项公式Cn=.2an，8.已知数列8.已知数列｛an｝满足：ai=1,an2a2an1,-2~入，使得数列里黑3n=2,3,4,…，设bn=a21+1,n=1,2,3,…，则数列｛bn｝入，使得数列里黑3.数列｛an｝中，d=1,an=3an—1+3n+4(nCN*,n>2),若存在实数为等差数列，则入=三、解答题.已知数列｛2门｝满足&=1,|an+1-an|=pn,nCN*.(1)若｛an｝是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值;1(2)若P=2,且｛a2n—1｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列，求数列｛切的通项公式.石小二合奈相析A[因为an+1=an+In1+-,n所以an+1—an=In1+-=lnn——=ln(n+1)—Inn.nn又 a1=2,所以 an= a1 +(a2— a1) +(a3— a2) +(a4— a3) +…+(an—an1)=2+[ln2—In1+n—In1=2+Inn.]时，ai=S=3；当n>2时，an=Sln3—ln2+n—In1=2+Inn.]时，ai=S=3；当n>2时，an=Sn1B[由Iog2(Sn+1)=门+1,得&=2-Sn1=2n,-Sn1=2n,所以数列｛却｝的通项公式为an=3?n=1?,2n?n>2?.故选B.]A[an+1=—2an+3,即为an+1—1=—2(an—1),又a1—1=1,所以数列｛an—1｝是首项为1,公比为一2的等比数歹U,an—1=(—2)n1,an=(—2)nT+1.故选A.]4.A[若Cn//bn,4.A[若Cn//bn,可得(n+1)an=na+1,an+1 n+1an nan an-1 an-2an-1 an-2 an-3史a2nn—1n—2a2aln—1n-2n-32•彳.所以an=nab所以数列｛a所以数列｛an｝是等差数列.易判断当O时，数列｛Hn｝既不是等差数列也不是等比数列,故选A.]25.A[当n=1时，4(1+1)(ad1)=(1+2)ab解得a1=8,当n>2时，由4(&+1)=(n+2)an-n^,得4(S-+1)=(n+1)(n+2)an-n^,得4(S-+1)=(n+1)2an1,两式相减,得 4an=2 2(n+2)an(n+1)an-1

—n+13an(n+1) anan-1即 = 3一，所以an= - an-1n an—1an-2a2一•a1=a1(n+1)33n33X(n-1)3X---X23X8=(n+1)经验证n=1时也符合，所以an=(n+1)3.]an—3斛析由an+1=-?=~匚,3an+1得a2:守二-a

a3=莘班「无f=业d3a2+1 —3+1na4-a3-.3 3—,，3_a-#a3+1—3+1—0,所以数列｛an｝的循环周期为3.故a2015=a3X671+2=a2=—，3.4n-1解析由已知可得，数列｛cn｝的前n项和$=n(2n+1),所以数列｛cn｝为等差数列，首项c=S=3,C2=S>—81=10—3=7,故公差d=C2—C1=7—3=4,得数列的通项公式为Cn=C1十(n—1)X4=4n-1.bn=2n解析 由题意得，对于任意的正整数 n,bn=a2-1+1,所以bn+1=an+1,又an+1=2(a21+1)=2bn,所以bn+1=2bn,又bi=a1+1=2,所以｛bn｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以bn=2n.2解析设bn=~Tn,得an=3bn—入，代入已知得3bn—入=3(31bn―1—入)+3+4,变形3为3n(bn—bn—1—1)=—2入+4,这个式子对大于1的所有正整数n都成立.由于｛bn｝是等差数列，bn—bn—1是常数，所以b—bn—1—1=0,即—2入+4=0,可得入=2.解(1)因为｛an｝是递增数列，所以an+1—an=|an+1-an|=p.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又白,2a2,3a3成等差数列，所以4a2=a1+38,因而3p2-p=0,解得p=1或p=0.3当p=0时，an+1=an,、， I、，一一一一 1这与｛an｝是递增数列矛盾，故p=-.3(2)由于｛a2n_1｝是递增数列，因而 a2n+1—a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-H2n—1)>0.①因为22n因为22n<22n—1,以|a2n+1—a2n|<|a2n一a2n11.(2)由①②知，a2n—a2n1>0“ 2n0 /Jn-1 ?—1?因此；a2n—a2n-1=(2) =2印—1-因为｛a2n｝是递减数列,2n+1二一.④同理可得，a2n+1—2n+1二一.④12n故a2n+1一a2n=一(2),八n+1,…三,_，… (—1)由③④可知,