向量组的线性相关与线性无关课件

向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关第四节向量组的线性相关与线性无关回顾:向量组的线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,,an,对于任何一组实数k1,k2,…,km,表达式k1a1+k2a2+….+kn称为向量组A的一个线性组合kn称为这个线性组合的系数定义:给定向量组Aan和向量b,如果存在一组实数A1λn,使得则称向量b能由向量组A的线性表示问题1:给定向量组A,零向量是否可以由向量组A线性表示?问题2:如果零向量可以由向量组A线性表示,线性组合的系数是否不全为零?信息技术飞速发展的今天，教师在正确的教育观念和先进的教育理念的指导下，创造性地选择和运用一定的现代教育教学方法和技术，是现代信息社会对教师的紧迫要求。教师在教学过程中能够科学地综合选择和运用各种教学媒体的基本能力，在现代信息社会中则显得越来越重要。而农村小学远程教育工程的应用，使农村现代化教育教学不断走向成熟和完善。一、信息技术实施效益的改善首先，如果让学生既能听到又能看到，再通过讨论、交流，用自己的语言表达出来，知识的保持将大大优于传统教学的效果。应用多媒体课件教学，能有效地激发学生的学习科学兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，从而形成学习动机，主动参与教学过程，使课堂信息量加大，学生易于接受，在愉快的气氛、交流讨论中掌握了科学教学的重点、难点，教学效果相当明显。例如：利用PowerPoint制作出以图像、声音、动画等来表现教学内容，使之形象化、动态化，能直观地呈现出教学信息；特技效果、艺术手法以及交互性的运用，为学生提供了更加丰富的感知。这样新颖的学习形式不仅能激发学生的好奇心和求知欲，而且能增加感知深度，有效地提高了学习效率，使教学更趋生动有趣。其次，利用多媒体教学设备，教师就可以减少一些不必要的重复性劳动。教师可以把制作的教学内容通过刻录机保存到光盘上，随时随地可以呈现出教学内容，这样，教师就可以节省出一些时间去研究、鉴定学生在学习中遇到的新问题，也可以研究、设计、开发出新的教学产品去服务于学生的科学教学需要，还可以有精力去学习新的理论知识来提高自身素养。二、信息技术实施过程的升华1.及时分类促使教学形式多样化，丰富教学内容，通过多媒体，可以对课程资源进行收集并筛选分类；各农村小学都有专人负责课程资源的接收与下载，而广大教师就需要对它投以关注、判断和接纳并及时将感知到的信息进行有效的分析，再根据自己的学科职业、教学与研究需要或个人兴趣等提取与之相关的信息，分成若干类，做到有闻必录，及时梳理；农村小学现代远程教育资源多是文档资源和媒体资源（音频、视频、图形图像），因此可以将长期搜集到的各种信息资料，分门别类地整理成自己的信息库。2.教学多样性这样就可以打破时间、空间的局限性，为随时随地开展学与教的活动提供了形式和内容上的便利。3.教育信息化教育信息化的快速发展使农村学校的信息化环境、教育信息化教育理念和教学方法、学校的网络和资源建设等都得到改善，这将打破农村教育质量几十年低迷的“僵局”，彻底颠覆农村教育落后的局面，全面提高农村教学质量和教育水平和管理水平，为实现农村教育跨越式发展奠定基础。三、信息技术实施的合理安排首先，通过设备，可以使教学资源置留其中，这样就可以满足某些有特殊原因不能及时到校的学生参加学习的需要，为不同时间、空间上个别学习的需要创建平台。其次，使教师从知识的传授者变成学生学习的辅导者、引导者和课程教学的组织者，既体现了新课程改革的精神，又顺应了时代发展的潮流。因此，教师一定要充分利用多媒体资源开展教学和各种活动。再次，通过多媒体的教学，教师可以更好地引导帮助学生走出教科书、突破时间和空间的限制，在社会的大环境里学习和探索，逐步使学生成为学习的主体。最后，通过利用现代教育信息技术手段，合理配置教育资源，有效地提高了教学质量和效率，有助于满足师生不同学习方式的需要，在教育教学中发挥出了巨大的积极性作用。四、信息技术实施的几点矛盾1.信息化时代教育发展新形势新理念与农村落后的传统教育方式不相适应的矛盾当今，科技的飞速发展和信息技术在教育教学领域的全面应用，正在给教育带来深刻的变革，不仅在科学的教学内容、教育形式、教学手段、教学方法和教学模式上有较大变化，而且在教育思想、教学观念、教与学的理论乃至整个教育体制都发生了根本改变。而农村长期已经形成的传统教育思想和教学方法一时难以适应这种变化，需要一个渐进的漫长过程，这将直接影响教育改革的推进，影响着现代教育信息技术的推广应用。这是制约教育信息化发展的主要矛盾。2.教师信息技术运用的能力与课程整合之间的矛盾由于教师们的信息技术运用的能力参差不齐，普遍偏低。许多教师运用多媒体只能突出教学重点或难点，有的只为上公开课，等等。可以理解为只为用多媒体而用多媒体，而非为教学而用多媒体，结果使得教学效果适得其反，使现代信息技术运用流于形式。3.农村教育经费投入难以满足的矛盾农远工程配置到学校，相应的配套工作很多，如电教室的设立，各种打印纸张，使用的软件，设备的维护费等是一笔不小的开支，对于现代农村的普通学校来说，经费已经捉襟见肘，更是没有足够的资金投放到这方面。总之，教育信息化已经进入一个飞速发展的重要阶段，农远工程的实施，真正让广大教师和学生充分享受现代远程教育资源，真正提高农村中小学的教育教学水平和质量，加快了农村学校发展的步伐。面对机遇和挑战，不断研究新形势，总结新经验，探索新规律，制定新举措。开展远程教育的路还很长，需要我们更多的努力来走好这条路，从而走得更远。我们知道人进入一个新起点、新环境中学习或工作,一般都将产生新的学习或工作动力。但笔者在多年从事高等数学教学工作过程中发现一奇怪现象:部分踌躇满志的大学新生在学习高等数学不到一个月,即还没有感受到大学的学习特点和模式时,就在高等数学课上无精打采,且作业拖拉,甚至旷课;一些学生到了期末就采用临时突击补课的方法来应付考试,而不及格率较低;但到了第二学期,上述学习方法就难以应付过来了,从而导致期末考试不及格率提高。造成这些问题出现的原因是什么呢?不妨先看一道2005年高考数学试题:例题已知a≥0,函数f(x)=(x2一2ax)ex.(1)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;(2)设f(x)在[一1,1]上是单调函数,求a的取值范围。分析:解问题(1)步骤一:求得二个驻x10;步骤二:列表分析得到结论。解问题(2)只要分析得到满足条件的充要条件是x2≥1(关键技巧),后面就迎刃而解,解略。显然,这是一道一元微分学里常见的题目,难度不算大,但需要一点技巧。在此仅用来说明当前高中课程里所涉及到微分学的程度和高中生利用微分学解决问题的能力。事实上,目前有些院校的高等数学课程第一学期的期末考试也未必有能够达到这种难度的题目,大学里学的东西似乎比大学入学考试还要简单。承担大学一年级高等数学课程教学任务的老师都会注意到这样的现象。由此可见,随着导数等微分学的内容进入高中数学,给高等数学一元微积分教学提出了新的问题。特别是高中数学新的课程标准的出台后,我们至少应该承认高等数学教学改革没有与高中数学的教学改革同步。这种现状并不能简单地用提高第一学期考试难度的方法来改变,而是向我们提出了新的问题:高等数学一元微分学和高中所学的相关内容如何衔接?在一元微分学中到底应该教给学生什么东西?高等数学教材中有的内容与高中的有部分重复,但高等数学教学内容的侧重点与高中不同,教学目标也不同。更重要的是大学生与高中生在知识的掌握,思维能力的现状,思想方法的理解和思维品质上,都不尽相同。高中生学习数学概念时,一方面依靠具体的形象,通过模仿和再现去理解和巩固所学的知识,另一方面抽象思维开始占有一定地位。而大学生在学习数学概念时,不能再满足于懂得“是什么”,还要追求“为什么”,要学会使用概念通过判断、推理,对一些数学问题从理论上加以分析和概括,从而进一步掌握本质属性和概念之间的联系.因此,由高中进入大学,学生的心理和习惯要有一个转折和飞跃的过程。由于概念抽象、概括程度的提高,复杂性的变化。表述的研究方式的不同,概念的形成呈现出一定的阶段性。这种阶段性在大学生的心理上会引起“新颖感”和“不适应”两种反应,而我们正是要利用这些特点,做好学习过程的衔接工作。1选用合适教材尽快使学生了解高等数学所学的微积分课程的特点我们知道现在学校都提倡自编教材,就是象微积分、高等数学这样经典课程的教材也要改编。特别有些新成立的大专院校,教师的教学经历短,经验不足,而编写教材时过份强调够用为度,在编写教材一味追求用描述性定义、用具体的、形象、直观来编写教材中的概念,当学生拿到这样的教材后就给他们造成一种错觉,高等数学就是高中数学。当然也不能一味追求数学的逻辑性、严密性、系统性.怎样才能使学生了解高等数学所学的微积分课程的特点?我们就要选用合适的教材;比如让学生知道一些问题怎样用严密的数学语言来描述。如有界性和无界性定义,不能仅延续高中从几何图形观察是否有界,而应该用严格的数学语言给出定义,例如:有界性的定义:M>0,x∈D,使|f(x)|≤M,则称函数f(x)在D上有界。无界性的定义:M>0,x∈D,使|f(x)|>M,则称函数f(x)在D上无界。又如极限定义,笔者认为在高中用的是描述性定义,到了大学在描述性定义的基础上,可以比较自然地给出定义,注意讲课时不要把极限的概念和极限的定义混淆在一起。实践证明:这样做不仅让学生初步体会数学语言的严密性和数学符号的强大魅力,也让他们对知识的理解有所提升,意识到高等数学所学的微积分与在高中所学内容的区别。2对高中知识进行整理,将所学内容规范化和再升华在高中的基础上强化概念,深化知识.高中阶段在讨论极限和导数问题时,多以简单初等函数如多项式函数等为例,造成学生不注意概念的理解和对知识认识比较肤浅的情况。高等数学中微分学的教学中应在高中的基础上,通过一些比较复杂问题的讨论,一方面提高基本运算能力,另一方面让学生从一般的问题更深刻地体会和理解概念,避免造成学生以为多项式函数的分析性质一般函数也都会满足的错误认识,进一步加强函数的极限、导数等概念的理解。但这并不是说找些难题给学生做,而是选择一些“好的”题目,来加强概念的理解。有的教师以为扩招后学生基础下降,应降低难度,避开概念,讨论的问题比高中还要简单,结果偏离了高等数学教学的目标,同时使学生也失去了学习数学的兴趣。教学中我们的确发现不少学生并不满意回避概念的做法。如果仅仅像高中阶段那样只告诉学生某一道题目怎么做,顶多是某一类题目怎么处理,学生“知其然,而不知其所以然”,那么对高等数学所学的微积分来说这个要求就太低了。3横纵联系,强化应用其实学高等数学知识,归根结底是应用数学方法去解决当今的实际问题。如不具备应用能力,那么只能在纯数学范围内平面式地解决问题。我们不能只注重纯而又纯的数学知识教学,而应重视数学知识的实际应用,如工程数学、金融数学、保险数学,让高等数学名符其实地带上知识经济时代的烙印。还要纵横联系,强化应用,例如,定积分与概率密度函数之间的联系与实际意义,这样可有效地化解教学难点,提高应用能力。4从感性认识提高到比较抽象的理性思维学生在高中阶段学习时习惯于借助几何意义理解概念,这的确是我们常用的有效方法,故在注重传统的老师、黑板、粉笔的教学模式的同时,也要充分发挥计算机辅助教学的作用,这对于学生的学习积极性来说更重要。但不能仅仅满足于几何意义,要有意识地引导和培养数学思维能力。但应知道,无论如何黑板、粉笔的强大的展示思维过程的优势是多媒体所不能替代的。例如:降低微分中值定理的要求,用几何描述取代微分中值定理的证明;降低不定积分的技巧要求,适当加强向量代数与空间解析几何,以及多元函数微积分的部分内容,较好地满足专业课对高等数学的要求。5重视应用能力的培养,利用数学思想和方法解决问题如加强微分概念,为微积分本身的应用如微元法和近似计算的初步理论打下基础,在多元积分学中可用微元法处理积分的计算问题等。力求让大学生学完微积分后,会用微积分的思想方法“微元法”解决一些后续课程(如大学物理、电子应用)中的问题和处理一些简单的实际问题。学生在高中阶段所学的微积分概念不是十分严密,缺乏系统性,但学生具备了一定的计算能力和简单的应用能力。因此,高等数学所学的微积分教学应该注意到这些特点,认真研究,做好课程的衔接,使高等数学所学的微积分课程教学能够更加有效和顺利地进行。向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组的1第四节向量组的线性相关与线性无关回顾:向量组的线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,,an,对于任何一组实数k1,k2,…,km,表达式k1a1+k2a2+….+kn称为向量组A的一个线性组合kn称为这个线性组合的系数定义:给定向量组Aan和向量b,如果存在一组实数A1λn,使得则称向量b能由向量组A的线性表示第四节向量组的线性相关与线性无关2向量组的线性相关与线性无关课件3向量组的线性相关与线性无关课件4向量组的线性相关与线性无关课件5向量组的线性相关与线性无关课件62。齐次线性方程组与向量组线性相关与线性无关的关系定理1列向量组A:α1,a,…,∝n线性相关的充分必要条件是:以x1,x2,…,xm为未知量的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xman=0--(1)有非零解。即(1):(I)非零解→列向量组A线性相关(2):(I)只有零解列向量组A线性无关定理1′行向量组A:a1,∝2,…,∝n线性相关的充分必要条件是:以x1,x2,…,xm为未知量的齐次线性方程组11+x2C2+…+x-(Ⅱ有非零解。即(1):(Ⅱ)有非零解<→行向量组A线性相关(2):(Ⅱ)只有零解行向量组A线性无关下页2。齐次线性方程组与向量组线性相关与线性无关的关系7备注:口给定向量组A,不是线性相关,就是线性无关,两者必居其口向量组A:a1,a2,…,am线性相关,通常是指m≥2的情形口若向量组只包含一个向量:当a是零向量时,线性相关;当a不是零向量时,线性无关备注:8(二)。向量组线性相关与线性无关的判定:(重点、难点)讨论:齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xman=0--(1)在什么情况下有非零解?提示:系数矩阵的秩小于m,即小于向量(未知数)的个数结论(1)列向量组A:a,α2,…,an线性〈(I)有非零解相关〈今r(A)=(a1a2…an)秩<m(向量的个数)(2)列向量组A:a1,a2,…,an线性(I只有零解无关(r(A)=(a1a2…an)秩=m(向量的个数)(3)行向量组A:a,α2,…,an线性相关<r(An)=(aTa2…an)秩<m(向量的个数)(4)行向量组A:a1,a,…,an线性无关〈Ar(A")=(a1Ta2…an)秩=m(向量的个数)下页(二)。向量组线性相关与线性无关的判定:(重点、难点)9解题思路:转化为齐次线性方程组的问题;转化为矩阵的秩的问题例1.判断向量组A:a1=(1,2,-1,5)1,a2=(2,-1,1,1)r,a3=(4,3,-1,11)是否线性相关解:因为12420-501A:03300051110-9-9000r(A)=(a1a2…amn)秩=2<3(向量的个数),所以向量组a1,a2,a3线性相关。判定定理首页下页解题思路:10例2.判断向量组A:ax1=(1,2,0,1),a2=(1,3,0,-1),a3=(-1,-1,1,0)是否线性相关。解:因为A=(aa2a3)23-1000100110001000010003000r(AT)=秩a1Ta2Ta)=3(向量的个数)所以此向量组A线性无关。判定定理首页下页例2.判断向量组A:ax1=(1,2,0,1),a2=(1,11向量组的线性相关与线性无关课件12向量组的线性相关与线性无关课件13向量组的线性相关与线性无关课件14向量组的线性相关与线性无关课件15向量组的线性相关与线性无关课件16向量组的线性相关与线性无关课件17向量组的线性相关与线性无关课件18向量组的线性相关与线性无关课件19向量组的线性相关与线性无关课件20向量组的线性相关与线性无关课件21向量组的线性相关与线性无关课件22向量组的线性相关与线性无关课件23向量组的线性相关与线性无关课件2451、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游

52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭

53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。——易卜生

54、唯书籍不朽。——乔特

55、为中华之崛起而读书。——周恩来谢谢！51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游

52、25向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关第四节向量组的线性相关与线性无关回顾:向量组的线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,,an,对于任何一组实数k1,k2,…,km,表达式k1a1+k2a2+….+kn称为向量组A的一个线性组合kn称为这个线性组合的系数定义:给定向量组Aan和向量b,如果存在一组实数A1λn,使得则称向量b能由向量组A的线性表示问题1:给定向量组A,零向量是否可以由向量组A线性表示?问题2:如果零向量可以由向量组A线性表示,线性组合的系数是否不全为零?信息技术飞速发展的今天，教师在正确的教育观念和先进的教育理念的指导下，创造性地选择和运用一定的现代教育教学方法和技术，是现代信息社会对教师的紧迫要求。教师在教学过程中能够科学地综合选择和运用各种教学媒体的基本能力，在现代信息社会中则显得越来越重要。而农村小学远程教育工程的应用，使农村现代化教育教学不断走向成熟和完善。一、信息技术实施效益的改善首先，如果让学生既能听到又能看到，再通过讨论、交流，用自己的语言表达出来，知识的保持将大大优于传统教学的效果。应用多媒体课件教学，能有效地激发学生的学习科学兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，从而形成学习动机，主动参与教学过程，使课堂信息量加大，学生易于接受，在愉快的气氛、交流讨论中掌握了科学教学的重点、难点，教学效果相当明显。例如：利用PowerPoint制作出以图像、声音、动画等来表现教学内容，使之形象化、动态化，能直观地呈现出教学信息；特技效果、艺术手法以及交互性的运用，为学生提供了更加丰富的感知。这样新颖的学习形式不仅能激发学生的好奇心和求知欲，而且能增加感知深度，有效地提高了学习效率，使教学更趋生动有趣。其次，利用多媒体教学设备，教师就可以减少一些不必要的重复性劳动。教师可以把制作的教学内容通过刻录机保存到光盘上，随时随地可以呈现出教学内容，这样，教师就可以节省出一些时间去研究、鉴定学生在学习中遇到的新问题，也可以研究、设计、开发出新的教学产品去服务于学生的科学教学需要，还可以有精力去学习新的理论知识来提高自身素养。二、信息技术实施过程的升华1.及时分类促使教学形式多样化，丰富教学内容，通过多媒体，可以对课程资源进行收集并筛选分类；各农村小学都有专人负责课程资源的接收与下载，而广大教师就需要对它投以关注、判断和接纳并及时将感知到的信息进行有效的分析，再根据自己的学科职业、教学与研究需要或个人兴趣等提取与之相关的信息，分成若干类，做到有闻必录，及时梳理；农村小学现代远程教育资源多是文档资源和媒体资源（音频、视频、图形图像），因此可以将长期搜集到的各种信息资料，分门别类地整理成自己的信息库。2.教学多样性这样就可以打破时间、空间的局限性，为随时随地开展学与教的活动提供了形式和内容上的便利。3.教育信息化教育信息化的快速发展使农村学校的信息化环境、教育信息化教育理念和教学方法、学校的网络和资源建设等都得到改善，这将打破农村教育质量几十年低迷的“僵局”，彻底颠覆农村教育落后的局面，全面提高农村教学质量和教育水平和管理水平，为实现农村教育跨越式发展奠定基础。三、信息技术实施的合理安排首先，通过设备，可以使教学资源置留其中，这样就可以满足某些有特殊原因不能及时到校的学生参加学习的需要，为不同时间、空间上个别学习的需要创建平台。其次，使教师从知识的传授者变成学生学习的辅导者、引导者和课程教学的组织者，既体现了新课程改革的精神，又顺应了时代发展的潮流。因此，教师一定要充分利用多媒体资源开展教学和各种活动。再次，通过多媒体的教学，教师可以更好地引导帮助学生走出教科书、突破时间和空间的限制，在社会的大环境里学习和探索，逐步使学生成为学习的主体。最后，通过利用现代教育信息技术手段，合理配置教育资源，有效地提高了教学质量和效率，有助于满足师生不同学习方式的需要，在教育教学中发挥出了巨大的积极性作用。四、信息技术实施的几点矛盾1.信息化时代教育发展新形势新理念与农村落后的传统教育方式不相适应的矛盾当今，科技的飞速发展和信息技术在教育教学领域的全面应用，正在给教育带来深刻的变革，不仅在科学的教学内容、教育形式、教学手段、教学方法和教学模式上有较大变化，而且在教育思想、教学观念、教与学的理论乃至整个教育体制都发生了根本改变。而农村长期已经形成的传统教育思想和教学方法一时难以适应这种变化，需要一个渐进的漫长过程，这将直接影响教育改革的推进，影响着现代教育信息技术的推广应用。这是制约教育信息化发展的主要矛盾。2.教师信息技术运用的能力与课程整合之间的矛盾由于教师们的信息技术运用的能力参差不齐，普遍偏低。许多教师运用多媒体只能突出教学重点或难点，有的只为上公开课，等等。可以理解为只为用多媒体而用多媒体，而非为教学而用多媒体，结果使得教学效果适得其反，使现代信息技术运用流于形式。3.农村教育经费投入难以满足的矛盾农远工程配置到学校，相应的配套工作很多，如电教室的设立，各种打印纸张，使用的软件，设备的维护费等是一笔不小的开支，对于现代农村的普通学校来说，经费已经捉襟见肘，更是没有足够的资金投放到这方面。总之，教育信息化已经进入一个飞速发展的重要阶段，农远工程的实施，真正让广大教师和学生充分享受现代远程教育资源，真正提高农村中小学的教育教学水平和质量，加快了农村学校发展的步伐。面对机遇和挑战，不断研究新形势，总结新经验，探索新规律，制定新举措。开展远程教育的路还很长，需要我们更多的努力来走好这条路，从而走得更远。我们知道人进入一个新起点、新环境中学习或工作,一般都将产生新的学习或工作动力。但笔者在多年从事高等数学教学工作过程中发现一奇怪现象:部分踌躇满志的大学新生在学习高等数学不到一个月,即还没有感受到大学的学习特点和模式时,就在高等数学课上无精打采,且作业拖拉,甚至旷课;一些学生到了期末就采用临时突击补课的方法来应付考试,而不及格率较低;但到了第二学期,上述学习方法就难以应付过来了,从而导致期末考试不及格率提高。造成这些问题出现的原因是什么呢?不妨先看一道2005年高考数学试题:例题已知a≥0,函数f(x)=(x2一2ax)ex.(1)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;(2)设f(x)在[一1,1]上是单调函数,求a的取值范围。分析:解问题(1)步骤一:求得二个驻x10;步骤二:列表分析得到结论。解问题(2)只要分析得到满足条件的充要条件是x2≥1(关键技巧),后面就迎刃而解,解略。显然,这是一道一元微分学里常见的题目,难度不算大,但需要一点技巧。在此仅用来说明当前高中课程里所涉及到微分学的程度和高中生利用微分学解决问题的能力。事实上,目前有些院校的高等数学课程第一学期的期末考试也未必有能够达到这种难度的题目,大学里学的东西似乎比大学入学考试还要简单。承担大学一年级高等数学课程教学任务的老师都会注意到这样的现象。由此可见,随着导数等微分学的内容进入高中数学,给高等数学一元微积分教学提出了新的问题。特别是高中数学新的课程标准的出台后,我们至少应该承认高等数学教学改革没有与高中数学的教学改革同步。这种现状并不能简单地用提高第一学期考试难度的方法来改变,而是向我们提出了新的问题:高等数学一元微分学和高中所学的相关内容如何衔接?在一元微分学中到底应该教给学生什么东西?高等数学教材中有的内容与高中的有部分重复,但高等数学教学内容的侧重点与高中不同,教学目标也不同。更重要的是大学生与高中生在知识的掌握,思维能力的现状,思想方法的理解和思维品质上,都不尽相同。高中生学习数学概念时,一方面依靠具体的形象,通过模仿和再现去理解和巩固所学的知识,另一方面抽象思维开始占有一定地位。而大学生在学习数学概念时,不能再满足于懂得“是什么”,还要追求“为什么”,要学会使用概念通过判断、推理,对一些数学问题从理论上加以分析和概括,从而进一步掌握本质属性和概念之间的联系.因此,由高中进入大学,学生的心理和习惯要有一个转折和飞跃的过程。由于概念抽象、概括程度的提高,复杂性的变化。表述的研究方式的不同,概念的形成呈现出一定的阶段性。这种阶段性在大学生的心理上会引起“新颖感”和“不适应”两种反应,而我们正是要利用这些特点,做好学习过程的衔接工作。1选用合适教材尽快使学生了解高等数学所学的微积分课程的特点我们知道现在学校都提倡自编教材,就是象微积分、高等数学这样经典课程的教材也要改编。特别有些新成立的大专院校,教师的教学经历短,经验不足,而编写教材时过份强调够用为度,在编写教材一味追求用描述性定义、用具体的、形象、直观来编写教材中的概念,当学生拿到这样的教材后就给他们造成一种错觉,高等数学就是高中数学。当然也不能一味追求数学的逻辑性、严密性、系统性.怎样才能使学生了解高等数学所学的微积分课程的特点?我们就要选用合适的教材;比如让学生知道一些问题怎样用严密的数学语言来描述。如有界性和无界性定义,不能仅延续高中从几何图形观察是否有界,而应该用严格的数学语言给出定义,例如:有界性的定义:M>0,x∈D,使|f(x)|≤M,则称函数f(x)在D上有界。无界性的定义:M>0,x∈D,使|f(x)|>M,则称函数f(x)在D上无界。又如极限定义,笔者认为在高中用的是描述性定义,到了大学在描述性定义的基础上,可以比较自然地给出定义,注意讲课时不要把极限的概念和极限的定义混淆在一起。实践证明:这样做不仅让学生初步体会数学语言的严密性和数学符号的强大魅力,也让他们对知识的理解有所提升,意识到高等数学所学的微积分与在高中所学内容的区别。2对高中知识进行整理,将所学内容规范化和再升华在高中的基础上强化概念,深化知识.高中阶段在讨论极限和导数问题时,多以简单初等函数如多项式函数等为例,造成学生不注意概念的理解和对知识认识比较肤浅的情况。高等数学中微分学的教学中应在高中的基础上,通过一些比较复杂问题的讨论,一方面提高基本运算能力,另一方面让学生从一般的问题更深刻地体会和理解概念,避免造成学生以为多项式函数的分析性质一般函数也都会满足的错误认识,进一步加强函数的极限、导数等概念的理解。但这并不是说找些难题给学生做,而是选择一些“好的”题目,来加强概念的理解。有的教师以为扩招后学生基础下降,应降低难度,避开概念,讨论的问题比高中还要简单,结果偏离了高等数学教学的目标,同时使学生也失去了学习数学的兴趣。教学中我们的确发现不少学生并不满意回避概念的做法。如果仅仅像高中阶段那样只告诉学生某一道题目怎么做,顶多是某一类题目怎么处理,学生“知其然,而不知其所以然”,那么对高等数学所学的微积分来说这个要求就太低了。3横纵联系,强化应用其实学高等数学知识,归根结底是应用数学方法去解决当今的实际问题。如不具备应用能力,那么只能在纯数学范围内平面式地解决问题。我们不能只注重纯而又纯的数学知识教学,而应重视数学知识的实际应用,如工程数学、金融数学、保险数学,让高等数学名符其实地带上知识经济时代的烙印。还要纵横联系,强化应用,例如,定积分与概率密度函数之间的联系与实际意义,这样可有效地化解教学难点,提高应用能力。4从感性认识提高到比较抽象的理性思维学生在高中阶段学习时习惯于借助几何意义理解概念,这的确是我们常用的有效方法,故在注重传统的老师、黑板、粉笔的教学模式的同时,也要充分发挥计算机辅助教学的作用,这对于学生的学习积极性来说更重要。但不能仅仅满足于几何意义,要有意识地引导和培养数学思维能力。但应知道,无论如何黑板、粉笔的强大的展示思维过程的优势是多媒体所不能替代的。例如:降低微分中值定理的要求,用几何描述取代微分中值定理的证明;降低不定积分的技巧要求,适当加强向量代数与空间解析几何,以及多元函数微积分的部分内容,较好地满足专业课对高等数学的要求。5重视应用能力的培养,利用数学思想和方法解决问题如加强微分概念,为微积分本身的应用如微元法和近似计算的初步理论打下基础,在多元积分学中可用微元法处理积分的计算问题等。力求让大学生学完微积分后,会用微积分的思想方法“微元法”解决一些后续课程(如大学物理、电子应用)中的问题和处理一些简单的实际问题。学生在高中阶段所学的微积分概念不是十分严密,缺乏系统性,但学生具备了一定的计算能力和简单的应用能力。因此,高等数学所学的微积分教学应该注意到这些特点,认真研究,做好课程的衔接,使高等数学所学的微积分课程教学能够更加有效和顺利地进行。向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组的26第四节向量组的线性相关与线性无关回顾:向量组的线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,,an,对于任何一组实数k1,k2,…,km,表达式k1a1+k2a2+….+kn称为向量组A的一个线性组合kn称为这个线性组合的系数定义:给定向量组Aan和向量b,如果存在一组实数A1λn,使得则称向量b能由向量组A的线性表示第四节向量组的线性相关与线性无关27向量组的线性相关与线性无关课件28向量组的线性相关与线性无关课件29向量组的线性相关与线性无关课件30向量组的线性相关与线性无关课件312。齐次线性方程组与向量组线性相关与线性无关的关系定理1列向量组A:α1,a,…,∝n线性相关的充分必要条件是:以x1,x2,…,xm为未知量的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xman=0--(1)有非零解。即(1):(I)非零解→列向量组A线性相关(2):(I)只有零解列向量组A线性无关定理1