2022-2023学年人教版初中数学专题《相似三角形母子型相似》含答案解析

专题相似优选提升题：相似三角形五种解题模型题型三：母子型相似一、填空题1．（2022·福建三明·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】根据正方形的性质可知，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由，，两边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得，则，又有，则结论③错误．【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴，．又∵，∴．∵，∴，∴，故结论①正确；∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，∴，，∴．又∵，∴，即．∴△ACF∽△ADG．故结论②正确；由△ACF∽△ADG可知，∴DG平分．∵是等腰直角三角形，∴DG⊥AC．故结论④正确；∵，，∴△ACF∽△AFH，∴，∴．∵在等腰直角中，，∴，故结论③错误，∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．2．（2022·安徽·六安市清水河学校九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．【答案】

【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，FC＝2a，∴，∴，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答．3．（2021·浙江宁波·九年级期末）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．【答案】【分析】通过证，得到求出BF=2，，，进而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证CFD∽CAB，得到，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案．【详解】解：∵BD平分∠ABC，DE=BD∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD∴∠DBC=∠AED如图，在BC上取点，使BF=AE则在与中，∴∴AE=BF=2，，∴CF=BC-BF=8-2=6∵∠BAD=，∠DFC=∴∠BAD=∠DFC又∵∠C=∠C∴CFD∽CAB∴∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∠BAD=∠DFC∴∵∴∴DF=FC=6，则AD=DF=6∴CA=6+CD又∵CF=6，BC=8∴解得．故答案为：．【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．4．（2021·贵州铜仁·九年级期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于_______．【答案】【分析】根据勾股定理求出BC长，再根据相似，设出BE，DE，FC长，列方程即可．【详解】解：∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DEB=∠A=90°，∠B=∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，即，同理，，设BE为3x，则DE为4x，FC为，解得，，DE=4×=，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形建立正方形边长与其他线段的关系，根据斜边长设未知数列方程．5．（2020·安徽合肥·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为________；当CG取最小值时，CE的长为_________【答案】

2-2；

；【分析】在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为．【详解】解：如图示：在正方形中，在和中，，，∴∵∴即有：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，∵,∴∴，∴的最小值为，∵∴∴∴∴,设，则，∴，∴又∵，，∴∴,即：解之得：，（不合题意，舍去），∴，故答案是：，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．6．（2021·内蒙古包头·九年级期末）如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为__________．【答案】【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到∠ABE=∠ACB，求得∠ABE=∠DBE，根据全等三角形的性质得到AE=DE，AB=BD，设AB=BD=AC=x，根据相似三角形的性质得到AH=8，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，再根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，∵BF⊥AD，∴∠ABE+∠BAD=90°，∴∠BAD=90°-∠ABE，∵∠BAD=90°-∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵∠AEB=∠DEB=90°，BE=BE，∴△ABE≌△DBE（ASA），∴AE=DE，AB=BD，设AB=BD=AC=x，∴BC=x+2，BH=CH=，DH=-2，∵∠AHD=∠BED=90°，∠ADH=∠BDE，∴△ADH∽△BDE，∴，∴，∴x=10或x=-8（不符题意，舍去）,∴AB=BD=AC=10，DH=4，∴AH=8，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G=∠AHD=90°，∵∠ADH=∠CDG，∴△ADH∽△CDG，∴，∴，∴，，∵EF⊥AD，DG⊥AD，∴EF∥CG，∴△AEF∽△AGC，∴，∴，解得：EF=，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、解答题7．（2021·山东滨州·九年级期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）求证：；（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．【答案】（1）相切，见解析；（2）见解析；（3）5．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形“三线合一”性质证明OC⊥AB，据此解题；（2）连接OC，90°圆周角所对的弦是直径，证明DE为⊙O的直径，再证明△BCD∽△BEC，最后根据相似三角形的对应边成比例解题；（3）根据正切定义得到，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，设BC=x，根据相似三角形对应边成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，验根即可解题．【详解】解：（1）AB与⊙O相切，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB与⊙O相切；（2）连接OC，∵OC⊥AB，∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，又∵DE为⊙O的直径，∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠E=∠2，∴∠1=∠E，∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BEC，∴，∴BC2=BD•BE；（3）∵，∠ECD=90°，∴，∵⊙O的半径为3，∴OC=OE=3，∵△BCD∽△BEC，∴，设BC=x，∴，∴OB=2x-3，∵∠OCB=90°，∴OC2+BC2=OB2，∴9+x2=（2x-3）2，∴x1=0（舍去），x2=4，∴OA=OB=5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质等知识，切线的证明方法有两种：1、有点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，利用方程思想解题是关键．8．（2021·上海闵行·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．【答案】（1）抛物线是回归抛物线；理由见解析；（2）；（3）【分析】（1）先求出点M的坐标，再求出点M关于原点对称的点的坐标，最后代入二次函数，根据回归抛物线的定义即可得出答案；（2）先求出点C关于原点对称的点的坐标，再将的坐标代入二次函数解析式，即可求出的值，从而得出抛物线的表达式；（3）先求出抛物线的对称轴，再根据题意求出点C和点D的坐标；根据直线OC与抛物线的交点为E求出点E的坐标；从而求出CD、CE的值；然后根据相似三角形的判定和性质求出CF的值，即可求出点F的坐标．【详解】解：（1）M横坐标为2，M纵坐标为4，则．关于原点O的对称点为；当时，．所以在抛物线上；因此抛物线是回归抛物线；（2）关于原点