弹性力学接触问题课件

两弹性体之间的接触压力问题两球体的接触问题圆球与平面（或凹球面）的接触例题接触问题两弹性体之间的接触压力问题两球体的接触问题接触问1

根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。设两个球体半径分别为R1和R2,如图。一.两球体的接触问题设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点O，那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点，与O点的切平面之间的距离z1和z2.根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，2则由几何关系有：(R1－z1)2+r2=R12(R2－z2)2+r2=R22得（a）当M1,M2离O点很近时，则z1＜＜R1,z2＜＜R2，上面两式可化为：则由几何关系有：（a）当M1,M2离O点很近时，则z1＜＜R3而M1、M2两点之间的距离为：当两球体沿接触点的公共法线用力F相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。而M1、M2两点之间的距离为：当两球体沿接触点的公共4现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）；α－(w1+w2)=z1+z2

设α为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动则M1与M2、之间接近的距离也为α；于是M1点和M2点之间的距离减少为α－(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有：现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点5将式（a）代入，得w1+w2=α－βr2(b)其中，（c）根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为：将式（a）代入，得w1+w2=α－βr26其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：（d）其中并由（d）式及(c)式得（e）其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个7到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。

根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆的高度h来代表。到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分8接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出，令q0表示接触圆中心O的压力，则根据上述假定，应有

q0=ka由此得：

k=

q0/ak这个常数因子表示压力分布的比例尺。A为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即ψ接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k9由于代入后再代入式（e）积分后得：，dψψθ有由于代入后再代入式（e）积分后得：，dψψθ有10要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系数分别相等，于是有这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即(g)要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系11由此的最大压力（h）它等于平均压力F/πa2的一倍半。将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及α即得：由此并可求得最大接触压力为；由此的最大压力（h）它等于平均压力F/πa2的一倍半。将式（12在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3时，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式：在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3时，由上列各13在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。最大压应力发生在接触面中心，值为q0；最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47a

处，其值为0.31q0；

最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0.133q0。在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直14二.圆球与平面（或凹球面）的接触利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式：当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2→∞则得：F二.圆球与平面（或凹球面）的接触利用上面关于15在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3时，F在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3时，F16

当圆球与凹球面接触时，将以－R1代替两圆球接触时公式中的R1，则可得：F当圆球与凹球面接触时，将以－R1代替两圆球17在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3时，F在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3时，F18三例题直径为10mm的钢球与a)直径为100mm的钢球；b)钢平面；c)半径为50mm的凹球面相接触，其间的压紧力P=10N，试球接触圆的半径a,两球中心相对位移α和最大接触应力q0.(E=2.1×105N/mm2,ν=0.3）。三例题直径为10mm的钢球与两球中心相对19解:a)直径为10mm的钢球与直径为100mm的钢球；=0.067mm=9.8×10-4

mm=1080N/mmF解:a)直径为10mm的钢球与直径为100mm的钢球；=020=0.069mm=9.5×10-4

mm=1010N/mm(b)直径为10mm的钢球与钢平面；F=0.069mm=9.5×10-4mm=1010N21=9.8×10-4

mm=940N/mm=0.071mm(c)直径为10mm的钢球与半径为50mm的凹球面相接触；F=9.8×10-4mm=940N/mm=0.07122两弹性体之间的接触压力问题两球体的接触问题圆球与平面（或凹球面）的接触例题接触问题两弹性体之间的接触压力问题两球体的接触问题接触问23

根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。设两个球体半径分别为R1和R2,如图。一.两球体的接触问题设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点O，那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点，与O点的切平面之间的距离z1和z2.根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，24则由几何关系有：(R1－z1)2+r2=R12(R2－z2)2+r2=R22得（a）当M1,M2离O点很近时，则z1＜＜R1,z2＜＜R2，上面两式可化为：则由几何关系有：（a）当M1,M2离O点很近时，则z1＜＜R25而M1、M2两点之间的距离为：当两球体沿接触点的公共法线用力F相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。而M1、M2两点之间的距离为：当两球体沿接触点的公共26现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）；α－(w1+w2)=z1+z2

设α为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动则M1与M2、之间接近的距离也为α；于是M1点和M2点之间的距离减少为α－(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有：现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点27将式（a）代入，得w1+w2=α－βr2(b)其中，（c）根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为：将式（a）代入，得w1+w2=α－βr228其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：（d）其中并由（d）式及(c)式得（e）其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个29到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。

根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆的高度h来代表。到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分30接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出，令q0表示接触圆中心O的压力，则根据上述假定，应有

q0=ka由此得：

k=

q0/ak这个常数因子表示压力分布的比例尺。A为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即ψ接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k31由于代入后再代入式（e）积分后得：，dψψθ有由于代入后再代入式（e）积分后得：，dψψθ有32要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系数分别相等，于是有这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即(g)要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系33由此的最大压力（h）它等于平均压力F/πa2的一倍半。将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及α即得：由此并可求得最大接触压力为；由此的最大压力（h）它等于平均压力F/πa2的一倍半。将式（34在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3时，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式：在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3时，由上列各35在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。最大压应力发生在接触面中心，值为q0；最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47a

处，其值为0.31q0；

最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0.133q0。在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直36二.圆球与平面（或凹球面）的接触利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式：当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2→∞则得：F二.圆球与平面（或凹球面）的接触利用上面关于37在E1=E2=E及ν1=ν

2=0.3时，F在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3时，F38

当圆球与凹球面接触时，将以－R1代替两圆球接触时公式中的R1，则可得：F当