弹塑性力学考题史上最全总结

12345678已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。解：球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。偏应力张量作用下单元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。9一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0。）解：，满足，是应力函数。相应的应力分量为：，，；①应力边界条件：在x=h处，②将式①代入②得：，故知：，，；③由本构方程和几何方程得：④积分得：⑤⑥在x=0处u=0，则由式⑤得，f1(y)=0；在y=0处v=0，则由式⑥得，f2(x)=0；因此，位移解为：附，对比另一方法：例，方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且>>。试选取适当的应力函数解此问题，求出相应的应力分量。解答：1、确定应力函数分析截面内力：，故选取积分得：，代入相容方程，有：，要使对任意的x、y成立，有，积分，得：，。2、计算应力分量，3、由边界条件确定常数左右边界（）：；；上边界（）：4、应力解答为：10已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐标系，r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa。试求此圆管材料屈服时（采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩Ms。（提示：Mises屈服条件：；）解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知，则，且=0。代入Mises屈服条件得：即：解得：200MPa；轴力：P==2×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495kN扭矩：M==2×502×10－6×3×10－3×200×106=9.425kN·m11在平面应力问题中，若给出一组应力解为：，，，式中a、b、c、d、e和f均为待定常数。且已知该组应力解满足相容条件。试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。（15分）解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：则知，只要满足条件a＝－f，e＝－d，b和c可取任意常数。若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。12在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。试求：（16分）①该点应力状态的主应力、和；②主应力的主方向；③主方向彼此正交；解：由式（2—19）知，各应力不变量为、，代入式（2—18）得：也即（1）因式分解得：（2）则求得三个主应力分别为。设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为、、。将及已知条件代入式（2—13）得：（3）由式（3）前两式分别得：（4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2—15）得：则知；（5）同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：主方向为：；（6）主方向为：；（7）主方向为：；（8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知：（9）由此证得主方向与主方向彼此正交。同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。13如图所示，楔形体OA、OB边界不受力。楔形体夹角为2α，集中力P与y轴夹角为β。试列出楔形体的应力边界条件。（14分）解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当θ＝±α时，＝0，＝0；以半径为r任意截取上半部研究知：、14一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。试选取：做应力函数。式中A、B、C、D、E为待定常数。试求：（16分）（1）上述式是否能做应力函数；（2）若可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。（3）写出应力分量表达式。（不计柱体的体力）解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：（a）将式（a）代入，可得：(b)故有：；(c)则有：；(d)略去中的一次项和常数项后得：(e)相应的应力分量为：(f)边界条件：①处，，则；(g)②处，，则；(h)③在y=0处，，，即由此得：，再代入式（h）得：；由此得：（i）由于在y=0处，，积分得：（j），积分得：（k）由方程(j)(k)可求得：，投知各应力分量为：(l)据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。15已知受力物体内一点处应力状态为：（Mpa）且已知该点的一个主应力的值为2MPa。试求：（15分）①应力分量的大小。②主应力、和。16已知一弹性力学问题的位移解为：（13分）；；；式中a为已知常数。试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。解：将位移分量代入几何方程得：；；；由于应变分量是x的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：17设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为。若采用纯三次多项式：作应力函数，式中A、B、C、D为待定常数。试求此悬臂梁的应力解。（15分）解：将式代入知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知Fx＝0，Fy=γ）边界条件：①上边界：，，，代入上式得：A＝B＝0，②斜边界：，，，，则：得：；于是应力解为：题四、2图18试列出下列各题所示问题的边界条件。（每题10分，共20分。）（1）试列出图示一变截面薄板梁左端面上的应力边界条件，如图所示。题四、3、（1）图题四、3、（2）图（2）试列出半空间体在边界上受法向集中P作用——Boussinesq问题的应力边界条件，如图所示。（1）左端面的应力边界条件为：据圣文南原理题四、3、（1）图（2）上边界界：①当时，；②当时，；③当时，；在此边界上上已知：，，；④当设想时，截取一一平面，取上上半部研究，则则由平衡条件件知：，已知：，对称称性19一薄壁圆筒，承受受轴向拉力及及扭矩的作用用，筒壁上一一点处的轴向向拉应力为，环环向剪应力为为，其余应力力分量为零。若若使用Mises屈服条件，试试求：（16分）1）材料屈服服时的扭转剪剪应力应为多多大？2）材料屈服服时塑性应变变增量之比，即即：∶∶∶∶∶。已知Mises屈服条件为为：解：采用柱坐标，则则圆筒内一点点的应力状态态为：则miss条条件知：解得：；此此即为圆筒屈屈服时，一点点横截面上的的剪应力。已知：则：由增量理论知知：则：即：20如图所示一半圆环环，在外壁只只受的法向面面力作用，内内壁不受力作作用。A端为固定端端，B端自由。试试写出该问题题的逐点应力力边界条件和和位移边界条条件。（15分）、解：逐点应力边边界条件：当r＝a时，＝0，＝0；当r＝b时，＝qsiθ，＝0；当θ=π时，＝0，＝0；A端位移边界条件：：当θ＝0，时，ur＝0，uθ＝0，且过A点处径向微微线素不转动动，即＝0；或环向微微线素不转动动，即=0。21已知一点的应变状状态为：，，，，，。试将其分解为为球应变状态态与偏斜应变变状态。（15分）解：；；22已知受力物体内一一点处应力状状态为：（Mpa）且已知该点的的一个主应力力的值为2MPa。试求：（18分）①应力分量的大大小；②主应力、和。解（1）：；即：，将：代入上式解得得：；故知：由：又解（2）：：代入教材、公公式：代入由：，且由上式知：：2式知，由3式，故，则知：；（由1式）再由：展开得：；则知：；由：即：；；再由：知：23一厚壁圆筒，内半半径为a，外半径为b，仅承受均均匀内压q作用（视为为平面应变问问题）。圆筒筒材料为理想想弹塑性，屈屈服极限为。试试用Trescca屈服条件，分分析计算该圆圆筒开始进入入塑性状态时时所能承受的的内压力q的值。已知知圆筒处于弹弹性状态时的的应力解为：；；；；；；上式中：a≤r≤b。（16分）解：由题目所给条条件知：则由Tressca条件：知：则知：24梯形横截面墙体完完全置于水中中，如图所示示。已知水的的比重为，试试写出墙体横横截面边界AAA'，AB，BB’的面力边界界条件。25作用均匀分布载荷荷q的矩形横截截面简支梁，如如图所示。根根据材料力学学分析结果，该该梁横截面的的应力分量为为

试检验上上述分析结果果是否满足平平衡微分方程程和面力边界界条件。26单位厚度的楔形体体，材料比重重为，楔形体体左侧作用比比重为的液体体，如图所示示。试写出楔楔形体的边界界条件。27已知球体的半径为为r，材料的密密度为1，球体在密密度为1（1＞1）的液体中中漂浮，如图图所示。试写写出球体的面面力边界条件件。28矩形横截面悬臂梁梁作用线性分分布载荷，如如图所示。试试根据材料力力学应力解答答推导挤压应力y的的表达式。29等厚度板沿周边作作用着均匀压压力q，若O点不能移动动和转动，试试求板内任意意点的位移分分量。30简支梁仅承受自身身重量，材料料的比重为，试试检验函数f=Ax2y33+By5+Cy3+Dx2y

是否可以以作为应力函函数，并且求求各个待定系系数。31建筑在水下的墙体体受水压，轴轴向压力F和侧向力F作用，如图图所示。已知知墙体的端部部与水平面等等高，水的比比重为，侧向向力与水平面面距离为2h，设应力函函数为f=Ay3+BBx2+Cxy+Dx3y+Ex3

试求y=3h墙体截面的的应力分量。32已知如图所示单位位厚度的矩形形薄板，周边边作用着均匀匀剪力q。试求边界界上的并求其应力力分量（不计计体力）。33矩形截面柱侧面受受均布载荷qq的作用，如如图所示。试试求应力函数数及应力分量量（不计体力力）。34如图所示悬臂梁，承承受均布载荷荷q的作用，试试检验函数f=Ay3+BBx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y

能否做为为应力函数。如如果可以，求求各个待定系系数及悬臂梁梁应力分量。35矩形截面柱体承受受偏心载荷作作用，如果不不计柱体自身身重量，则若若应力函数为为f=Ax3+BBx2

试求：

a.应应力分量和应应变分量；

b.假假设O点不动，且且该点截面内内的任意微分分线段不能转转动，求其位位移分量；

c.轴线线的位移－挠挠曲线方程。36已知悬臂梁如图所所示，如果悬悬臂梁的弯曲曲正应力x由材料力学学公式给出，试试由平衡方程程式求出y及xy，并检验计计算所得的应应力分量能否否满足应力表表示的变形协协调方程。37三角形悬臂梁，承承受自重作用用，如图所示示。已知材料料的比重为，试确定应应力函数及应应力分量。3839根据各向同性体的的广义虎克定定理，证明主主应力方位与与主应变方位位相重合（15分）。证明：已知广义虎虎克定律（1）（3分）而主应力状态下有有（2）（2分）令主应力方向余弦弦为，则相应应的特征方程程为（3）（4分）且：上式中为对应的主主应力方向。将将式（1）、（2）代入式（3）整理得：：（4）（4分）上式正好为主应变变方程，对应的主应应变方向也为为。可见：对对于均匀各向向同性体，主主应力方向和和主应变方向向重合。（2分）40已知应力函数，试试求出应力分分量并画出下下图中薄板斜斜边界上对应应的面力分布布情况(包括正应力力和剪应力)。（15分）解：由公式：（3分）在斜截面上的方向向余弦为：，（2分）由坐标变化公式，斜斜截面上的正正应力为（4分）B点：，C点：，如如图所示。0xy0xy0xy0xy斜截面正应力分布斜截面剪应力分布ABBA(+)（4分）（3分）B点：，C点：，如如图所示。41对于图示的偏心压压缩杆件，已已知压力P和偏心矩e。试求应力力分布。（20分）。解：1、由材料力学可知知：即沿x方向线性分布。可设：（3分）又由：推得应力力函数为：（3分）2、应力分量为（2分）3、由边界条件定常常数上端面：静静力等效①、（4）②、（4分）则应力分量为，（2分）42试列出图5-1的的全部边界条条件，在其端端部边界上，应应用圣维南原原理列出三个个积分的应力力边界条件。（板厚）图5-1解：在主要边界上上，应精确满满足下列边界界条件：，；，在次要边界上，应应用圣维南原原理列出三个个积分的应力力边界条件，当当板厚时，，，在次要边界上，有有位移边界条条件：，。这两个位位移边界条件件可以改用三三个积分的应应力边界条件件代替：，，43试考察应力函数，，能满足相相容方程，并求出应力力分量（不计计体力），画画出图5-2所示矩形体体边界上的面面力分布，并并在次要边界界上表示出面面力的主矢和和主矩。图5-2解：（1）相容条条件：将代入入相容方程，显显然满足。（2）应力分量表达式式：，，（3）边界条件：在主主要边界上，即即上下边，面面力为，在次要边界上，面面力的主失和和主矩为弹性体边界上的面面力分布及在在次要边界上上面力的主失失量和主矩如如解图所示。44设有矩形截面的长长竖柱，密度度为，在一边边侧面上受均均布剪力q,如图5-3所示，试求应应力分量。（提提示：采用半半逆解法，因因为在材料力力学弯曲的基基本公式中，假假设材料符合合简单的胡克克定律，故可可认为矩形截截面竖柱的纵纵向纤维间无无挤压，即可可设应力分量量）图5-3解：采用半逆解法法，因为在材材料力学弯曲曲的基本公式式中，假设材材料符合简单单的胡克定律律，故可认为为矩形截面竖竖柱的纵向纤纤维间无挤压压，即可设应应力分量，(1)假设应力力分量的函数数形式。(2)推求应力力函数的形式式。此时，体体力分量为。将将代入应力公公式有对积分，得，（a）。（b）其中，都是的待定定函数。(3)由相容方程程求解应力函函数。将式（b）代入相容容方程，得这是y的一次方程，相容容方程要求它它有无数多的的根（全部竖竖柱内的y值都应该满满足），可见见它的系数和和自由项都必必须等于零。，，两个方程要求，((c)中的常数项，中的的一次和常数数项已被略去去，因为这三三项在的表达达式中成为y的一次和常常数项，不影影响应力分量量。得应力函函数(dd)（4）由应力函数求应应力分量。，(e))，(ff).(g))(5)考察边界界条件。利用用边界条件确确定待定系数数先来考虑左右两边边的主要边界界条件：，，。将应力分量式(ee)和(g)代入，这些些边界条件要要求：，自然满足；(h)(i))由（h）（i）得（j）考察察次要边界的的边界条件，应应用圣维南原原理，三个积积分的应力边边界条件为；得，得（k）由（h）（j）（k）得,将所得A、B、CC、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分分量为：，，45图示半无限平面体体在边界上受受有两等值反反向，间距为为d的集中力作作用，单位宽宽度上集中力力的值为P，设间距d很小。试求求其应力分量量，并讨论所所求解的适用用范围。（提提示：取应力力函数为）（13分）题三（1）图解：很小，，可近近似视为半平平面体边界受受一集中力偶偶M的情形。将应力函数代入，可可求得应力分分量：；；边界条件：：（1）；代入应力分量式，有有或（1）（2）取一半径为r的半圆为脱脱离体，边界界上受有：，和和M=Pd由该脱离体的平衡衡，得将代入并积分，有得（2）联立式（1）、（2）求得：，代入应力分量式，得得；；。结果的适用性：由由于在原点附附近应用了圣圣维南原理，故故此结果在原原点附近误差差46图示悬臂梁，受三三角形分布载载荷作用，若若梁的正应力力由材料力学学公式给出，试试由平衡微分分方程求出，并并检验该应力力分量能否满满足应力表示示的相容方程程。（12分）题三（2）图解：（1）求横截截面上正应力力任意截面的弯矩为为，截面惯性性矩为，由材材料力学计算算公式有（1）（2）由平衡微分方程程求、平衡微分方程：其中，。将式（11）代入式（2），有积分上式，得利用边界条件：，有有即（4）将式（4）代入式式（3），有或积分得利用边界条件：，得：由第二式，得将其代入第一式，得得自自然成立。将代入的表达式，有有（5）所求应力分量的结结果：（6）校核梁端部的边界界条件：（1）梁左端的边界（x=0）：，代入入后可见：自自然满足。（2）梁右端的边界（x=l）：可见，所有边界条条件均满足。检验应力分量是否否满足应力相相容方程：常体力下的应力相相容方程为将应力分量式（66）代入应力力相容方程，有有，显然，应力分量不不满足应力相相容方程，因因而式（6）并不是该该该问题的正正确解。47一端固定，另一端端弹性支承的的梁，其跨度度为l，抗弯刚度度EI为常数，梁梁端支承弹簧簧的刚度系数数为k。梁受有均均匀分布载荷荷q作用，如图图所示。试：：（1）构造两种形式（多多项式、三角角函数）的梁梁挠度试函数数；（2）用最小势能原理理或Ritz法求其多项项式形式的挠挠度近似解（取1项待定系数）。（13分）题二（3）图解：两种形式的梁梁挠度试函数数可取为——多项式函数数形式——三角函数形形式此时有：即满足梁的端部边边界条件。梁的总势势能为取：，有，代入总势能计算式式，有由，有代入梁的挠度试函函数表达式，得得一次近似解解为48已知受力物体内某某一点的应力力分量为：，，，，，，试求经过过该点的平面面上的正应力力。（12分）解：由平面方程，得得其法线方向向单位矢量的的方向余弦为为，，，49常体力情况下，用用应力函数表表示的相容方方程形式为，请请问：相容方方程的作用是是什么？两种种解法中，哪哪一种解法不不需要将相容容方程作为基基本方程？为为什么？（13分）答：（1）连续体的形变分分量（和应力力分量）不是是相互独立的的，它们之间间必须满足相相容方程，才才能保证对应应的位移分量量存在，相容容方程也因此此成为判断弹弹性力学问题题解答正确与与否的依据之之一。（2）对于按位移求解解（位移法）和和按应力求解解（应力法）两两种方法，对对弹性力学问问题进行求解解时位移法求求解不需要将将相容方程作作为基本方程程。（3）（定义）按位移移求解（位移移法）是以位位移分量为基基本未知函数数，从方程和和边界条件中中消去应力分分量和形变分分量，导出只只含位移分量量的方程和相相应的边界条条件，并由此此解出应变分分量，进而再再求出形变分分量和应力分分量。50考虑上端固定，下下端自由的一一维杆件，见见题七图，只只受重力作用用，（ρ为杆件密度度，g为重力加速速度），并设设μ=0。试用位移法求解杆杆件竖向位移移及应力。（14分）（平面问题的平衡衡微分方程：：，；用位移分量量表示的应力分量表达式：：，，）解：据题意，设位位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。根据将用位移分量量表示的应力力分量代入平平面问题的平平衡微分方程程，得到按位位移求解平面面应力问题的的基本微分方方程如下： (a) (b)将相关量代入式((a)、(b)，可见(a)式（第一式）自然满足，而而(b)式第二式成成为可由此解出 (c)本题中，上下边的的边界条件分分别为位移边边界条件和应应力边界条件件，且将(c)代代入，可得反代回(c)，可可求得位移：：51设有函数，（1）判断该函数可否作作为应力函数数？（3分）（2）选择该函数为应力力函数时，考考察其在图中中所示的矩形形板和坐标系系（见题九图）中能解决决什么问题（l>>h）。（15分）题九图解：题九图（1）将φ代入相容方程，显显然满足。因因此，该函数数可以作为应应力函数。（2）应力分量的表达达式： 考察边界条件：在在主要边界yy＝±h/2上，应应精确满足应应力边界条件件在次要边界x＝00上，应用圣圣维南原理，可可列出三个积积分的应力边边界条件：在次要边界x＝ll上，应用圣圣维南原理，可可列出三个积积分的应力边边界条件： 对于如图所示的矩矩形板和坐标标系，结合边边界上面力与与应力的关系系，当板内发发生上述应力力时，由主边边界和次边界界上的应力边边界条件可知知，左边、下下边无面力；；而上边界上上受有向下的的均布压力；；右边界上有有按线性变化化的水平面力力合成为一力力偶和铅直面面力。所以能够解决右端端为固定端约约束的悬臂梁梁在上边界受受均布荷载qq的问题。52535455565758如图所示，悬臂梁梁上部受线性性分布荷载，梁梁的厚度为1，不计体力力。试利用材材料力学知识识写出，表达式；并利用平面问问题的平衡微微分方程导出出，表达式。分析：该问题属于于平面应力问问题；在材料料力学中用到到了纵向纤维维互不挤压假假定，即无存在，可可以看出上边边界存在直接接荷载作用，则则会有应力存存在，所以材材料所得结果果是不精确的的；在平衡微微分方程二式式中都含有，联联系着第一、二二式；材料力力学和弹性力力学中均认为为正应力主要要由弯矩引起起。解：横截面弯矩：，横横截面正应力力代入平衡微分方程程的第一式得得：（注意未未知量是的函函数），由得出，可见将代入平衡微分方程程的第二式得得：，，59某一平面问题的应应力分量表达达式：，，，体力不计计，试求，，的值。解答：两类平面问问题的平衡微微分方程是一一样的，且所所给应力分量量是实体的应应力，它对实实体内任意一一点均是成立立的。将所给给应力分量代代入平衡微分分方程中：代入第一式：，即：，，，代入第二式：，即：，，，，60设物体内的应力场场为，，，，试求系数数。解：由应力平衡方方程的：即：（1）（2）有（1）可知：因为与为为任意实数且且为平方，要要使（1）为零，必必须使其系数数项为零，因因此，（3）（4）联立（2）、（33）和（4）式得：即：61已知图示平板中的的应力分量为为：，，。试确定OA边界上的方向向面力和AC边界上的方向向面力，并在在图上画出，要要求标注方向向。解：1、OA边界上的方向面力力：，在处，=，正值表示方向和和坐标轴正向向一致，且成成三次抛物线线分布，最大大值为。2、AC边界上的方向面力力：，在处，==，负值表示方向和和坐标轴正向向相反，成直直线分布，最最小值为0，最大值为为。62已知下列应变状态态是物体变形形时产生的，试试求各系数之之间应满足的的关系。解：为了变形连续，所所给应变分量量必须满足相相容方程，将将其代入到式式相容方程中中得出，上式应对任意的的均成立，所所以有：，由由此可得到各各系数之间应应满足的关系系是。系数可取任任意值，同时时也说明了常常应变不论取取何值，实体体变形后都是是连续的。63已知平面应变状态态下，变形体体某点的位移移函数为：，，试求该点的应变变分量。解：，，64设，其中为常数，试试问该应变场在什什么情况下成成立？解：对求的2次偏偏导，即：，即：时上述应变场场成立。65试由下述应变状态态确定各系数数与物体体力力之间的关系系。，分析：该问题为平平面应变问题题，因为平面面应变问题总总有；所给应应变存在的可可能性，即应应变分量必须须满足相容方方程，才是物物体可能存在在的；因为要要求求出体力力，体力只是是和平衡微分分方程有关，需需要先求出应应力分量，而而应力分量可可通过应力与与应变关系即即物理方程求求出，由应变变求出应力，注注意两类问题题的物理方程程不一样，需需要应用平面面应变问题的的物理方程。解：（1）检验该该应变状态是是否满足相容容方程，因为为：，即，满足。（2）将应变分量代入入到平面应变变问题的物理理方程式（2-23）中求出应应力分量：（3）将上述应力分量量代入到平衡衡微分方程式式（2-2）中，可得得到各系数与与物体体力之之间的关系：：（4）讨论：若无体力力（），则由由上式可得，根据它对物体内内的任意一点点均成立，又又可得结论：若体力不为为零，各系数数与物体体力力之间的关系系即是（3）的结果；；若体力为零零，则是（4）的结果；；是任意值。66如图所示为矩形截截面水坝，其其右侧受静水水压力，顶部部受集中力作作用。试写出出水坝的应力力边界条件（下下边界不写）。解：应力边界条件件公式为：；；。1）左右边界为主要要边界，利用用面力边值条条件：左面（）：，则：：右面（）：，则：：2）上端面（）为小小边界应用静静力等效：，，67平面问题如图所示示，已知位移移分量为：，。若已知变变形前点坐标标为（1.5，1.0），变形后后移至（1.503，1.001），试确定定点的应变分分量。答：；点的应变分量：。（3分）68试写出如图所示的的位移边界条条件。（1）图（）为梁的固固定端处截面面变形前后情情况，竖向线线不转动；（2）图（）为梁的固固定端处截面面变形前后情情况，水平线线不转动；（3）图（）为薄板放放在绝对光滑滑的刚性基础础上。答：（1）图（），，；（2）图（），，；（3）图（）边界位移移边界条件为为：，69试验证应力分量，，是否为图示平面问题的的解答（假定定不考虑体力力）。解答：1）将应力力分量代入平平衡微分方程程，得0+0=0，，得，故不满足平衡微分分方程2）将应力分量代入入相容方程：：，或写成，故：满满足相容方程程3）将应力分量代入入边界条件：：主要边界如下：在边界上：，即0==0，满足；在边界上：，即0==0，满足；在边界上：，将题所所给表达式代代入满足；在边界上：，将题所所给表达式代代入满足；（在及次要边界上上，采用圣维维南原理等效效，不要求学学生写出）4）结论：所给应力力分量不是图图所示平面问问题的解答。70图所示楔形体，处处形抛物线，下下端无限伸长长，厚度为11，材料的密密度为。试证证明：，，为其自重应应力的正确解解答。证明：该问题为平平面应力问题题，体力为常常量，正确的的应力解答要要同时满足相相容方程、平平衡微分方程程和应力边界界条件。1）考察是否满足相容容方程：将应应力分量代入入到相容方程程中，，代入入满足；2）考察是否满足平平衡微分方程程：代入第一式：，即即0+0+00=0，满足；代入第二式：，即即，满足；3）考察边界条件：：,，，，，代入第一式：，即即（）；代入第二式：，即即（）；曲线的斜率为，而而，则，将其连同应力分分量代入到（）中，满足足；同理代入入到（）中，也满满足，因此满满足边界条件件。故是正确解答。71已知如图所示悬挂挂板，在O点固定，若若板的厚度为为1，材料的相相对密度为，试试求该板在重重力作用下的的应力分量。解答：1、确定应应力函数分析截面内力：，故故选取积分得：，代入相相容方程，有有：，要使对任意的xx、y成立，有有，积分，得：，。2、计算应力分量（含含待定常数，体体力不为0），，3、由边界条件确定定常数左右边界（）：，自自然满足；；；，下边界（）：4、应力解答为：，72试检验函数是否可可作为应力函函数。若能，试试求应力分量量（不计体力力），并在图图所示薄板上上画出面力分分布。解答：检验函数：：因为代入相相容方程，满满足相容方程程，因此该函函数可作为应应力函数。应力分量：由应力力函数所表示示的应力分量量表达式求得得应力分量为为：板边面力：根据应应力边界条件件公式，求出出对应的边界界面力。上边界：得出下边界：得出左边界：得出右边界：得出面力分布如图所示示：7374756.3在拉伸试试验中，伸长长率为，截面面收缩率为，其其中和为试件的初初始横截面面面积和初始长长度，试证当当材料体积不不变时有如下下关系：证明：将和的表达达式代入上式式，则有6.4为了使幂幂强化应力-应变曲线在在时能满足虎虎克定律，建建议采用以下下应力-应变关系：：(1))为保证及在处连续，试试确定、值。(2))如将该曲线线表示成形式式，试给出的的表达式。解：：（1）由在处连续，有有（a）由在在处连续，有有（b）（aa）、（b）两式相除除，有（c）由由（a）式，有（d）（2）取形式时，当：即当：应力相等，有解出得，（代入值）（代入值）6.5已知简单拉拉伸时的应力力-应变曲线如图图6-1所示，并并表示如下：：问当采用刚塑性模模型是，应力力-应变曲线应应如何表 示？图6-1解：刚塑性模型不不考虑弹性阶阶段应变，因因此刚塑性应应力应变曲线线即为 曲线，这不不难由原式推推得而在强化阶段，，因因为这时将都移到等式左边，整整理之即得答答案。其中6.6已知简单单拉伸时的曲曲线由（6.1）式给出，考考虑横向应变变与轴向应 变的比值在弹性阶段，为材材料弹性时的的泊松比，但但进入塑性阶阶段后值开始始增大最后趋趋向于。试给给出的变化规规律。解：按题设在简单单拉伸时总有有（a）左边为体积变形，不不论材料屈服服与否，它要要按弹性规律律变化，即有有（b）比较（a），（bb）两式，得得将表达式代入，即可可得。6.7如图所示等等截面直杆，截截面积为，且且。在处作用一一个逐渐增加加的力。该杆杆材料为线性性强化弹塑性性，拉伸和压压缩时性能相相同。求左端端反力和力的关系。解解：（1）弹性阶段段基本方程：平衡方方程（a）几何方程（b）本构方程（c）联立求出显然，，段先屈服服，取，得，当时，值如上述述表达式。（2）弹弹塑性阶段（a段塑性，b段弹性）平平衡方程和几几何方程仍为为（a）、 （b）式。本构方程：且设将本构方程代入几几何方程：即两侧同乘面积，并并利用平衡方方程（a），得解出令，则得（e）本阶段结束时，由几何方程且利用平衡方程（f）当时，为（e）式。（3）塑塑性阶段平衡方程程和几何方程程同上。本构方程（g）与（2）弹塑性阶段同样样步骤：可得得6.8如图所示示等截面直杆杆，截面积为为，且。在处作用一一个逐渐增加加的力。该杆杆材料为理想想弹塑性，拉拉伸和压缩时时性能相同。按按加载过程分分析结构所处处不同状态，并并求力作用截截面的位移与与的关系。解：基本本方程为平衡方程（a）几何方程程（b）本构方程程（1）弹性性阶段由前题知知，因，故。截面位移本阶段终止时，弹塑性阶段（）此时，截面位移移由段变形控控制：且本阶段终止时，（3）塑性性阶段（）无限位移移（为不定值值）。（4）图图线斜率比较较：段：段：6.9如图所示示三杆桁架，若若，杆件截面面积均为，理理想弹塑性材材料。加载时时保持并从零零开始增加，求求三杆内力随随的变化规律律．解：基基本方程为（a)几何何方程：（b）协调调关系：本构构方程：（c）（1）弹性阶段段（）利用（a）、（b）及（c）第一式，联联立求解得即可看出结构弹性极限：令令有（2）弹塑性阶段（）取，结构成为静定，由由平衡方程解得若取，即此时即当时，内力为上上列值，当时，杆1和杆2已 进入塑性阶阶段，当时，两两杆为无线变变形，结构已已成为机构。 故，此结构。6.11如图所所示三杆桁架架，理想弹塑塑性材料，杆杆件截面面积积均为，求下下述两种加载载路径的节点点位移和杆件件应变：(1)先先加竖向力，使使结构刚到达达塑性极限状状态，保持不不变，开始 加力，使桁架架再次达到塑塑性极限状态态。(2)先先加水平力，使使结构刚到达达塑性极限状状态，保持久久不变，开始始 加力，使桁架架再次达到塑塑性极限状态态。解：此结构构的基本方程程为（a）几何方程程：（b）且有：本构方程程：（c） 将基本方程程用其相应的的增量表示为为几何方程：且有：本构方程：（1）加载路径径见（1）教材（2）加载路径径见（2）第一阶段：先加，由由基本方程可可得显然然，1杆、3杆同时屈服服，此时（d）第二二阶段：在保保持不变的情情况下施加力力，这是由相应应改变，此时时， 节点位移增增量为由增增量形式几何何方程这说说明杆1、2、3均伸长，即即杆3卸载。由增增量形式平衡衡方程说明明保持不变，增加时时，必须减小小，当取，，即杆2进入拉伸屈屈服，此时，将将各项增量与与（d）式相应初初始