求数列通项公式的十一种方法汇总

解得得=导W，将它们代回①得,a+1n+1(a+1n+1(a+1)2n—2丄292a+-n4②，n+125+=425)a+——n4丿2+292a+-n4③，25a+-③三②,得亠=③三②,a+1n+1a则lg上［a+1n+125+-4=2lg25+-4，•:数列fig25a+-n4a+1n＞成等比数列，首项为1,公比q=24=4=2n-1,102"-1-125a+-所以lg上1a+1n

25+-

25“—102n-1a-==102"-1,n十二、四种基本数列1.形如a—a二f(n)型等差数列的广义形式，见累加法。n+1na形如亠=f(n)型等比数列的广义形式，见累乘法。an形如a+a二f(n)型TOC\o"1-5"\h\zn+1n若a+a二d(d为常数)，则数列｛a｝为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,n+1nn其通项分奇数项和偶数项来讨论;若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过构造转化为a—a二f(n)型，通过累加来求出通n+1n项;或用逐差法(两式相减)得a—a二f(n)—f(n—1),，分奇偶项来分求通项.n+1n—1例27.数列｛a｝满足a1=0,a+a二2n，求数列｛a」的通项公式.n1n+1nn分析1：构造转化为a-a-f(n)型n+1n解法1：令b二(—1)nann则b一b二(—1)n+1a一(—1)na二(—1)n+1(a+a)二(—1)n+1-2n.n+1nn+1nn+1n

b-b—(-1)n•2(n-1)nn-1b-b—b-b—(-1)n•2(n-1)nn-1b-b—(-1)n-1•2(n-2)n-1n一21b-b—(-1)2•2x121b—-a—011力口：b—2【-1)n(n-1)+(-1)n-1(n-2)+…+(-1)3•2+(-1)2•1〕n当n为偶数时，b=2(n一1)+(一1)•nn-1b—2(—)—-n+1n2此时b—-a,所以a—n-1.故nnn•/a+a—2nn+1nn>2时，a+a—2(n-1)，两式相减得：ann-1n+1此时a—b—n当nna—nn-1,n为奇数,n,n为偶数.-a—2.n-1•••许a3,a5,…,构成以a1,为首项’以2为公差的等差数列；a2’a4,a6’…,构成以a2，为首项’以2为公差的等差数列/.a—a+(k—1)d—2k—22k-11a-a+(k一1)d=2k.2k2n为奇数时，n-1,n为奇数,n,n为偶数.评注：结果要还原成n的表达式.例28.（2005江西卷）已知数列｛a｝的前n项和S满足nn13S-S=3（一三）n-1（n>3）,且S—1,S=-二,求数列｛a｝的通项公式.nn－22122n解：方法一：因为S解：方法一：因为S-S—ann-2nn-1+a所以a+a—3•(—)n-1(n>3),

nn-12以下同上例，略4-3-(丄)n-1,n为奇数,-4+3-(2)n-1,n为偶数.4.形如a•a—f(n)型｝为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其n+｝为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其（1）若a•a=P（p为常数），贝燉列｛an+1n通项分奇数项和偶数项来讨论；(2)若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过逐差法得a-a二f(n-1)，两式相除后，分奇偶