常微分方程的消元法和首次积分法

关于常微分方程的消元法和首次积分法1第一页，共二十二页，2022年，8月28日一、微分方程组的消元法

将一阶微分方程组：中的未知函数只保留一个，消去其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数.这种方法常用于二个或三个先求出这个未知函数，然后再由其他方程求出方程构成的常系数微分方程组的求解.第二页，共二十二页，2022年，8月28日例1求解方程组解保留,消去.由第二个方程解出，得对上式两边关于求导,得代入原方程组的第一个方程得:第三页，共二十二页，2022年，8月28日二阶常系数线性齐次方程,通解为故原方程组的通解为其中是任意常数.第四页，共二十二页，2022年，8月28日一阶线性非齐次方程的通解为出现了三个任意常数因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后，是一个多余的任意常数.不要再用求积分的方法来求其他的未知函数.如果?第五页，共二十二页，2022年，8月28日例2求解方程组解将第一个方程求导得代入第二个方程得不显含自变量t再由第一个方程得第六页，共二十二页，2022年，8月28日二微分算子与线性微分方程组

这里介绍微分算子D

及其用消元法解线性微分方程组的应用.设是定义在某区间I上的具有n阶连续导数的函数，微分算子D

被定义为相应地定义算子多项式：第七页，共二十二页，2022年，8月28日L是线性算子!例如设则第八页，共二十二页，2022年，8月28日微分算子法求解常系数线性微分方程组.仅依赖于变量的一个高阶微分方程……第九页，共二十二页，2022年，8月28日解:设例3求解方程组二阶线性常系数非齐次微分方程通解为第十页，共二十二页，2022年，8月28日代入原方程组的第一个方程中得一阶线性非齐次微分方程通解为代入原系统的第二个方程中得第十一页，共二十二页，2022年，8月28日积分可以得到未知函数组合形式的解，三微分方程组的首次积分法经适当组合化为一个可积分的微分方程.首次积分法是将方程组这个方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式.该方程为一个原方程组的首次积分.第十二页，共二十二页，2022年，8月28日解将两个方程相加得以作为一个未知函数，对上式积分得原方程组的一个首次积分.再将两个方程相减得例4求解方程组这里是任意常数.解出未知函数,原方程组通解为原方程组的另一个首次积分.第十三页，共二十二页，2022年，8月28日解把方程组中的第一个方程乘以第二个方程乘以然后两式相加得把看作未知函数,积分得例5求解方程组第十四页，共二十二页，2022年，8月28日再利用原方程可得另一个首次积分采用极坐标原微分方程的通解为第十五页，共二十二页，2022年，8月28日考虑一般的阶微分方程组其中对是连续可微的.设连续可微，且不是常数，使成为与t无关的常数,此常数与所取解有关,则称为方程组的一个首次积分.把方程组任一解代入第十六页，共二十二页，2022年，8月28日设微分方程组有个首次积分如果在某区域内它们的Jacobi行列式则称它们在区域G内为互相独立.第十七页，共二十二页，2022年，8月28日定理1

设函数在区域内是方程组的首次积分的充要条件为连续可微，且它不是常数，则检验一个函数是否为方程组的首次积分?第十八页，共二十二页，2022年，8月28日定理2

若已知方程组的一个首次积分，则可把方程组求解问题转化为含n-1个方程的方程组的求解问题.定理3

若方程组有n个互相独立的首次积分则可由它们得到微分方程组的通解.为了求解方程组,只需求出它的n个互相独立的首次积分就可以了.事实上,前面例题给出的首次积分是互相独立的.因此由它们确定出的解都是通解.第十九页，共二十二页，2022年，8月28日例6利用首次积分求解方程组解两个方程相除得得到原方程组的一个首次积分再利用两个方程相减得第二十页，共