北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我33333333九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数:a正切：在Rt^ABC中，锐角ZA的对边与邻边的比叫做ZA的正切，记作tanA,即tanA；ba正弦：在Rt^ABC中，锐角ZA的对边与斜边的比叫做ZA的正弦，记作sinA，即sinA=—；cb余弦：在Rt^ABC中，锐角ZA的邻边与斜边的比叫做ZA的余弦，记作cosA，即cosA=—；cb余切：在Rt^ABC中，锐角ZA的邻边与对边的比叫做ZA的余切，记作cotA，即cotA=_；c注：（1）sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,ZA是锐角（注意数形结合,构造直角三角形）.（2）sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号，表示ZA,习惯省去“Z”号；（3）sinA,cosA,tanA，是一个比值.注意比的顺序，且sinA,cosA,tanA，均＞0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA,的大小只与ZA的大小有关，而与直角三角形的边长无关.5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.1、三角函数和角的关系tanA的值越大，梯子越陡，ZA越大；ZA越大，梯子越陡，tanA的值越大。sinA的值越大，梯子越陡，ZA越大；ZA越大，梯子越陡，sinA的值越大。cosA的值越小，梯子越陡，ZA越大；ZA越大，梯子越陡，cosA的值越大。2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0°30°45°60°90°若ZA为锐角，则sinA=cos(90°-ZA)；cosA=sin(90°-ZA)tanA=cot(90°-ZA)；cotA=tan(90°-ZA)（2）同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA2+cosA2=l2)倒数关系：tanA•cotA=13）商的关系:sinAcosAtanA=,cotA=—cosAsinA二、解直角三角形:sina0122J321cosa1込2412120tana0旦31石——cota——130※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，（1）当角度在0°〜90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。◎在△ABC中，ZC为直角，ZA、ZB、ZC所对的边分别为a、b、c,则有（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；⑵两锐角的关系：ZA+ZB=90°；⑶边与角之间的关系：cosA=—,csinA=—,csinB=—,ccosB=—cC1717(4)面积公式：S=怎ab=cha22”atanA=—,b厂btanB=—acotA=b;acotB=b（h为C边上的高）;c（5）直角三角形的内切圆半径r=2（6）直角三角形的外接圆半径R=2c三、解直角三角形的应用:已知条件孵法两条边两案直角过玄和bc=Ja?十ba,tgA=-,E=-Ab一条直角边厲和斜边cb=Jc2-a?sinA=—,cB=-A1条边和1个窃角-条直角边&和锐角AB=90°-A,匚二匕，sinAt-=a.•ctgA斜边c和锐角AB=90"-Aja=c・sinA,t=c・cosA◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:线1、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角h2、如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示，即i=厂tanA◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3,OA、OB、0C的方位角分别为45°、135°、225°。◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。图2图3图2图3【基础训练】锐角三角函数定义、填空题1.如图所示，B、B'是ZMAN的AN边上的任意两点，BC丄AM于C点，B'C'丄AM于C'点，则BCAB()△BAC's_，从而苛二厂-応，又可得BC1

BC1

~AB即在Rt^ABC中(ZC=90°),当ZA确定时，它的与的比是一个值;②竺=②AB',即在RtAABC中(ZC=90°),当ZA确定时，它的.的比也是一个第2题图sinB=-斜边②cosA=-斜边cosB=-斜边③tanA=2!的邻边=tanB=空的对边=()3．因为对于锐角a的每一个确定的值，sina、cosa、tana分别都有.sina、cosa、tana都是.又称为a的与它，所以44．在Rt^ABC中，ZC=90°，若a=9,b=12，则c=sinA=,cosA=,tanA=sinB=,cosB=,tanB=55．在Rt^ABC中，ZC=90。，若a=1,b=3，贝Vc=sinA=,cosA=,tanA=sinB=,cosB=,tanB=66．在Rt^ABC中，ZB=90。，若a=16,c=30，则b=sinA=,cosA=,tanA=sinC=cosC=,tanC=7.在Rt^ABC中，ZC=90°，若ZA=30°，则ZB=sinA=sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=、解答题8已知：如图,Rt^TNM中，ZTMN=90°,MR丄TN于R点，TN=4,MN=3.求：sinZTMR、cosZTMR、tanZTMR.39•已知R5C中,ZC二90°3A肯BC二12,求AC、AB和cob综合、运用、诊断10.已知：如图，Rt^ABC中，ZC=90°.D是AC边上一点，DELAB于E点.DE:AE=1:2.求：sinB、cosB、tanB.11.已知：如图,△ABC中，AC=12cm,AB=16cm,sinA=1-⑴求AB边上的高CD；B⑵求△ABC的面积S；(3)求tanB.12.已知：如图，△ABC中,AB=9,BC=6,^ABC的面积等于9,求sinB.拓展、探究、思考(2)vcosA=—,cTOC\o"1-5"\h\z:,b=,c=；a⑶•/tanA=—,b/.a=,b=；J3⑷vsinB=牙，•：cosB=,tanB=vcosB=3，・•・sinB=,tanA=；TtanB=3,・sinB=,sinA=正切：1、在RtAABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2、已知ZA,ZB为锐角

ZB.若ZA=ZB,则tanAtanB;(2)若tanA二tanB,则ZA_ZB.3、在厶ABC中，ZC=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.正弦和余弦：TOC\o"1-5"\h\z已知△ABC中，ZC=90。,3cosB=2,AC=2心5，则ab=.在RtAABC中，ZC=90。，如果AB=2,BC=1，那么sinB的值是()133A.B.C.D.丫3223则tanA=在RtAABC中，ZC=90°,a,b,c分别是ZA,ZB,ZC的对边，若b则tanA=34•如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cosZBAC=-，贝y梯4TOC\o"1-5"\h\z子AB的长度为米.如果Za是等腰直角三角形的一个锐角，则tana的值是（）A.2宁c.1。.蠱三角函数值的计算、填空题1•填表.锐角a30°45°60°sinacosatana百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我、解答题2．求下列各式的值．⑴2sin30。—z2cos45。(2)tan30°—sin60°・sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45⑷cos245°+sin30°斶+遇230°+sin245°3.求适合下列条件的锐角a.(1)cosa3(2)tana=-3-J2(3)sin2a⑷6cos(a一16)=3、：3综合、运用、诊断百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我33333333形的周长．已知：如图，Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=30。，延长CA至D点，使AD=AB.求:(1)ZD及ZDBC；tanD及tanZDBC；⑶请用类似的方法，求tan22.5

已知：如图，Rt^ABC中，ZC=90°,AC二BC=打，作ZDAC=30°,AD交CB于D点,求：(1)ZBAD；(2)sinZBAD、cosZBAD和tanZBAD.8已知：如图△ABC中，8已知：如图△ABC中，D为BC中点，且ZBAD=90°tanzb=3,求：sinZCAD、cosZCAD、tanZCAD.拓展、探究、思考9.已知：如图，ZAOB=90°，AO=OB，C、D是，帀上的两点，ZAOD>ZAOC，求证:0<sinZAOC<sinZAOD<1；1>cosZAOC>cosZAOD>0；锐角的正弦函数值随角度的增大而锐角的余弦函数值随角度的增大而

10.已知：如图，CA±AO,E、F是AC上的两点，ZAOF>ZAOE.⑴求证：tanZAOF>tanZAOE；(2)锐角的正切值随角度的增大而.11.已知：如图，Rt^ABC中，ZC=90°，求证：(1)sin2A+cos2A=1(2)tanA=-cosA解直角三角形（一）、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）③边与角之间的关系：sinA二cosB=cosA二sinB=第1题图tanA=」=tanB=tanB=tanA④直角三角形中成比例的线段（如图所示）.第④小题图在RtAABC中，ZC=90°,CD±AB于D.CD2=；ACCD2=BC2=；AC•BC=⑤直角三角形的主要线段（如图所示）.第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的，斜边的中点是．若r是Rt^ABC（ZC=90°）的内切圆半径，则r==.⑥直角三角形的面积公式．在Rt^ABC中，ZC=90°,Sk-（答案不唯一）2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道（其中至少），这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边（两条或斜边和）及已知一边和一个锐角（和一个锐角或和一个锐角）3．填写下表：已知条件解法一条边和斜边c和锐角囹A0B=,a=，b=直角边a和锐角囹A0B=,b=，c=两条边两条直角边a和bc=，由求0A,0B=直角边a和斜边cb=，由求0A,0B=、解答题在Rt^ABC中，ZC=90°.

(1)已知：a=35,c二35.2，求AA.AB,b；(2)已知：a=2^3,b=2，求Za、Zb,c；(3)已知：sin(3)已知：sinA=—c二6，求a、b；(4)已知：c(4)已知：c；⑸已知：ZA⑸已知：ZA=60°,A4BC的面积S12\-:3,求a、b、c及ZB.8•如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m,冬天太阳光与水平面的夹角为30°．⑴若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?（保留根号）BD⑵由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD=21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层？BD9.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离？10.已知：如图，在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?（保留整数）3.已知：如图，△ABC3.已知：如图，△ABC中，ZA=30°,ZB=135°,AC=10cm.求AB及BC长.解直角三角形（二）1.已知：如图，△ABC中，ZA=30°,ZB=60°,AC=10cm.求AB及BC的长.百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我3333V3333V综合、运用、诊断已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°,又知河宽CD为50m.现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长（答三角函数的应用1、船有触礁的危险吗例1、已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?（精确到0.1海里，打1.732）...%百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我33333333练习1、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货•此时•接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：蓄2~1.4,J3~1.7)练习2、、如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30

方向航行10海里后到达C处.问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到1海里）（以下数据可以选用：sin40心0.6428,cos40心0.7660,tan40心0.8391,<3宀1.732.）.2、测量物体的高度（1）例2、已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B,再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C,如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°.求山高CD（精确到0.01米）.练习1、已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知ZBAC=60°，ZDAE=45°.点D到地面的垂直距离DE3v/2m，求点DE3v/2m，求点B到地面的垂直距离BC.练习2、已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m).3、测量物体的高度(2)例3、某市为促进本地经济发展，计划修建跨河大桥，需要测出河的宽度AB,在河边一座高度为300米的山AC顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为a=30°,B=60°

AC练习1、如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度i=1：訂，斜坡CD的坡角为45。.求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）BC（参考数据：*2=1.41，X：3=L73）BC百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我3333直角三角形的边角关系基础性测试卷1.如图，在1.如图，在AABC中，AC—3,BC二-4,”3□4c3D.A.-B.-C.-435一、选择题12.在RtAABC中，12.在RtAABC中，ZC二90,AC=-AB,3则cosA等于A.B.1C.2迈D.迈3343.如图，已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,

点D落在CB的延长线上的点D处，那么tanABAD等于（）A.1B.込C.迈D.2迈24.如图•一个小球由地面沿着坡度i=4.如图•一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度5.如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°•若观察所的标高（当水位为0m时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（A．50mB.50*3mC．53mA．50mB.50*3mC．53mD.53、3m6.如图，两条宽度均为40m的国际公路相交成a角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A.型(m2)sinaB.型(m2)cosaC.1600sina(m2)D.1600cosa(m2)7.某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮,每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（A.7.某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮,每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元8.身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（）A.A.甲的最高B.乙的最高C.丙的最高D.一样高二、填空题TOC\o"1-5"\h\z1.在AABC中，ZC=90若tanB=2,a=1，则b=.o.在RtAABC中，BC=3，AC=、巨，ZC=90，则ZA=.o.在AABC中，ZC=90，tanA=2，则sinA+cosA=.o44.在RtAABC中，ZC=90，sinA=4，BC=20，则AABC的面积为5o5•如图所示，在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m.6•如图所示，从位于0处的某哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间，快艇到达哨所东南方向的B处，则A，B的距离为m.7•如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建北33Infi

北33Infi筑物的高为筑物的高为（第7题图）（第（第7题图）（第6题图）（第7题图）三、解答题11.在等腰直角三角形ABC中，ZC二90,AC=10,D是AC上一点，若tanZDBC=5，求AD的2．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45，如果梯子的底端°固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60，求此保管室的宽度AB的长.百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我百度文库-百度文库-让每个人平等地提升自我333333333.如图，在AABC中，AB=15,BC=14,S二84.求tanZC的值。AABC一人由山底爬到山顶，他先爬了29的山坡200米，接着又爬了43的山坡100米，到达山顶，求从山底到山顶的高度。（精确到lm）°°如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同进施工，从AC上的点B取ZABD=135°,BD=1200米，=135°,BD=1200米，ZBDE=45°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1米）正好能使A、C、E成一条直线？直角三角形的边角关系提高性测试卷一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，ZACB=90°,sinZACD的值为（2.A.1.如图，在Rt△ABC中，ZACB=90°,sinZACD的值为（2.A.3B.4C.5D.5CD丄AB，D为垂足.若AC=4，BC=3,1已知ZA+ZB=90。且cosA=则cosB的值为（A.B.D.3.2已知tana=—，则锐角a满足（3A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a3.2已知tana=—，则锐角a满足（3A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°4.如图所示,在厶ABC中，AB=AC=5,BC=8，则tanC=()5.A.5B.4D.4如图，从山顶A望到地面C,D两点，CD=100m，点C在BD上，则山高AB等于测得它们的俯角分别是45。和30°（）A.100mB