物理融合系统：负荷建模与设计优化

CyberphysicalSystemsWorkloadModelingandDesignOptimization物理融合系统：负荷建模与设计优化学号：200909030227姓名：张聪PaulBogdanandRaduMarculescuCarnegieBuilttointeractwiththephysicalworld,acyberphysicalsystem(CPS)mustbeefficient,reliable,andsafe.Tooptimizesuchsystems,ascienceofCPSdesignconsideringworkloadcharacteristics(e.g.,self-similarityandnonstationarity)mustbeestablished.CPSmodelinganddesignaregreatlyimprovedwhenstatisticalphysicsapproaches—suchasmasterequations,renormalizationgrouptheory,andfractionalderivatives—areimplementedintheoptimizationloop物理融合系统（CPS）是为了实现与实体世界相互作用而建立的，因此该系统必须有效、可靠并且安全。为了优化这样的系统，考虑到工作负荷的特点（例如自相似性和非恒定性），物理融合系统的设计技术必须是确定的。而统计物理学方法—例如主方程，重整化群理论，还有分数阶微分—在最优化循环中的应用，使得CPS的建模和设计得到了巨大的改良。WELIVEINaworldinwhichcomputation,communication,andcontrolarecontinuouslyandincreasinglyinterwoventoproducefunctionallyrichandenergy-efficientcyberphysicalsystems.Weunderstandacyberphysicalsystem(CPS)tomeananetworkofembeddedcomputationaldevicesandanassociatedsetofwiredorwirelessnetworksthatcanmonitorandcontrolvariousphysicalprocessesthatoccurintheenvironment(e.g.,apowergrid,transportationandcommunicationnetwork,ornetworkofmedicaldevices).Althoughthefocusoftheembeddedsystemscommunityisonbuildingcomputationalmodelsforspecificembeddedapplications,intheCPSareathegoalisnotonlytoestablishareliablecommunicationinfrastructurebetweensuchcomputationalelements,butalsotoincludetime-andfeedback-basedcontrolasintrinsiccomponentsoftheprogrammingmodel.Thisgoalletsusgeneralizetheembedded-systemscomputationalparadigmsothatmore-directinteractionbetweenthesystemandphysicalworldbecomespossible.Forinstance,vehicularnetworksdescribingthecars’movementinacityortheswarmsofbacteriausedfordiagnosticordrugdeliverypurposesareCPSexamplesthataredistinctfromclassicalnetworkedembeddedsystems.我们生活在一个这样的的世界，计算、通信和控制正不断地混杂在一起创造出功能强大并高能效的物理融合系统。我们推断物理融合系统（CPS）意味着一种嵌入式计算设备网络和一套联合的有线或无线的网络，这种网络可以监控和管理多种存在于某种环境下（例如一个电力网，交通和通信网络，或者医疗设备的网络）的物理进程。尽管嵌入式系统的内容中心在于为特定的嵌入式应用程式建造计算模型，但在CPS领域，这个目标就不仅仅是在这种计算单元之间建立可靠的通信基础结构，并且还包括使基于时间和反馈的操纵装置变成编制程序的固有元件。这个目标让我们总结出嵌入式系统的计算范式以便让更多计算系统与物质世界之间的直接互动变得可能。例如，用车载自组织网络描述汽车在城市中的运行轨迹或是一大群用于诊断和药物释放目的的细菌的运行轨迹就是CPS区别于传统嵌入式网络系统的例子。ACPSmustmeetrequirementsforperformanceandlow-poweroperation,aswellasbesafe,reliable,andsecure.Clearly,suchcomplexrequirementscallnotonlyforanewscienceofnetworks,butalsoforamultidisciplinaryapproachtowardCPSdesignthatbringstogetherconceptsandtechniquesfromreal-timecomputingandsignalprocessing,aswellasdistributed,self-organizingcontrolofheterogeneoussensornetworksandembeddedsystems.Indeed,suchanewsciencecannotrelyonclassicalapproachesforworkloadmodelingandlinearcontrolparadigms.物理融合系统必须满足高性能和低功耗的条件，并且要具有安全、可靠、保密的特性。当然，既然CPS的设计要满足这么复杂的条件，那么它需要的就不仅是一门新兴的网络科学，还需要一种融合了多学科的方法，这种方法包含着实时计算、信号处理、异构传感器网络的分散式自组织控制和嵌入式系统中的观念和技术。事实上，这门新学科不能依赖于传统的负荷建模和线性控制范式的方法。ACPSworkloadistheamountofmeasuredand/orprocesseddataperunitoftimethatiscommunicatedbetweenvariousCPSnodesandwhichaffectsnotonlyvariouslocalparameters(e.g.,bufferutilization)butalsomacroscopicmetrics(e.g.,CPSthroughput).Forinstance,wecannotdecidethesizeandtopologyofaparticularwirelesssensornetworkwithoutconsideringthespatiotemporalcharacteristicsofthecommunicationworkloadthatmustbecommunicatedreliablytodatacentersforfurtheranalysisanddecisionpurposes.What’smore,wecannotarbitrarilydecidethesizeofthecommunicationbuffersbetweenthesensorsinanetworkordatacenterbecausethelossordelayofcriticalinformationcanhavecatastrophiceffectsonair,road,orrailroadtraffic.Similarly,wecannotignorethecharacteristicsoftheworkloadgeneratedbyaseriesofbio-implantabledevices,becausethiscanhaveacrucialimpactonapatient’slife.物理融合系统的工作负载指的是每单位在各个CPS节点间的通讯时间内测量和被处理的数据总量，它不仅影响到各种局部参数（例如缓冲使用情况），还影响到宏观测度（例如CPS吞吐量）。举一个例子，我们没有办法在不考虑通讯负载时空相关特性的情况下决定一个特定无线传感网络的容量和拓扑结构，因为为了进一步的解析和决策，通讯负载必须要可靠的传递给数据交换中心。此外，我们不能武断的决定网络或信息交换中心的传感器之间的通信缓冲器的容量，因为关键信息的损耗或延迟可能会在航空、公路或铁路交通中带来灾难性后果。同样的，我们也不能忽视一系列通过可植入式生命设备总结出的工作负荷的特性，因为忽视它们可能会给病人的生命带来决定性的影响。Fromthisperspective,wearguethatpreciseworkloadcharacterizationshouldbeoneofthemaindriversinCPSdesignandoptimization.Consequently,inthisarticleweproposeanewframeworkforworkloadcharacterizationbasedonstatisticalphysicsandthendiscusshowthisnewvisioncanimprovethedesignoffuturecyberphysicalsystems.从这个角度来看，我们认为精确的工作负荷特性表示法应该作为CPS设计和优化的主要驱动程序之一。因此，在这篇文章中我们会提出一种基于统计物理学的工作负荷特性表示法的新型框架，然后讨论这个新版本是如何来改善未来的物理融合系统设计的。Figure1.R-Rintervals,collectedviaelectrocardiogramrecordingofdatafromahealthysubject,exhibitself-similarity(a).Mean,variance,andkurtosisplotsoftheR-Rintervals(asafunctionofthebeatnumber)forahealthyindividualexhibitnonstationarybehavior,whichdeviatesfromGaussianstatistics(b).PowerspectraldensityoftheR-Rintervalsexhibitsa1/fβ(β=1.445)behaviorconfirmingtheself-similarityassumption(c).(TheR-RintervaldatasetswereobtainedfromtheNationalInstituteofBiomedicalImagingandBioengineeringwebsite;.)Maincharacteristicsofphysicalprocesses物理过程的主要特性AlltheCPScomponentsthatmeasurephysicalparameters—temperature,humidity,speed,heartrate,andsoon—canbedescribedbyasetofconcurrentprocessesthatinteractandadapttochangingenvironmentalconditions.Suchphysicalprocessestypicallyinduceadynamicsystembehaviorinresponsetovariousexternal(environmental)stimuli.Forinstance,theearth’sweather,oracrowd’sbehavior(whichisdirectlyrelevanttovehiculartrafficmodeling,rarelyoperateatequilibrium.Evenwhentheearth’sweatheroracrowd’sbehaviorreachesasteadystate,thisoccurrencetypicallyhappensonlyforshortintervalsoftime.所有测量诸如温度、湿度、速度、心率等等物理参数的CPS组件可以被描述为一组与不断变化的环境条件相互影响并最终适应的并发进程。这些物理过程通常包括对各种外部（环境）刺激做出反应的动力系统行为。例如，地球的天气，或者某种与交通运输工程建模直接相关的群体行为，就很少在平衡状态下运作。即使当地球的天气或这种群体行为达到稳定状态，这种情况也通常仅仅发生在一段很短的时间间隔内。Despitetheircomplexbehavior,physicalprocessescanbecharacterizedbyself-similarityandnonstationarity.Forinstance,inFigure1aweplottheR-Rintervals—thatis,thetimedurationbetweentwoRwavesinanelectrocardiogram(ECG)signal—asafunctionofthenumberofheartbeatsforahealthyindividual.AnECGsignalrepresentstheelectricalactivityoftheheartovertimeandconsistsoffourelements:Pwave(atrialdepolarization),QRScomplex(ventricles’depolarization),Twave(ventricles’depolarization),andUwave(interventricularseptumrepolarization).Becausetheventriclescontainmoremusclesthanatria,thespikecorrespondingtoanRwave(heartbeat)intheQRScomplexappearsmorevisiblethanotherwaves.ThedifferencebetweentwoconsecutiveRwavesiscalledtheR-Rintervalandprovidesinformationaboutheartratevariability.Byzoominginacrossseveraltimescaleswithrespecttotheinitialtimeseries,wecanseethatthespikydynamicsobservedindifferentintervalsandsubintervalsdisplaysomesortofsimilarstatisticalirregularity;thisrepresentsaself-similarbehavior(Figure1c).除了这些复杂的特性，物理过程还可能具有自相似性和非平稳性的特征。举个例子，在图1a中我们标绘出R-R的区间，即是心电图信号中两个R波形之间的持续时间，作为一个健康个体心率数目的函数。一幅心电图信号描绘出心脏随着时间的电活动和组成他的四种元素：P波形（心房除极化）、QRS复合波群（心室除极化）、T波形（心室再极化）、和U波形（心室间隔膜复极化）。因为心室比心房包含更多的肌肉，所以QRS复合波群中对应于R波形（心率）的峰电位比其他波形明显得多。两个连续R波形之间的不同被叫做R间期，它提供了心率变异率的信息。通过放大关于初始时间序列的一些时间尺度，我们可以看到不同的间距都遵守着一些尖锐的动态图案，而且子间距都表现出某类相似的经统计的无规律现象；这些都表现出它自相似特征。ThespikybehaviorevidencedinFigure1hasimportantimplicationsfrombothapracticalandatheoreticalperspective.Forexample,fromaphysician’sperspective,theabsenceortendencyoflosingtheself-similaritysignifiesahighlikelihoodofcongestiveheartfailure.Ontheotherhand,fromamathematicalstandpoint,thefractalpatternexhibitedinFigure1aisnotdifferentiablewhenconsideredasatimefunctiondescribingaphysicalprocess;thismeansthattheintegerorderderivativesshouldbereplacedbyderivativesoffractionalorderswhenanalyzingthesystembehavior.无论从实践角度还是理论角度，图1中显示出的波形的尖锐变化都具有很重要的含义。例如从医师的角度来看，自相似性的缺失或者有消失的趋势都表示出充血性心力衰竭的很大可能性。另一方面，从数学角度出发，当图1a中表现出的分形图案被看做一个描述物理过程的时间函数时是不可微的；这意味着当分析系统行为时，整数阶导数应当替换成分数阶导数。Figure1bshowsthetimedependencyofthemean,variance,andkurtosisoftheR-RintervalsinFigure1a.Bywayofcontext,thekurtosis(i.e.,theratiobetweenthefourth-ordermomentandthestandarddeviationofaprobabilitydistribution)capturesthefrequencyofrareevents.TheexistenceofanonstationarybehaviorcanbeobservedfromthemovingaveragegraphsofthemeanandvarianceofR-RintervalsinFigure1b.Thisimpliesthat,ateverypointintime,thephysicalprocesscanbecharacterizedbysomelocalfractalexponent.Inadditiontotheintrinsicnonstationarityofdata,anonzerokurtosisprovesthataGaussianapproachdoesnotfitthedatawell,andthusahigher-ordermomentanalysisisneededtoproperlycharacterizethistypeofbehavior.图1b显示了图1a中R间期的平均值、方差和峰值的时间依赖性。通过上下文联系，可以知道峰值（即介于四阶矩函数和概率分布的标准偏差之间的比例）采集的是稀有事件的发生频率。非平稳特性的存在可以从图1b中R间期的平均值和方差的移动平均线图表中观测得知。这意味着在每一个时间点，物理过程都可以以一些局部的分形指数为特征。除了数据固有的非稳定之外，非零的峰值也证明了高斯方法并不适用于这些数据，因此为了描绘这种类型的性态特性就需要用到高阶力矩解析。Figure2.Cumulativeconcentrationpercubiccentimeterofcloudcondensationnuclei(CCN)collectedduringflightsalsoexhibitsaself-similarsignature.(DatasetsshownherecourtesyofNationalCenterforAtmosphericResearch,whichallowedaccesstotheIceinCloudsExperiment;http:///codiac/projs?ICE-L.)Manyotherphysicalprocessesalsoexhibitasimilarbehavioroverlongperiodsoftime.Forinstance,Figure2showsanotherexampleofaself-similarprocess:itdisplaysthecumulativeconcentrationofcloudcondensationnuclei(CCN)collectedviaaCCNspectrometer.Fromapracticalstandpoint,theCCNmeasurementsareusedtoassesstheimpactofindustrialpollutiononclimatechange.Indeed,atmosphericmeasurementsshowthatahigherconcentrationofCCNdeterminethatcloudsreflectmoresolarradiationandthereforecontributetomoreabnormaltemperaturefluctuationsontheearth’ssurface.Beyondtheintrinsicvariabilityoriginatinginthespatiallocationoftheicedropletswithinthecloud,however,thedatainFigure2showsthatthereisalsoself-similarityinthetimedomain.许多其他的物理过程经过一段较长的时间也会显示出相似的特性。例如，图2中演示了另一种具有自相似性的过程实例：它显示了通过云凝结核的光谱仪的收集到的云凝结核的累积浓度。从实践的角度来说，云凝结核的测量是用来评定工业污染对气候改变带了的影响的。事实上。大气监测显示更高浓度的云凝结核决定了云层会反射更多的日光照射，并因此造成地球表面更多异常的温度波动。但是越过起源于云层冰滴空间位置的内在变异性，图2中的数据还显示出时域中也存在着自相似性。Althoughthesegeophysicalprocesses,aswellasmanyotherssuchasdailyaveragewindspeeds,displayself-similarbehavior,theirsocietalimpactisquitedifferentwhenweconsidervarioustimescales.Moreprecisely,whilethestudyofclimatechangeandtheimpactofthehumanfootprintonEarth’satmospherehasalargertimescale(yearsordecades),thedailyaveragewindspeedshaveanimmediateimpactwithatimescaleofdaysandpossiblyminutes.Indeed,theinformationaboutwindspeeds,precipitationformation,andcloudmovementhasanimmediateandenormouseconomicimpactonair,road,andrailtraffic.Despitethesedifferencesincharacteristics,aCPSmustbeabletocollectandcommunicateallthisdatatomakevariouspredictions.尽管这些地球物理学过程和很多其他的数据诸如每日平均风速一样表现出自相似的特性，但是当我们考虑到不同的时间尺度时它们的社会影响是完全不一样的。更准确的说，相较于气候变化的研究和人类活动对大气层的影响需要一个更长的时间尺度（例如一年或十年），每日平均风速在以一天或更可能是一分钟为时间尺度时具有更接近的效果。事实上，关于风速、降水形成、云运动的信息会对航空、公路和铁路交通产生直接并巨大的经济影响。除了这些特性上的不同，物理融合系统必须能够收集并传达所有的这些数据以做出各种预测。Figure3.Powerspectrumofshort-rangecommunicationinalocalareanetwork(LAN)establishedviawirelesslinksbetweenmovingvehicles(a).Multifractalspectrumofthetransactionevents(i.e.,sentandreceivedpackets)inaLANinwhichconnectivityisestablishedviawirelesslinksandaccesspointsinanurbanenvironment(b).ModelingCPSworkloadsCPS工作负荷的建模Fromthepreviousdiscussion,wecanseethatthephysicalprocessesrelevanttoaCPSmightexhibitasystematicrelationshipatdifferentscalesinspaceandtime.Thisintrinsicpropertycanalsobethoughtofasoneofthemaincausesforobservingself-similarityinCPSworkloads.Apowerfulapproachforinvestigatingtheexistenceofself-similarityistomovetheinvestigationfromthetimedomaintothefrequencydomainandanalyzethepowerspectrumofCPSworkloads.通过前面的讨论，我们可以看到与CPS有关的物理过程应该在不同的时间和空间尺度下显示出必然联系。这个内在性能也可以作为我们观察CPS工作负荷自相似性的主要目标之一。研究自相似性存在的一个有效方法是将调查报告的时域换成频域，然后分析CPS负载的功率谱。Fromamathematicalpointofview,thepowerspectrumcharacterizesthecontributionofeachfrequencytotheoverallsignal.IfthepowerspectrumofaCPSworkloadfollowsaflathorizontallineonalogarithmicscale,thenitmeansthatitsassociatedstochasticprocessdoesnotdisplayanycorrelationsbecauseeachfrequencyplaysanequallyimportantrole.Thelackofcorrelationwouldbesimilartohavingawhite-noisetypeofbehaviorthatappearsasaflatlinewhenrepresentedonalog-logscale.从数学的角度出发，功率谱描绘出每个频率对整体信号贡献。如果CPS负载的功率谱遵循对数刻度尺的平缓水平线走向，那么就意味着与它有关的随机过程没有表现出任何相关性，因为其中的每一个频率都扮演了相同重要的角色。相关性的缺失与一种白噪声类型的特性相似，这种特性在重对数图尺上描绘图形时表现为平缓的线条。Incontrast,ifthepowerspectrumdivergesforhighfrequencies,thentheCPSworkloadissaidtodisplaylong-termmemoryeffects.Inthiscase,theCPSworkloadexhibitsa1/fβtypeofscaling,wherefandβarethefrequencyandpowerlawcoefficientrespectively.Infact,theexistenceof1/fβscalingisalsoreferredtoasthelackofanycharacteristicscalebecausetheworkloadappearstobehavesimilarlyacrossallfrequencyscales.Forexample,Figure3ashowsthepowerspectrumofthecommunicationthroughputinaheterogeneousnetworkwithafrequencyexponentofapproximately1.8;thistypeofbehaviorconfirmstheexistenceofself-similarityintheseworkloads.与此相反，如果功率谱向高频率偏离，CPS负载可以说是显示了长期记忆效应。这种情况下，CPS负载显示出一种1/fβ类型的扩展，这里的f和β各自代表了频率和幂律系数。事实上，1/fβ类型扩展的存在被认为是毫无特征尺度的表现，因为这时的工作负载似乎在所有的频率范围内都有相似的表现。例如，图3a中显示异构网络中通信吞吐量的功率谱的频率指数近似于1.8；这种类型的表现证实了这些工作负载中自相似特性的存在。Fromastatisticalphysicsperspective,theexistenceof1/fβtypeoffluctuationsindicatesthattheCPSworkloadsareactuallyamixoflongpacketscontainingdataandcontrolinformationandshortpacketsconsistingofcontrolflags.ThisissimilartomanyothercriticalphenomenainnatureandimpliesthatCPSworkloadscannotbedescribedaccuratelyusingaveragevaluesbasedoncharacteristicspace-timescales.从统计物理学的角度看，1/fβ类型波动的存在表明了CPS负载实际上是由包含着数据和控制信息的长包与由控制标志位组成的短包混合而成的。这与一些自然界的临界现象类似，暗示了CPS负载不能用基于典型时空尺度的平均值准确描述。CPSworkloadscanalsoexhibitnonstationarybehavior.Indeed,CPSworkloadsmoreoftenexhibitaheterogeneoussetofscalingexponents,ratherthanahomogeneousormonofractalset.SuchanonstationaryphysicalprocesscanbeunderstoodbyrecallingthetimedependencyofthefluctuationsintheR-Rintervals(seeFigure1).TheexistenceofvariousheterogeneousscalingexponentsindicatesthatsomeCPSworkloadsmayexhibitmultifractalproperties.CPS负载当然也能显示出非稳定特性。事实上，CPS负载的标度指数更多地表现为异构的集合，而不是均匀的或具有单分形特征的集合。我们可以通过回想R间期（见图1）内波形的起伏所表现出的时间依赖性来理解这样一个非稳定性的物理过程。各种异构的标度指数的存在表明了一些CPS负载或许具有多重分形特征。Simplyspeaking,themultifractalapproachextendstheconceptofself-similaritytoadistribution(insteadofasinglevalue)ofspace-timescalingexponents.Suchamultifractalperspectiveisequivalenttostatingthatthemultifractalspectrumencompassesthemostsignificantshort-rangeinteractionsamongCPScomponents,whichdeterminetheoverallmacroscopicbehaviorandscalingphenomenaandwhicharereflectedintheCPSworkloadviacertainweightsandscalingexponents.Forinstance,Figure3bshowsthemultifractalspectrumoffourcommunicationtracescollectedfromalocalareanetwork(LAN)establishedbetweenseveralvehiclescommunicatingviawirelesslinks.(Fordetailedinformationaboutthemeasurementinstrumentation,refertoMahajanetal.)Wecanseethatalthoughtrace1exhibitsamonofractalbehavior(i.e.,anarrowspike),theremainingthreetracesexhibitamultifractalbehavior(awidebell-likeshape).简单地说，多重分形的方法将自相似性的概念延伸至关于时空标度指数的广义函数，替代了一个单一值。这种多重分形的观点相当于说明了多重分形谱在所有CPS组件中具有最重要的短程交互作用，这种影响决定了整个宏观行为和标度现象，并且体现在通过一定的重量和标度指数的CPS负载上。例如，图3b显示的四种通信轨迹的多重分形谱，是从建立在几个通过无线电线路通讯的媒介之间的局域网收集得到的。（更多关于仪表测量的详细的信息参考Mahajan等等）我们可以看到虽然轨迹1显示出单分形特性（也就是一道狭窄的突起），但是剩下的三道轨迹都显示了多重分形特性（一个扁的钟形图样）。Figure4.Cyberphysicalsystems’operationfromphysicalprocessestoworkloads(a).In(a),theprocessesmightinvolvevolcanicactivitymonitoring,precipitationformation,ortrafficconditions,forexample,eachofwhichthenundergoesdatameasurementscompressionandcommunicationtodatacentersforfurtheranalysis.Thefeedbackcontrolthatenforcesmaintainingthequality-of-service(QoS)referenceviastatisticalphysicsapproaches(b).In(b),distributedcontrollerscandynamicallyestimatetheworkloadand,basedonspecificQoSmetrics(e.g.,latency),decideonprioritizingdatatransmissionorallocatingmoreefficientlythecommunicationbandwidth.StatisticalphysicsapproachestoCPSworkloadmodeling运用统计物理学方法进行CPS负载建模Anaturalquestiontoaskis,Howcanspace-timeself-similaritythatpropagatesthroughanetworkedinfrastructurebecapturedintoamathematicaldescriptionofworkloads(orcommunicationflows)?Fordecades,thescienceofsystemsdesigntacitlyassumedthatworkloadscanbemodeledbylineartime-invariantequations.However,duetothemultifractalbehaviorofCPSworkloads,wearguethatthissituationhastochange.Moreover,themajordevelopmentsinstatisticalphysics(e.g.,masterequation,pathintegrals,orrenormalizationgrouptheory)developedspecificallyforprocessescharacterizedbystrongfluctuations,pseudo-periodicity,andlong-rangememory,forinstance,shouldbecomeessentialtoolsforfutureCPSdesign.Weargue,also,thatitisnotonlynecessarytoestimatethecorrelationstructureobservedinCPStraffictraces,butalsotoincorporatesuchcharacteristicsintosystem-dynamicalstateequations.这里就有一个很自然的问题要问了，网络化基础结构传播的时空自相似性要如何归类成对工作负荷或通讯流量的数学描述？很长时间以来，设计系统的科学家们都心照不宣的假定可以通过线性定常微分方程来对工作负载建模。然而，由于CPS负载的多重分形特性，我们认为这种想法需要改变了。而且，统计物理学的主要成就（例如主方程、路径积分或者重整化群）将会成为未来CPS设计的基本工具，而这些理论是为了特定的以例如大幅波动、伪周期性和远程记忆为特征物理过程开发的。我们也认为不仅需要判断从CPS通信量痕迹中观测得出的序列结构，还需要在动态系统状态方程中加入那些特性。TodiscussthemathematicalunderpinningsofCPSworkloadmodeling,wefirstdefinesomeparameters.AsFigure4ashows,varioustypesofsensorsmonitordiversephysicalprocesses—forexample,volcanicactivity,heartrate,orCCNconcentration—andcommunicatetheirmeasurementstospecializeddatacentersforfurtheranalysis.Forinstance,abio-implantableSoCcanmonitortheheartratebyconstructingatimeseriesbasedonitselectricalactivityasFigure1shows.Thecollecteddatacanbedigitizedforlocalactuation(suchasinthecaseofpacemakers),but,ifrequired,itcanalsobepacketizedandcommunicatedforfurtheranalysistovariousdatadecisioncentersgeneratingtheCPSworkload(seeFigure4a).Similarly,airplanesinflightcansensethemovementofcloudsorcollectpollutionmeasures(e.g.,CO2orCCNconcentration)andcommunicateittodatacentersforweatherpredictionandclimatechangeanalysis.要讨论CPS负载建模的数学基础，我们首先要规定一些参数。就像图4中显示的，各种类型的传感器检测不同的物理过程，例如火山活动、心率、或者云凝结核浓度，然后将他们的测量数据传送到指定的信息交换中心进行进一步的分析。例如，可植入式生命检测器可以想图1中显示的通过创建一组基于其电活动的时间序列来监控心率。收集到的数据可直接由本地驱动器数字化（例如使用起搏器），但如果有其他要求，它们也可以被分装打包传送给生成CPS负载的各种数据决策中心进行进一步分析（见图4a）。相似的，航行中的飞机可以检测云层运动或者收集污染数据（例如二氧化碳或云凝结核的浓度），然后传送给数据处理中心进行气象预测和气候变化分析。TheCPSworkloadstypicallyconsistofmanytypesofdata(e.g.,volcanicactivityortrafficconditions)transmittedoverthesamenetwork.Letusdenotebya(t)thestochasticprocesscharacterizingtheCPSworkloads(e.g.,communicationvolumeorpacketdelays).Becauseoftheinherentfractalnatureofmanyphysicalprocesses,theCPSworkloadcanalsoexhibitacomplexself-similarbehavior.Tocapturethiscomplexbehavior,wedefinebyg(y,t)adistributionfunctionofthescalingexponentsythatcharacterizestheCPSworkloada(t).CPS的工作负载由在同一网络上传输的数据构成（例如火山活动或交通状况数据）。让我们用a(t)来表示一个具有CPS负载（例如通信业务量或封包延迟）特征的随机过程。由于物理过程固有的多充分形性质，CPS负载也可能表现有复杂的自相似行为。为了掌握这种复杂的行为，我们定义一个分布函数g(y,t),其中y代表标度指数，来描述工作负载a(t)的特征。Onthebasisofthesedefinitions,wecandefineamasterequationgoverningtheevolutionofthestochasticprocessa(t)asfollows:基于这些定义，我们可以将一个随机过程的发展用下列主方程表示：Inthisequation,P(a,t)denotestheprobabilityoffindingthesystemattimetinaparticularstatea.Forinstance,theatmosphericmeasurementsdoneduringcommercialflightscanbeaggregatedwithroadtrafficinformationfromcarsintovariousheterogeneousworkloadsandtransmittedviasatelliteorintermediatenodestodatacenters.Inthiscase,thestochasticprocessa(t)representstheamountofinformationcommunicatedataparticulartime.在这个方程中，P(a,t)表示在特定状态a下，t时间内查找系统的概率。举个例子，通过民航飞机进行的大气测量可以与无论是汽车的还是异构工作负载的运输信息合计在一起，并通过卫星或中间节点传送给数据中心。这种情况下，随机过程a(t)代表了在特定时间下通讯信息的总量。Tocapturethefractalfeaturesofthestochasticprocessa(t),thefirstterminEquation1representsthetime-baseddynamicsoftheCPSworkloadasapowerlawfunctionratherthananexponentialone.ThesecondtermismeanttodescribehowthepowerlawexponentevolvesasafunctionoftheintrinsicinteractionsamongtheCPScomponents.Moreprecisely,itrelatestheprobabilityofthestochasticprocesstoattainvalueaattimetasaweightedsum(i.e.,viatheg(y,t)distribution)ofthepreviousrealizations(i.e.,thescalingterma/y).Thereasonbehindintroducingtheg(y,t)distributionisthat,inmanypracticalsituations,thefractalityofthestochasticprocessa(t),ifitexists,willbeaffectedbyaseriesoffactors(e.g.,videopacketsofvariablelengthbecauseofvariationsintheinputstream).为了获得随机过程a(t)的多重分形特性，方程的第一项代表了CPS负载的基于时间的动力学特征，这时候CPS负载更像是幂函数而不是指数函数。第二项描述了幂指数是如何成为表示CPS组件之间相互作用的函数的。更准确地说，它叙述了随机过程在时间t内获得前一项实现（即标度项a/y）的加权和（即经由广义函数g(y,t)）的值a的概率。支持使用广义函数g(y,t)的原因是，在很多实际情况下，随机过程a(t)的多重分形性，如果它存在的话，会被一系列因素影响，例如，视频包的长度可变是因为输入流的变动性。Tobetterunderstandtheadvantagessuchaformalismbringsfromamodelingperspective,wecanmultiplywithakbothtermsinEquation1andintegrateoverthespaceofallmagnitudesofa,andobtain,undervariousconstraintsonthescalingdistributiong(y,t),adynamicequationforthehigher-ordermomentsMk(t)ofa(t):为了更好地从建模的角度理解这种方法带来的好处，我们可以在方程1的每一项上都乘以ak并做积分，然后在标度广义函数g(y,t)的约束下获得一个a的高阶矩动态方程Mk(t)：Thenonlinearrelationshipoftheexponentt(k)：指数t(k)的非线性关系是：intheexpressionofthehigher-ordermomentsMk(t)inEquation(2)representsamultifractalsignature(i.e.,abell-likedistributionoffractaldimensionsasshowninFigure3b).Simplyspeaking,itimpliesthatthedistributionofa(t)consistsofasuperpositionofsomepowerlawfunctions.Fromapracticalstandpoint,thisbehaviorrequiresnewcontrolstrategiesbasedonnonlinearstateequations.在方程2中的高阶矩方程Mk(t)代表了一个多重分形信号（即一个钟形的如图3b中所示的分形维数的广义函数）。简单来说，它表示了关于a(t)的广义函数是由一些幂函数的叠加组成的。从实践的角度，这个特性要求新的控制策略要符合非线性状态方程。AdifferentmodelingapproachtoEquation1istocapturethefractalcharacteristicsofCPSworkloadsviafractionalderivatives.Generallyspeaking,thefractionalderivative5,10ofaprobabilitydistributionP(a,t)consistsofaconvolutionbetweenthedistributionP(a,t)ofacertainmetric(e.g.,communicationvolume)andamemorykernel(e.g.,powerlawsforcapturingmemoryeffects)characterizingtheCPSworkload.方程1的另一种建模方法是通过分数阶微分获得CPS负载的多重分形特征。一般来说，P(a,t)的概率分布的分数阶微分是由介于具有某一度量标准的广义函数P(a,t)和具有CPS负载特性的内存内核之间卷积组成。Fromapracticalstandpoint,wecancapturethemonofractalbehaviorexhibitedinFigure3abyusingasinglespace/timefractionalderivativewhichreliesonamemorykernelwithasinglepowerlawexponent.Bywayofcontrast,adynamicalequationforP(a,t)capturingitsmultifractalbehavior(seeFigure3b)requiresaweightedsumoffractal(fractional)derivatives.从实践的角度，我们可以使用单一的空间或时间的依赖于单个幂指数记忆核的分数阶导数来掌握图3a中显示的单分形特性。通过对照，P(a,t)的动态方程需要加权过的分数阶导数之和来获得它的多重分形特性（见图3b）。Figure5.Fromreal-worlddatatomodels:Byanalyzingthehigher-ordermomentsofprocessa(t),bothintimeandfrequency,wecandecidewhetheralinearornonlinearmodelismoreappropriate.Moreover,ifthedistributionofintereventtimesisexponential,thenclassicallinearsystemstheoryisapplicable(a).Instead,iftheintereventtimesfollowapowerlaw,thenafractionaldifferentialequationmaybeused(b).Fornonzerohigher-ordermomentsandmultifractalbehavior,Equation1mayproveanadequatemodel(c).Tobetteremphasizethedistinctionbetweenpreviousapproachesandastatisticalphysics-inspiredapproachtoCPSworkloadcharacterization,wepresentinFigure5asimplemethodologyfordeterminingwhichmodelissuitable,giventhestatisticalnatureofnetworktraffic.Tosimplifytheanalysis,thebasicquestiontoaskiswhetherthegenericstochasticprocessa(t)inFigure5canbemodeledaccuratelyviaatime-linearrelationship.为了更加强调对于CPS负载的特征描述的两种方法，以前的方法和现在的统计物理激发方法，之间的不同，我们在图5中展示了一种决定哪种建模更加合适的方法论，图中给出了网络通信量的统计属性。为了简化分析，需要讨论的基本问题是图5中的一般随机过程是否能够通过一个线性的关系来准确的建模。Traditionaltoolsfordetectingthelinearityofanyprocessa(t)arebasedoninvestigatingthehigher-orderstatisticsofthestochasticprocessa(t)bothintime(e.g.,third-ordermoment)andfrequency(e.g.,bispectrumorbicoherence)domains.Forinstance,wecanconsidertheinvestigationofbicoherenceb(f1,f2)：探测任何过程的线性的传统工具都是基于对随机过程的高阶统计量的研究，无论是时域（例如三阶矩阵）还是频域（例如双频谱或双相干谱）。举个例子，我们可以认为对双相干谱的研究b(f1,f2)：whichisproportionalwiththebispectrumB(f1,f2)：其中的比例项双频谱B(f1,f2)的表达式是:Thatis,thebicoherenceb(f1,f2)isproportionalwiththetwo-pointFouriertransformofthethird-ordermomentandinverselyproportionalwiththepowerspectrumS(f1).AsFigure5shows,computingbicoherence(Equation4)needs换言之，双相干谱等于比例项三阶矩阵的二维傅里叶变换乘以比例项功率谱S(f1)的倒数。就像图5中显示的，计算双相干谱（方程4）需要知道：（1）thethird-ordermomentM3(t1,t2)(i.e.,thejointcorrelationofthreeshiftedversionsoftheCPSworkloada(t),a(t+t1),anda(t+t2)fortwotimelags,sayt1=40andt2=90),（2）the2DFourierofM3(t1,t2)obtainingthebispectrumB(f1,f2)(Equation5),and（3）normalizingthebispectrumB(f1,f2)withrespecttothepowerspectrum—thatis,(1)三阶矩阵M3(t1,t2)（即，CPS负载a(t),a(t+t1),a(t+t2)的三个转变版本的联合相关，其中t1,t2代表时间间隔，可以假设为t1=40andt2=90。(2)M3(t1,t2)的二维傅里叶值包括双频谱B(f1,f2)（方程5），和(3)使关于功率谱的双频谱正规化，功率谱的表达式是，Ifthebicoherenceremainsconstantforanytwofrequenciesf1andf2,thenalinear