Cucker-Smale 动力学模型的渐进群聚现象

Cucker-Smale动力学模型的渐进群聚现象摘要：本文将主要介绍Carrillo等人关于Cucker和Smale对群聚现象连续动力学模型的研究工作[7,30]，该模型常用于描述有机体、动物及人造设备等多体系统的群聚现象．我们将首先从一个Biltzmann型方程出发，得到类似于参考文献[5]中的动力学方程，然后运用质点逼近的方法以及一个与距离有关的稳定性，对相空间中分布的长时间形态进行考察，得到类似于文献[7]中的结果．确切地说，动力学方程的所有解将指数收敛，而它们的速度将收敛到一个平均值，从而整个状态就会最终收敛到一个平行移动的群聚解．Abstract：Inthispaper,weintroducedtheworkofCarrilloabouttheasymptoticbehaviorofsolutionsofthecontinuouskineticversionofflockingbyCuckerandSmale[7,30],whichdescribesthecollectivebehaviorofanensembleoforganisms,animalsordevices.Thiskineticversionintroducedin[5]ishereobtainedstartingfromaBoltzmann-typeequation.Thelarge-timebehaviorofthedistributioninphasespaceissubsequentlystudiedbymeansofparticleapproximationsandastabilitypropertyindistancesbetweenmeasures.Acontinuousanalogueofthetheoremsof[7]isshowntoholdforthesolutionsonthekineticmodel.Moreprecisely,thesolutionswillconcentrateexpo-nentiallyfasttheirvelocitytotheirmeanwhileinspacetheywillconvergetowardsatranslationalflockingsolution.关键词：群聚现象；非线性方程；运输模型；第一节引言近年来，关于群聚现象及多主体互动的自闭状态研究已在生物学、生态学、电子智能、控制理论乃至社会学、经济学等诸多领域收到越来越多的关注．在自然界中，鱼群、鸟群及细菌群落自发性的聚集现象是人口学，生物学以及生态学的重要研究课题[1,4,7,14,15,18,20,23,24]．同样，多个移动主体(机器人，传感器)的协调合作也已在传感器网络中起着关键的作用，从而在环境控制中有着广泛的应用[22,13,28]．经济行为的聚合，如现代社会中的财富分布[12,9]，或决策和观点的形成[10,32]，也是近年来研究的重要课题，这些领域也回出现一个不断聚合的平衡点．特别地，最近Cucker和Smale[7]关于聚集现象的数学研究工作引起了数学界引起了不小的关注度．类似物理学，在现实世界里，一个理想模型如果能真正把握到一些本质的属性，就能对观察对象做一个有效的描述．在生物和物理学中，对聚集现象进行模拟的主要目的主要是为了能够解释和预测不同的群聚现象或是多体系统的分散行为．目前，相关研究主要集中于建模和模拟上[23,24,35]，对群聚现象的渐进收敛速率的定量研究则非常少[7,22]．但是，数学研究已逐渐在交叉学科领域取得重要进展，例如,连续极限方面近来已取得很多研究成果[23,24]，人们可以运用适当的包含扩散项和作用项(质点间相互吸引/排斥势能)的偏微分方程来建模分析一些整体群聚现象(高密度多体系统)．在[19]中，作者通过一些经典的相互作用势能对离散模型进行了分类，然后通过相应的热力学方程[14]和动力学方程[8]对其进行研究．迄今对社会、经济方面群聚现象的研究工作中，数学方面的效果表现得更为突出．这一领域的主流思想认为，一个由足够大数量个体构成的一个群体的群聚行为，事实上是可以用物理系统中用于研究多质点相互作用的统计力学来描述．到目前为止，人们已经根据统计物理发展出很多方法来建立和分析相关模型．特别地，已有大量的工作，借鉴用于研究稀薄气体的动力学理论发展出有效的方法来构建出了相应的Boltzmann型动力方程以描述常见的群聚现象，见参考文献[25]等等．本文的第一个目的就是想通过动力学方程的分析方法来描述Cucker和Smale关于聚集现象的工作[7]．将描述个体之间相互作用的碰撞力学原理运用到[7]中关于鸟群个体速度变化上，我们得出一个空间耗散的Boltzmann型方程，其可以通过密度函数来描述相应的群聚现象．这个方程也是人想起Povzner[29]对Boltzmann方程的一个变形．然后，在一个所谓的擦边碰撞的极限渐近过程中，我们可以得到一个约化方程，其不仅保留了所得Boltzmann型方程的所有性质，还便于进行更详细的研究．这个方程最近已在Ha和Tadmor的工作中也得到了[5]，在Ha和Liu的工作中还有更进一步的分析[26]．在Cucker和Smale建立的粒子模型中，粒子之间的相互作用是以一个距离为自变量的单调递减函数来刻画的;总结有限个粒子模型的结果，只要在远距离上有足够强的相互作用力，它们就会以指数速度聚合,速度也将趋于它们运动速度的平均值，而且这个结果与初始状态无关．这种情形称为无条件群聚．在[5]中的工作表明，能量的振动是动力学方程古典解的一个李雅普诺夫函数，它关于时间是次指数衰减于零的，但是，为了达到无条件群聚目的，它需要比有限粒子模型的长距离相互作用更多的限制条件．本文的第二个目的就是要发展后面这些结果，并一个与有限粒子模型同等收敛估计的新无条件群聚定理．而且该结果对古典解和可测解都成立．我们进行方式是，首先用原子测度的观点来重新建立有限质点模型，并在这种测量框架下证明无条件聚集模型．特别地，我们将在命题5中证明聚集到平均速度的原子测度的存在性，而且这个动力学方程的原子测度解是在一个与有界Lipschitz函数有关的对偶距离下，关于时间指数收敛到该平均速度的．特别地，空间中可测解的解集在过程中一直保持有界．我们对群体的估计都是依据时间，而非群体的个数，因此，在定理6中我们可以通过简单的初值数据对任意可测解进行近似讨论，以推广该支集的形式．我们将质点的解和[26]中说明的稳定性综合起来（[26]定理3D中给出了这个稳定性），可以通过动能以指数收敛于零得出Ha和Tadomr的结论的简化结果．Carrillo等人完成了这部分研究，并将Cucker和Smale的部分质点模型进行推广，并在定理9中给出了无条件聚集的理论[30]，其中陈述了，任意有紧支集初值的可测解的集合，只与平均速度有关．这篇综述的概要如下：第二节中重述了Cucker和Smale的有限粒子模型和他们关于无条件聚集的理论．构造了一个动力方程使模型中复杂的碰撞规则进行合并．通过追尾碰撞限制，得出一个发散的非线性摩擦方程.第三节中致力于阐述[5,26]中的结论，其中后者的方程独立地反映了自然界状态限制下的有限粒子模型．第四节中介绍了Carrillo等人的主要结论，它推广了[5,26]中的主要结论并完整地概括了有限粒子模型．第五节中对以上模型进行了总结，并提出了可能的继续研究的方向．第二节群聚现象的Boltzmann方程2.1Cucke-Smale模型在[7]中，Cucker和Smale研究了空间中鸟群的群聚现象，目的是证明在特定的鸟群的交流频率下，群集现象中所有鸟都能保持以相同的速度飞行的状态．主要假设证明群体中每只鸟随群体中其他鸟来调整自身速度，以达到一个有利的平均相对速度．在只鸟中，当，且时，对第只鸟有：（2.1）其中权值量化了鸟群的互相影响方式，与个体总数和衡量相互作用力的值无关．在[7]中，假设两只鸟的交流频率是一个函数,对于部分记为：（2.2）对于，给出：（2.3）和，（2.4）在对和及初值进行适当的限制的情况下，当时收敛于0且对于所有，向量趋于一个极限向量，则可以得到一个常数使得对任意成立．特别地，当时，对初值及没有限制[17.定理1][7]．在这一情况下，称为无条件群聚．鸟群的行为有唯一解，所有鸟都成指数收敛，趋于同速飞行，同时，它们之间的距离趋于恒定，这一结论最近在多个研究中被证明[5,20,26]．其中研究了其他权值和交流速率的情况，在特定的情况下能使收敛速度加快．（2.1）中的情况可以用另一种形式来表示，设一个群体只有两只鸟，记为和．设它们按下面的规则来修正自己的速度：(2.5a)(2.5b)由互动后动量不变，动能的增减由控制，（2.6）对于，动能有耗散，这种情况下，平均速度会降低，因为：（2.7）两只鸟的速度趋于平均值，在的情况下，（2.5）近似于一个耗散气体分子空间的相互作用．（见参考文献[11]）在有只鸟的情况下，考虑（2.5）中的规律，并假设第只鸟修正其速度给其他鸟的速度相同的权值，得出结论：（2.8）这是对（2.1）的另一种写法．2.2Cucker-Smale群聚模型的Boltzmann方程不同于对有限个体的控制，大群体的互动可能受到一个大的ODEs系统的控制，这给研究造成一定的困难．参考气体动力学理论中的方法，我们可能要考虑群体的密度分布和随机的空间位置、速度和时间变化（参考气体动力学理论中的经典碰撞规则）．在这一情况下，这种影响在空间中是混乱的，因为两只鸟即使距离很远也存在相互作用．因此，选择用密度分布来描述整体的群聚行为，而不模拟每一个个体的行为，这样可以得到一个一阶偏微分方程．用给出鸟的密度，在位置，速度及时间，时，动力学模型中的变化可以用动力学理论的标准模式来控制．考虑到随时间的变化量依赖鸟之间的互动（不进行互动鸟的速度不变）．这一变化在密度上依赖鸟在二元相互作用下速度的增减（不考虑其他影响因素）．假设，两只鸟的位置和速度，它们在相互影响后按下式修正它们的速度：(2.9a)(2.9b)关于交流速率的函数为：(2.10)其中．注意，与一般的动力学碰撞理论一样，在二元相互作用下，速度的改变与时间无关，因此得到下面的Boltzmann方程：(2.11)其中:（2.12）在（2.12）中，是在鸟的互动后的得到的碰撞速度．是由转换成的Jacobian矩阵．由于假设，故是恒正的．双线性算子在（2.12）中类似于Macwell方程，其中碰撞频率为常数．在不同的动力学方程中，密度的变化是由用定义的碰撞和交流速率决定的．Boltzmann碰撞算子的推论中的一个假设是，只有空间中两个粒子在同一点发生的单独碰撞（对碰）是有意义的．Povzner给出了一个考虑了对碰的混乱性的Boltzmann碰撞算子[29]，这个Povzner碰撞算子如下：(2.13)在（2.13）中，是一个碰撞中心,其中的碰撞速度如下给出：(2.14a)(2.14b)其中A是一个的矩阵，I是单位阵.这一关系式中动力不变。与(2.9)不同，在Povzner方程中，矩阵A在碰撞中动力也不变。可清晰地看出，（2.11）可看作一个耗散的Povzner互动方程，其中矩阵．值得注意的是，当Povzner方程最初以纯数学的原因产生时，往往被其他学科所忽略，然而其相关的动力学方程在生物学和生态学中有很好的应用．（2.9）中给出了相互作用原理的一个最重要的结果是，速度的支集是不增的．事实上，由于和，（2.12）中Jacobian矩阵的出现事实上是可以通过一个较弱的形式避免掉，通过（2.11）方程相应于初始密度的一个初值问题的弱解，我们可以将任何满足这个（2.11）和（2.12）弱形式的密度表示为：（2.15）对于和有紧支集的平滑函数，有（2.16）（2.15）中的形式更容易掌握，且这是目前对于宏观物质变换研究的起点．2.3关于Flocking的动力学方程当群体密度随时间的变化在（2.11）的Boltzmann方程中详细描述后，对群聚现象的精确描述主要是依据解的长时间形态分布．另一方面，长时间形态分布主要依赖（2.9）给出的碰撞方式，而与决定互动本身强度的参数无关．在这种情况下，用简化的模型也可以给出精确的描述，且这种模型在长时间下也是精确有效．这种想法最初被McNamara和Young应用在耗散动力学理论中[36]，在一个合适的渐进过程中化成Boltzmann方程，是一个简化的表示气体密度变化的非线性模型[2,33]．类似的渐进过程随后应用在研究财富聚集和观点形成的Fokker-Planck方程中[6,34]．假设表示速度改变程度的参数在二元相互作用中是一个小量（）．那么为使碰撞整体速度不衰减到零，碰撞频率必然增加．一个更有趣的情况来自对的选择，是一个确定的正常数，通过对进行泰勒展开，碰撞的弱形式写作：（2.17）其中，．如果碰撞只是接近擦过，（）我们可以从第一级后切断（2.17），事实上，Boltzmann方程解的二阶距是非增的．且，（2.18）因此，在余项中有了一个统一的时间上限．接下来，在一个小的和高的碰撞频率下，得到．Boltzmann碰撞算子是由耗散算子在强的发散形式下近似得到的，（2.19）其中，，*是的卷积．注意，McNamara和Young在[36]中提出，算子保持了与满的Boltzmann碰撞算子相同的耗散性质．关于非线性方程的一个研究这一部分是用来研究长时间形态下，前面得到的Boltzmann方程的近似解．为了方便研究，在下文中．该方程近似于一个密度的非线性函数方程，（3.1）其中，（3.2）在[5]中，Ha和Tadmor给出并分析了类似的方程，其中依据了Cucker和Smale在（2.1）中给出的有限维模型和平均场限制．他们的主要结论给出了以下方程[5,定理4.3]：（3.3）其中是一个（3.1）古典解的李雅普诺夫函数，它次指数衰减于0．由于即，，其中常数是正的，并由决定．在初值时，在上是紧支的．在[5,注1，P482]中，Ha和Tadmor指出，目前得到的这一结果只是次优的，因此，他们在[7,17]中继续分析时，没有使用这一结果．这个结果对密度的空间支集没有给出一个统一的限制，因此与有限维模型中的不同，这个次优的估计中．另外，在（3.3）中定义的表示速度的函数，明确给出了这一结果与空间无关．另一方面，在[26]中，作者给出了一个(3.1)柯西问题可测解的适定性结果，这一结果说明了三个重要结论：首先，质点可以看作是（3.1）的可测解；其次，这一质点模型收敛到（3.1）的一个可测解；最后，所构造的解在后面特定的意义下是唯一的．然而，[26]中的结论对渐进行为的考虑和定性地可测解构造是次优的，他们对位置和速度的解的支集的增量给出了估计，这些时间增量的限制在离散模型中并不影响群聚现象的发生，意味着速度能够收敛到平均值且位置的限制是可变的．另外，他们改变了传统离散的Cucker-Smale模型中指数时的结果，并证明了此时的无条件群聚[26,命题4.3]．此处，我们将给出一个更好的的支集的变化的估计，将[5,注1，P482]指出的缺口联系起来，事实上，我们会给出，当位置的支集被限制在由平均速度这一常数控制的线性增长的群体中心附近时，速度向平均速度收敛的支集成指数变化．这一结论对后续研究很重要，并且，它对可测解也是有效的．基于对支集变化的改进，得到两个主要结论：群聚现象可测解是收敛的，及在整个区间上，古典解的李雅普诺夫函数的指数收敛于0．我们首先重述一下（3.1）的解的概念，用给出当恒大于0时Radon测度的形式．定义１：在初值条件，时间在上时，称是（3.1）的一个弱可测解，如果它满足：，其中给出（3.4）对任意，有注2：如[26]中指出的，如果是(3.1)在分布意义下的一个弱解，那么是（3.1）的一个可测解．另一方面，如果(3.1)的一个可测解在Lebesgue测度下还是绝对连续的，那么它也是(3.1)在分布意义下的一个弱解．质点解：给出离散系统且，（3.5）然后下面给出的测量曲线是（3.1）的一个弱可测解，给出集合和如下赋值的Lipschitz函数：用测度来定义有界的Lipschitz距离：（3.6）这个距离在[27,31]的Vlasov方程中有经典的应用．总的来说，Ha和Liu论文的主要发现是下面关于（3.1）的可测解的定理．定理3：[26]中给出紧支集，存在一个可测的特解满足：系统中的总体和它的平均速度有当它的群体中心线性增加时关于支集的推论：对所有的时间，方程的解是紧支的，且存在时间的增函数和，是中心的初值，使得对一切C.由于上连续且在上Lipschitz连续，关于典型方程的流形：（3.7）是一个对每个固定的时间的良好定义的同胚，且是时间的一个函数．另外，在物质运输方法中，（3.1）的特解由给出，即对于所有，（3.8）D.给出方程（3.1）的另一个可测解，以下稳定估计对一切和成立，其中时，增函数．第四节速度支集的时间衰减指数首先从给出质点系统的结论开始，考虑一个遵循（3.5）动态的质点系统,由于方程具有平移不变性，不妨设平均速度为0，此时集群的中心在过程中保持不变，即对所有和有，令和保持不变，使得所有速度的初值都在中，所有速度在中．现在对于位置和速度及任意的，系统的解为．定义函数为：由于质点的数目是有限的，曲线随时间的变化是光滑的，故存在至多有限个时间增量，在任何时间区间上，可以找到由决定的参数，使得对一切，有．推出：(4.1)由于下标的选择，对于有在时得出是一个不增函数．因此对一切，．接下来看位置的方程，推出，对所有和，．进而得到，因此，对所有和，其中．再次回到方程（4.1）上，得到：通过直接结合或Gronwall引理得到：易得：对于，函数在处不可积，因此：且，给出了速度支集中一个单独点收敛到的平均速度．现在，再次估计位置变量，我们有（4.2）我们分两种情况来讨论.首先不难验证当时然后对于任何，存在使得当，．总结为：且因此，加到（4.2）中得：由于常数在充分小的时候是任意的，得到结论：积分限为，存在，使得对所有和，．另外，回到速度上，能够得出．所以由（4.1）得：从中最终得出趋于零[30]．现在，我们再次回到位置关于速度曲线的变化，由于指数衰减，速度曲线关于时间可积，推出每个质点的曲线长度是有限的，由于平均速度恒定，可以减去平行移动的部分．在的情况下，由（4.2）可以计算准确的积分：可直接得出，其中，只与相关．在这种情况下，像前面一样，进行另一个位置变量推导的循环，显然：因此可以回到与相同的情况，在时可以给出相同的结果．注4：[26]在其第三,四节中，用完全不同的方法也给出了整个区间上的无条件群聚的结论，作者对Cucker-Smale模型在时的无条件群聚给出了不一样的证明，并通过在欧式范数下对动力系统做耗散估计证明了的情形．非常关键的是，所得质点速度支集指数衰减至0的指数常数与质点个数和质量均无关．它们只取决于和的初始值，即粒子初值的最大速度和两两间最远距离．给出无条件群聚的证明的重点是估计值与质点个数无关，这与[26]中的情况不同，由于他们的证明是基于速度和位置的欧式范数，而不是有界范数．以上部分可以联想到[13,3]中使用的连续介质模型．总结以上观点，对（3.1）的求解给出如下命题：命题5：对有限个质点组成的，即个原子的原子测度，存在，使得时（3.1）的可测特解为其中曲线由ODEs系统（3.5）给出，满足和其中，是初始平均速度．另外，给出最大速度的定义最大空间距离，考虑群体初始中心．对所有，，，只与初值和这一结论的证明是平凡的，注意到，有限原子测度中的有界Lipschitz范数，被其中任意一个点的排列的欧式距离所限制，我们也把它写作偏微分方程的解，比质点系统的一般可测解更有用．下面给出这个结论：定理6：紧支集，（3.1）的特解在时满足以下支集的限制．对于一切，且只与初值有关，证明：对任何一个质点，可以假设和，对一切，不妨令，任意，可以找出一个质点数目，一组位置一组速度，且群体，使得与初值有关的质点解由给出，根据命题5，我们得到由于结果与质点个数无关，对一切，满足给出的状态．由[26]中定理3的稳定性结果，得到：由于是固定的，且可以任意小，对于当，弱*收敛到.再由于一个测度的支集在弱*意义下是稳定的,证毕.同样的证明思路也在[7]中运用于连续模型的群聚问题．另外,上述结论的一个直接推论就是可以直接考虑文献[5]中所给李雅普诺夫泛函的的衰减控制．推论7：给出紧支集，在时，（3.1）的特解满足其中和在定理6中给出．证明：由于在时间上，定理6是紧支的证完．最后，得出更多关于渐近限制的信息，用定理3的特征值的特征根，得到，特征值满足（3.7）．可知：对一切有．但是用位置变化的方程发现右侧分量随时间指数衰减，在无穷处可积。总的来说们对于一切，为初值时，有这是关于解的位置密度的一种改写．如果给出一个测度，用向量定义变量，对于一切：记为位置变量的边际测度，即，对于一切，这样我们就可以得到关于渐近行为的主要结论，即，群体的相对中心将收敛到一个固定的密度，这个密度由一个初值和相应唯一解所确定．定理８：给出紧支集，（3.1）的特解在时满足其中定义为对于一切，证明：给出检验函数，计算出在上述特征值中，我们用时间限制的标准，从控制收敛定理中可以得到结果．研究展望本文综述了Carrillo等人关于Cucker和Smale对群聚现象连续动力学模型的研究工作．作为论文的结束，我们给出一些将来可能的研究方向．在第二节中给出了Cucker-Smale模型中的Boltzmann方程，其中给出了群体中每个个体都依照整体平均速度调整自身速度时，速度的收敛情况．而如果假设群体中存在一个领导者，而这一领导者的速度是自由改变而不依据其他个体速度的，这样的模型是更接近实际情况的，研究起来也一定很有趣．第三节中针对模型中进行了讨论，并证明了这种情况下的无条件群聚，而对于的情况则还没有找到明显的规律．另外，可以考虑把等级制度[21]或根制度[16]引入Cucker-Smale模型，以推出更好的模型．最后，如果能找到一个更一般的初始状态，使得群体收敛到两个或多个不同的速度，而不是一个共同的速度，也是一个值得研究的问题．致谢光阴似箭，日月如梭。四年的大学时光，在我们漫长的人生旅途中是那么的短暂，但是这短短四年中有我们最美丽的大学生活。我感谢四年来教过我的所有的恩师，是您赋予我最有意义的收获，带领我走进知识的殿堂。在这次的毕业论文中，我尽可能地发挥了在学校学到知识，我要感谢我的指导老师史少云教授，在我写这篇论文期间，史老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。同时也要感谢黎文磊师兄在我论文写作中给予的帮助，在我思路不清晰时及时引导，指明方向，不厌其烦地回答我极其初级的问题，正是由于师兄的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难，直至本文的顺利完成。论文即将完成之际，我的心情无法平静，从准备到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!谢谢你们！参考文献[1]A.Barbaro,K.Taylor,P.F.Trethewey,L.YouseffandB.Birnir.Discreteandcontinuousmodelsofthedynamicsofpelagicfish:applicationtothecapelin.Preprint.[2]D.Benedetto,E.Caglioti,andM.Pulvirenti.Akineticequationforgranularmedia.RAIRO,Mod´elisationMath.Anal.Num´er.,31(1997),615-641.[3]A.Bertozzi,J.A.CarrilloandT.Laurent.Blowupinmultidimensionalaggregationequationswithmildlysingularinteractionkernels,Nonlinearity,22(2009),683-710.[4]B.Birnir.AnODEmodelofthemotionofpelagicfish.J.Stat.Phys.,128(2007),535–568.[5]S.-Y.HaandE.Tadmor.Fromparticletokineticandhydrodynamicdescriptionsofflocking.KineticandRelatedModels,1(3)(2008),415-435.[6]M.J.C´aceres,G.Toscani.Kineticapproachtolongtimebehavioroflinearizedfastdiffusionequations.J.Stat.Phys.,128,(2007),883-925.[7]F.CuckerandS.Smale.Emergentbehaviorinflocks.IEEETrans.Automat.Control,52(2007),852–862.[8]J.A.Carrillo,M.R.D’OrsognaandV.Panferov.Doublemillinginself-propelledswarmsfromkinetictheory,toappearinKineticandRelatedModels.[9]A.DragulescuandV.M.Yakovenko.Statisticalmechanicsofmoney.Eur.Phys.Jour.B,17(2000),723-729.[10]S.Galam,Y.Gefen,andY.Shapir.Sociophysics:anewapproachofsociologicalcollectivebehavior.J.Math.Sociology,9(1982),1-13.[11]J.A.Carrillo,G.Toscani.Contractiveprobabilitymetricsandasymptoticbehaviorofdissi-pativekineticequations,Riv.Mat.Univ.Parma6(2007),75–198.[12]A.Chakraborti.Distributionsofmoneyinmodelsofmarketeconomy.Int.J.ModernPhys.C13(2002),1315–1321.[13]Y.-L.Chuang,Y.R.Huang,M.R.D’OrsognaandA.L.Bertozzi.Multi-vehicleflocking:scalabilityofcooperativecontrolalgorithmsusingpairwisepotentials.IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,2007,2292-2299.[14]Y.-L.Chuang,M.R.D’Orsogna,D.Marthaler,A.L.BertozziandL.Chayes.Statetransitionsandthecontinuumlimitfora2Dinteracting,self-propelledparticlesystem.PhysicaD,232(2007),33-47.[15]I.D.Couzin,J.Krause,N.R.Franks,andS.Levin.Effectiveleadershipanddecisionmakinginanimalgroupsonthemove.Nature,433(2005),513–516.[16]Z.C.LiandX.P.Xue.Cucker-Smaleflockingunderrootedleadershipwithfixedandswitchingtopologies.SIAM.J.Appl.Math.,70:3156-3174,2010.[17]F.CuckerandS.Smale.Onthemathematicsofemergence.JapanJ.Math.,2(2007),197-227.[18]P.DegondandS.Motsch.Macroscopiclimitofself-drivenparticleswithorientationinterac-tion.Preprint.[19]M.R.D’Orsogna,Y.-L.Chuang,A.L.Bertozzi,L.Chayes.Self-propelledparticleswithsoft-coreinteractions:patterns,stability,andcollapse.Phys.Rev.Lett.,96(2006),104302-1/4.[20]J.Shen.Cucker-SmaleFlockingunderHierarchicalLeadership.SIAMJ.Appl.Math.,68(2008),694-719.[21]J.Shen,Cucker-Smaleflockingunderhierarchicalleadership.SIAM.J.Appl.Math.68:694-719,2007[22]A.Jadbabaie,J.Lin,andA.S.Morse.Coordinationofgroupsofmobileautonomousagentsusingnearestneighborrules.IEEETrans.onAutom.Control,48(2003),988–1001.[23]C.M.TopazandA.L.Bertozzi.Swarmingpatternsinatwo-dimensionalkinematicmodelforbiologicalgroups.SIAMJ.Appl.Math.,65(2004),152–174.[24]C.M.Topaz,A.L.Bertozzi,andM.A.Lewis.Anonlocalcontinuummodelforbiologicalaggregation.BulletinofMathematicalBiology,68(2006),1601–1623.[25]D.Matthes