排列组合体系重建

-.z排列组合体系重建摘要排列组合是高中数学中相对独立的容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。产生困难的原因很多，比方题目变化多，构造复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。该论文在文献研究的根底上，通过对局部高三学生的测试与学生的访谈，意在提醒高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改良排列组合教学提供具体建议。本文中，我对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4个小类，局部小类中还有进一步的划分。希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。通过对测试结果的分析，我将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。在这三大类错误中包含的具体错误情况共有11种。对于每种错误，我都根据学生的访谈容、文献研究等对学生的出错原因进展了分析。通过访谈，我还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。针对学生普遍存在的困难和常见错误，我的建议是：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用"缩小数据〞和"一题多解〞的方法检验解法的正确性。关键词：排列组合，常见错误，高中生，数学学习目录TOC\o"1-3"\h\u2671第一章引言④将n个一样的元素分配进m个一样的容器由于元素的个数及元素之间的顺序也是需要考察的重要指标，因此在原来的划分根底上，还需要根据元素是否平均分配再划分，再根据元素之间是否考虑顺序更细致的划分。2.2课程中的排列组合知识及其要求2.2.1课程标准及考纲要求"市中小学数学课程标准〔试行稿〕"和"2012年高考数学考纲"中对排列组合的要求总结如表2-2表2-2课程标准和考纲要求学习容考纲要求课程标准要求加法原理掌握加法原理学习容考纲要求课程标准要求乘法原理掌握乘法原理通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比拟简单。说明：排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。解排列和组合的问题，限用常见方法〔包括枚举法〕。会利用计算器求排列数和组合数乘法原理掌握乘法原理排列与排列数掌握排列的概念及其计算。会用常见方法〔包括枚举法〕解排列的问题。会利用计算器求排列数组合与组合数掌握组合的概念及其计算。会用常见方法〔包括枚举法〕解组合的问题。会利用计算器求组合数在上述课程标准和考纲中，都对两个原理和排列组合的概念提出了掌握的要求，都提出要求学生运用常见方法解题，如枚举法。可见对于学生的要要掌握排列组合的根本原理和方法，不需要在问题情境和限制条件方面给学生增加太大难度。2.2.2教材要求在高中数学必修教材中，排列组合的知识构造框架如下：教材主要介绍了排列和组合的根本概念和计算公式以及两个计数原理。在排列中侧重以例题涵盖不相邻问题、相邻问题和特殊元素优先考虑等问题，之后的容侧重在有一个限制条件的排列组合混合题上。2.3关于排列组合常见错误类型及其成因人的计数能力是在不断开展的，儿童时期的计数是具体化的，从最初的数数到借助一定方法有步骤地计数，再到使用排列组合数计数。学生学习排列组合通常从直观的"枚举法〞开场，"枚举〞是分析解答数学题的一种方法，它是根据问题的要求，把不重复的、不遗漏的有限情况一一列举出来，到达解答问题的目的。它适用于枚举数量不大的计数问题，但枚举过程要求有缜密的思维，否则容易遗漏或重复。高中生学习了排列组合，计数能力会有更大提高，但是也会有很多主观与客观的因素影响他们答题的准确率。根据市面上统计的资料发现，学生的错误类型有："对问题述的误解(改变了问题述中的数学模型、简单问题复杂化、动词意思理解错误)〞、"分不清排列还是组合〞、"分不清元素是否可重复使用〞、"混淆对象异同性〞、"一样元素只当做一个元素〞、"列举无系统性〞、"凭直觉的错误解答〞、"公式错误〞、"组合数性质错误〞等。但是他们并没有继续就这些错误的成因作具体分析，他们统计错误类型是为了确定影响排列组合问题难度的主要因素。国对于学生在排列组合学习中的错误及其成因的研究有很多，但根本是期刊上的短文章，一般会按问题类型，介绍正确的求解方法，或者罗列学生的典型错误，很少通过测试访谈等进展实证研究的。我认为比拟重要的论文有胡海霞的"影响高中生组合推理的因素"和徐娟的"高中排列组合的教学研究与实践"。胡海霞〔2006〕基于Batanero的研究，对国高中生作了类似的测试。通过对867名学过和未学过排列组合知识的高中生的测试，她将学生排列组合常见错误类型归结为"与两个根本原理和概念有关的错误〞、"文字或语义理解上的错误〞、"重复和遗漏〞、"关于公式和计算的错误〞、"错误的直观解答〔学生凭直觉直接作答〕〞等，但她也没有做详细的错因剖析。徐娟〔2006〕在2006年对市的326位高中生进展了测试，其中理科班159人，文科班167人。设计了十道问卷调查题和三道测试题，问卷与测试容囊括了学生学习目的、概念掌握、原理应用等方面。其调查是在学生刚学完排列组合后两周，开场总复习时进展的，花时15分钟。调查得到的主要错误类型有："对问题述的误解〞、"顺序错误〞、"重复错误〞、"混淆对象类型(元素异同)〞、"混淆单元类型(容器异同)〞、"混淆题目类型〞和"错误的直观解答〞等。比拟她们两位对于错误类型的总结，她们都提到了"题意本身的理解错误〞和"重复错误〞，这两种也是相关的期刊论文常常提到的。我认为，"题意本身的理解错误〞其实是对于很多错误的一种涵盖，还需要进一步细化。对于重复错误，明远〔2009〕的"排列组合中重复性错误的六种表现"、欧阳尚昭〔2003〕的"排列组合中几种常见的"重复性〞错误"、应朝伟〔1990〕的"排列组合计算中的重复错误浅析"等都对其做了详细的剖析，这是学生在思考排列组合题时思维很容易出现的一个过失。徐娟对于错误原因的解释比拟笼统，但是也点出了学生的错误有客观原因，如问题书面述的复杂性，也有主观原因，如知识迁移的困难性等。尤其是她提到的最后一点"学生不能很好地进展知识迁移、类比解题〞〔第18页〕，再次说明排列组合学习的困难性，学生不能靠记忆、套公式的方法解决新的问题，要靠自己的阅读理解和分析解答。在对于学生产生问题的原因解释中，研究客观原因，即排列组合知识特点和13问题本身特点的研究较多，而对于学生认知方面的原因，即思考过程研究较少，这与学生难以用书面形式表达清楚自己的思维也有关。2.4关于排列组合教学徐娟〔2006〕在其论文中除了对学生的排列组合错误类型做出分析外，还专门针对教师的教学做了研究。她对市的60位高中教师做了调查问卷，问卷包含10道题，主要包括排列组合教学的现状、教学中存在的问题、教师教学的目的以及排列组合教学的思考等方面。她的调查结果是"根本上所有的教师都认为排列组合知识是高中阶段的难点，有近40%的教师认为教学的主要任务是迎接高考的选拔〞。而在教师的教学实践中，有以下几个问题：两个原理与概念的讲解不透彻。教师在讲解过程中往往认为两个原理的理解很容易，交代清楚后便进展习题训练，把重点放在解题方法上。学生在利用原理时出现了不会分类或有重复或遗漏的情况。在区分排列与组合问题时，学生也出现了问题。无视了读懂题目，导致学生在求解问题时，不了解要解决的问题是什么或要到达什么目的，不知如何下手做题。无视了教学过程中前后知识联系的重要性。有些排列组合问题，如果直接从排列组合的角度着手，很难找到解题方向，可考虑引进集合，找到解题的突破口。局部教师可能自身缺乏高水平运用知识的能力。教师对学生解决问题的实际操作过程了解和重视不够，导致教师不知道学生是怎么想的。题目的相似性与差异性困扰了学生，学生不能区分清楚。教师在教学中渗透思想方法教学的不多，知识零散，难以进一步迁移。教师教学研究不够，很多教师认为排列组合教学需要改革，但做过教学研究的教师很少。这些问题的存在确实会影响教学效果，同时也影响着学生的思考方式，导致学生解题错误。其他文章根本上都是凭教学经历总结得到的成果，采用实证方法研究教学的极少。我归纳教师对于排列组合教学的主要策略有讲清加法原理与乘法原理的联系与区别加法原理与乘法原理是解排列组合应用题的根底，掌握它们有利于学生从原理的角度去思考问题。要解决这一问题，关键是引导学生理解加法原理中的"分类〞与乘法原理中的"分步〞，尤其让学生明白乘法原理中的每一步都是相互独立的。此外，应该把加法原理和乘法原理的教学贯穿于整个章节。2、指导学生正确判断排列与组合问题能判断一个问题是排列问题还是组合问题是解决排列组合复杂问题的根底。要引导学生通过具体的实例，用比拟直观的方法如框图与树状图对问题进展分析，相互比照，使学生切实把握排列与组合的概念以及他们的区别。指导学生正确选择分析对象对于一个具体的复杂问题，要先考虑题中哪些具体对象应看成"元素〞，哪些作为"容器〞，选对正确的分析角度。重视解题模型的分析与训练解决排列组合问题必须重视解法的分析和训练，提高学生的解题能力。主要通过一般与特殊相结合、分析与判断相结合、将复杂问题简单化等方面来训练学生的思维。重视教学中数学思想的渗透主要是分类思想、特殊化思想、转化思想和对应思想的渗透，促使学生思想认识发生"飞跃〞，到达不但"学会〞，而且"会学〞的效果。研究的设计和实施本章主要介绍本研究的对象、测试题的设计以及试卷分析。3.1研究对象本研究的测试对象是我所带的高三学生，刚好高二完毕，上完了排列组合章节，也完成了这个章节的复习，对排列组合有一定的认识。为了更清楚地了解学生的解题过程，在分析完测试卷后，我就试卷中一些比拟特殊的答复和我还不了解的想法向一些位学生作了个别访谈。3.2测试题的设计3.2.1按排列组合模型设计在第二章中给出了排列组合的两个模型及分类，但是在具体的题目中，还会有附加的一些限制条件，为了降低难度，课程标准中指出最多只能有两个限制条件。因此我把每个模型的具体分类及添加的条件作了一个综合的整理，然后配对上相应的测试题。选取模型和对应的测试题注意：选取模型是指"从一个有m个不同元素的集合中选取n个元素〔m>n〕〞的问题。所有元素都不同，而且是局部元素参与。具体分类与测试题对应关系见表3-1。表3-1选取模型及相应的测试题号模型具体分类无限制条件一个限制条件两个限制条件选取模型可重复无序超纲可重复有序1〔2〕无重复无序2(1)2(3)、7无重复有序2(2)2〔4〕"选取模型〞中的"可重复无序样本〞解题过程中涉及到要先考虑"重复元素的排列〞，然后除序，而"重复元素的排列〞对于学生来说难度较高，已不属于高中课程标准中的容，所以不予考察。对应的具体练习：1)可重复无序型：超纲，不要求2)可重复有序型：例：学校运动会中，五名学生报名参加四项体育比赛，假设五名学生同时参加这四项比赛，则获得冠军的可能有多少种？3)无重复无序型：例：从0,5,11,13中任意抽取两个数相加，问最终一共有多少种不同的和？4)无重复有序型：例：从0,5,11,13中任意抽取两个数相减，问最终一共有多少种不同的差？〔2〕分配模型和对应的测试题注意：分配模型是指"将m个元素分配到n个容器中〞。此模型与选取模型的最大区别是元素全部元素参与以及参与分配的元素可以一样也可以不同，但每个元素仅被分配一次，所以不存在重复使用的问题。由于在第二章中谈到分配模型的考察要素还有元素的个数及是否有顺序，因此我在原来的4个分类的根底上，增加了是否平均分配，而且被分配的元素同时还要考虑是否有序。最终一共细分为11个小类。〔见表3-2〕。其中对于"元素在容器间平均分配〞，我特别将"一一对应〞模式单独列出，主要是其做法比拟简单。当元素不同，容器一样时，"一一对应〞方式只有一种情况，故不再讨论。当元素一样时，不存在顺序问题，且此时的平均分配都只有一种情况，故也不作讨论。"分配模型〞中"m个一样元素非平均分配到n个一样容器中〞，只需考虑每个元素分堆时每堆数量的可能性，难度较低，也未考察。对于分配到各个容器中元素的有序性问题在高中阶段的排列组合问题中很少碰到，所以只在E5模型中出一道题，而其他三种有序模型中不再出题。具体分类与测试题对应关系见表3-2。表3-2分配模型及相应的测试题号模型元素与容器的异同元素在容器间的分配形式容器元素是否有序无条件限制一个条件限制两个条件限制分配模型元素不同容器不同平均分配一个容器中只有一个元素/一个容器中有多个元素无序有序非平均分配无序有序元素不同容器一样平均分配无序有序非平均分配无序有序元素一样容器不同非平均分配元素一样容器一样非平均分配对应的具体练习：1、元素不同、容器不同、平均分配且符合一一对应：例：将5个人分配到5个不同的工作岗位，问一共有多少种不同的分配方式？2、元素不同、容器不同、平均分配、元素无序例：将9个人分配到3所不同的学校，每个学校分配3人，问一共有多少种不同的分配方式？3、元素不同、容器不同、平均分配、元素有序例：将9个人分配到3所不同的学校，每个学校分配3人，且被分配到学校里的人需要从周一、周三、周五中选择一天值班，问共有多少种不同的情况？4、元素不同、容器不同、非平均分配、元素无序例：将5个人分配到3所不同的学校，每所学校至少分配一人，问一共有多少种不同的分配方式？5、元素不同、容器不同、非平均分配、元素有序例：学校文艺汇演原本有10个节目，现要增加3个节目，不能加在第一个，原有节目顺序不变，增加后，节目安排共有几种方案？6、元素不同、容器一样、平均分配、元素无序例：将6本不同的书平均分成三堆，问有多少种不同的分法？7、元素不同、容器一样、平均分配、元素有序〔不要求〕8、元素不同、容器一样、非平均分配、元素无序例：把5本不同的书分成3组，每组至少一本，问有多少种不同的分法？9、元素不同、容器一样、非平均分配、元素有序〔不要求〕10、元素一样、容器不同例：现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少1个名额，共有几种分配方法？11、元素一样、容器一样〔不要求〕3.2.2测试题设计详细见附录第四章研究结论和建议4.1主要结论本研究主要关注的是高中学生在解决排列组合问题过程中显现的困难，根据平时教学中的经历和学生所反映出的意见主要提出两个研究问题：1.高中学生在学习排列组合时有哪些常见错误？2.导致高中生发生错误的主要原因有哪些？我通过测试分析主要得到如下结论：学生在排列组合中出现的常见错误类型有1)重复考虑顺序出错例：有4双不同颜色的鞋子，从中取出2只不成双的鞋子，问共有几种取法"常见错误答案：正确答案：2)遗忘局部对象排序例：将7个人排成一排，其中甲乙必须站在一起，问共有多少种不同的站法"常见错误答案是正确答案是3)无序分配重复除序例：将5本书分成3组，其中一组有一本，另外两组各两本,问有多少种不同的分法？常见错误答案有，正确答案是4)增序性重复例：将6本书平均分成3组，常见错误答案有，正确答案是5)元素是否可重复使用不分例：学校运动会中，五名学生报名参加四项体育比赛，假设五名学生同时参加这四项比赛，则获得冠军的可能有多少种？常见错误答案：正确答案：6)误解题目述7)元素异同不分例：将4个乒乓球分别装进两个不同的盒子中，每个盒子中至少装一个球，问有多少种方法？常见错误答案：正确答案：8)计数错误9)分类过程中产生遗漏例：将5本书分成3堆，没堆至少有一本，问有多少种不同的分法？常见错误答案：，正确答案10)同一性重复例：从0,5,11,13中任意选取两个数相乘，问最终又多少种不同的结果？常见错误答案：，正确答案：11)分不清属于排列还是组合例：*学校高二连续七天要排四门科目的考试，三天休息。现有物理、化学、历史、生物四门学业水平科目考试各要排一天，假设要使三天休息连在一起，则考试安排方法有几种？常见错误答案：,正确答案：这11类错误中的"元素异同不分〞、"元素是否可重复使用不分〞和"误解题目述〞都是学生对于题目中关键的元素、容器和动词没有理解到位，这三种类型的平均错误比例处于中间位置，但涉及题目数量较多，特别是"元素异同不分〞的错误尤其顽固。"分类过程中产生遗漏〞的错误也涉及到多到题型，很多学生对于一些可以直接总体解决的问题使用根底的分类方法进展讨论，而讨论过程中涉及屡次根本的排列组合运算，大大增大了其错误的比例。与原来文献中归类的错误类型相比，我发现结果有一定改动。我将"误解题目中的动词〞改为"误解题目述〞主要是因为对于题目的误解包含对整件事情各方面的读题错误；将"插空时空隙数数错〞改为"计数错误〞，主要是将其涵盖围扩大，"计数〞问题不仅包括空隙数，也可包括元素数量等等。文献中"枚举不全〞问题在测试题中出现比例不高，主要是使用枚举法的学生很少，即使在枚举过程中出现的问题也都是由其他提到的错误类型涵盖了；"未考虑特殊情况(元素)出错〞在学生中同样出现比例很低，即使出现问题主要都是对限制条件把控不到位，很少有遗漏或为考虑的现象；"分类有穿插性重复〞同样在学生中没有太多表现，即学生对于"类〞之间的差异根本能分清，反而是"分类过程产生遗漏〞更为严重。"错误选择分析〞在笔者的分析中有谈及，但是在统计时比例较低，将其不列为常见错误；"解题方法选用不当〞涵盖面太广，泛泛而谈，故舍去。新增"无序分配重复除序〞是在以往文献中未详细谈及的错误类型。4.2教学建议针对本研究所得到的主要结论，我给出以下教学建议：在学生刚开场接触排列组合时，教师不必急于归纳题型，教给方法，而应该让学生更清楚学习排列组合是为了解决计数问题，并在简单问题情境下使用树状图或列表法等具体直观地演示一般的求总数的方法，分类不重复、不遗漏。在后期的教学过程中，也不应完全摒弃这些具体的一般的方法，以适应学生的思维开展水平。教师要增加对于排列组合问题的读题和分析时间，而不要匆匆进入列式解题阶段，因为学生是否正确理解了题目，往往会影响其解题的策略和效率。教师应该帮助学生养成认真分析问题的习惯。教师不能满足于归纳题型和介绍公式，要与学生一起探求问题的解决，要鼓励学生对于一些新题型进展探索，尝试用各种方法来解决问题。同时要提醒学生注意题目中的主要元素、元素是否可重复使用、元素的异同性和操作的有序性等。尤其要注意在列式过程中是否人为地增加了顺序，分类过程是否完整，根本问题运算中是否有遗漏或计算错误。这样学生才会有深刻的理解，且会有一定的探究成果，遇到新的问题也会尝试自己去解决，否则靠记忆是学不好排列组合的，因为要记的东西太多了，而且很容易记混。题目中增加限制条件会增加题目难度，但教师也要注意课标要求，可视需要适当改变