人教版九年级上册第二十一章一元二次方程根与系数的关系课件

根与系数关系根与系数关系11.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况24、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2x2-5x+6=0x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0

x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0②(x+4)(x-7)=0①(x-2)(x-3)=0x2+7x+10=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？4、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和33新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2那么有x1+

x2=-p,x1•x2=q猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？x2=1解得：x1=所以得到,x1+x2=x1•x2=新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x24（5）若一根为1,则abc0;(二次项系数为1)为:那么有x1+x2=-p,x1•x2=q（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。所以：猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？∴两根之和m10,m1,且0所以得到,x1+x2=已知：如果一元二次方程因此，他获得了“代数学之父”之称。运用根与系数的关系解题类型是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。问题1：从求这些方程的过程中你发现根一元二次方程的一般形式是什么？两根均为正的条件：X1+X2且X1X2。1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另引申:1、若ax2bxc0(a00)已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0请同学们在课后通过以下几道题检测X12+X22=(X1+X2)2-___=___填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？（5）若一根为1,则abc0;填写下表：两根之和两根5已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。求证：已知：如果一元二次方程6推导:推导:7人教版九年级上册第二十一章一元二次方程根与系数的关系课件8如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。如果一元二次方程9一元二次方程的

根与系数的关系

16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。

一元二次方程的

根与系数的关系10(二次项系数为1)为:口答下列方程的两根之和与两根之积。的一个根为1，则方程的另一根为___，K2-2(k+2）=4一元二次方程根与系数的关系是什么?即(X1+X2)2-2X1X2=4因此，他获得了“代数学之父”之称。①(x-2)(x-3)=0不解方程，求下列各式的值。X1+X2=___,X1X2=____，（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？（1）已知方程的∴两根之积2m11m1且0,∴两根之和m10,m1,且0已知：如果一元二次方程要特别注意，方程有实根的条件，即在初1.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。(二次项系数为1)为:1.3.2.4.5.口答下列方程的两根11练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回12

例1：已知是方程的两个实数根，求的值。解：根据根与系数的关系:例1：已知是方程的两个实数根，求的值。解：根据根与系数13例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程

两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么返回例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程解：设方程的两个根是14例1.

不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。（解法如上）运用根与系数的关系解题类型例1.运用根与系数的关系解题类型15求它的另一个根和m的值。那么有x1+x2=-p,x1•x2=q有一个正根，一个负根，求m的取值范围。请同学们在课后通过以下几道题检测∴两根之和m10,m1,且0能应用根与系数的关系.（3）若一根为0,则c0;因此，他获得了“代数学之父”之称。的两个根分别是、，那么：（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x234、已知两根求作新的方程是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___解：设方程的两个根如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2一元二次方程的一般形式是什么？韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。请同学们在课后通过以下几道题检测练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值求它的另一个根和m的值。用根与系数的关系，不解方程，几种常见16

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.求与方程的根有关的代数式的值时,17例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23

（3）例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，181、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则

X1+X2=

___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=

___(X1-X2)2

=(___)2-4X1X2=___

3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是

_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另X1+X219

例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7

答：方程的另一个根是，k=-7例2：已知方程20练习：（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。练习：21（3）、已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为___，m=___：

（4）、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。（3）、已知一元二次方程的22例3：已知方程的两个实数根是且

求k的值。解：由根与系数的关系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴

k=-2解得：k=4或k=－2例3：已知方程的两个实数根解：由根与系数的关23练习：（1）已知方程

的两根为、，且

，求k的值。练习：24练习（2）：

已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.练习（2）：已知关于x的方程x2+(2k+1)+25例4：方程

有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,△={即{m>0m-1<0∴0<m<1例4：方程解:由已知,△={即{m>0∴0<m<126总结规律：两根均为负的条件：X1+X2

且X1X2。

两根均为正的条件：X1+X2

且X1X2。

两根一正一负的条件：X1+X2

且X1X2。

当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0

。即：

一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{总结规律：两根均为负的条件：X1+X227以为两根的一元二次方程4、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2的两个根分别是、，那么：①(x-2)(x-3)=0③(x-3)(x+8)=0（5）若一根为1,则abc0;P36第6题的两根的平方和比两根之积的3倍少因此，他获得了“代数学之父”之称。应用一元二次方程的根与系数关系时，两根均为正的条件：X1+X2且X1X2。运用根与系数的关系解题类型例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值即：∵△=K2-4k-8请同学们在课后通过以下几道题检测一元二次方程根与系数的关系是什么?猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5①∵两根互为相反数∴两根之和m10,m1,且0∴m1时,方程的两根互为相反数.以为两根的一元二次方程练习：方程x2(28②∵两根互为倒数

m26m5,∴两根之积2m11m1且0,∴m1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2m10

且0,∴时,方程有一根为零.②∵两根互为倒数m26m5,29引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0

;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.引申:1、若ax2bxc0(a00)30

2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.

3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.

1.一元二次方程根与系数的关系是什么?总结归纳2.应用一元二次方程的根与系数关系时，3.应用一元二31以为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:

4、已知两根求作新的方程以为两根的一元二次方程4、已知两根求作32请同学们在课后通过以下几道题检测自己对本节知识的掌握情况：

P36

第6题

P38

第11、12题请同学们在课后通过以下几道题检测33本堂课结束了，望同学们勤于思考，学有所获。Goodbye!Seeyounexttime!本堂课结束了，望同学Goodbye!34根与系数关系根与系数关系351.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况364、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2x2-5x+6=0x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0

x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0②(x+4)(x-7)=0①(x-2)(x-3)=0x2+7x+10=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？4、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和337新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2那么有x1+

x2=-p,x1•x2=q猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？x2=1解得：x1=所以得到,x1+x2=x1•x2=新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x238（5）若一根为1,则abc0;(二次项系数为1)为:那么有x1+x2=-p,x1•x2=q（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。所以：猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？∴两根之和m10,m1,且0所以得到,x1+x2=已知：如果一元二次方程因此，他获得了“代数学之父”之称。运用根与系数的关系解题类型是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。问题1：从求这些方程的过程中你发现根一元二次方程的一般形式是什么？两根均为正的条件：X1+X2且X1X2。1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另引申:1、若ax2bxc0(a00)已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0请同学们在课后通过以下几道题检测X12+X22=(X1+X2)2-___=___填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？（5）若一根为1,则abc0;填写下表：两根之和两根39已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。求证：已知：如果一元二次方程40推导:推导:41人教版九年级上册第二十一章一元二次方程根与系数的关系课件42如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。如果一元二次方程43一元二次方程的

根与系数的关系

16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。

一元二次方程的

根与系数的关系44(二次项系数为1)为:口答下列方程的两根之和与两根之积。的一个根为1，则方程的另一根为___，K2-2(k+2）=4一元二次方程根与系数的关系是什么?即(X1+X2)2-2X1X2=4因此，他获得了“代数学之父”之称。①(x-2)(x-3)=0不解方程，求下列各式的值。X1+X2=___,X1X2=____，（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？（1）已知方程的∴两根之积2m11m1且0,∴两根之和m10,m1,且0已知：如果一元二次方程要特别注意，方程有实根的条件，即在初1.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。(二次项系数为1)为:1.3.2.4.5.口答下列方程的两根45练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回46

例1：已知是方程的两个实数根，求的值。解：根据根与系数的关系:例1：已知是方程的两个实数根，求的值。解：根据根与系数47例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程

两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么返回例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程解：设方程的两个根是48例1.

不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。（解法如上）运用根与系数的关系解题类型例1.运用根与系数的关系解题类型49求它的另一个根和m的值。那么有x1+x2=-p,x1•x2=q有一个正根，一个负根，求m的取值范围。请同学们在课后通过以下几道题检测∴两根之和m10,m1,且0能应用根与系数的关系.（3）若一根为0,则c0;因此，他获得了“代数学之父”之称。的两个根分别是、，那么：（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x234、已知两根求作新的方程是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___解：设方程的两个根如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2一元二次方程的一般形式是什么？韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。请同学们在课后通过以下几道题检测练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值求它的另一个根和m的值。用根与系数的关系，不解方程，几种常见50

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.求与方程的根有关的代数式的值时,51例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23

（3）例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，521、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则

X1+X2=

___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=

___(X1-X2)2

=(___)2-4X1X2=___

3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是

_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另X1+X253

例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7

答：方程的另一个根是，k=-7例2：已知方程54练习：（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。练习：55（3）、已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为___，m=___：

（4）、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。（3）、已知一元二次方程的56例3：已知方程的两个实数根是且

求k的值。解：由根与系数的关系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴

k=-2解得：k=4或k=－2例3：已知方程的两个实数根解：由根与系数的关57练习：（1）已知方程

的两根为、，且

，求k的值。练习：58练习（2）：

已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.练习（2）：已知关于x的方程x2+(2k+1)+59例4：方程

有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,△={即{m>0m-1<0∴0<m<1例4：方程解:由已知,△={即{m>0∴0<m<160总结规律：两根均为负的条件：X1+X2

且X1X2。

两根均为正的条件：X1+X2

且X1X2。

两根一正一负的条件：X1+X2

且X1X2。

当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0

。即：

一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{总结规律：两根均为负的条件：X1+X261以为两根的一元二次方程4、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2的两个根分别是、，那么：①(x-2)