小升初数学培优总复习07用图示法解题

小升初数学培优总复习用图示法解题一、温故而知新：一、选择题1.如右图。A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的（）%。（1）25（2）37.5（3）50（4）62.52.“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是（）。（1）5（2）4（3）3（4）2二、填空题1.七年级某班的所有同学都分别参加了课外体育小组和合唱小组，有的同学还同时参加了两个小组。如果参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加合唱小组人数的，这个班只参加体育小组与合唱小组人数的比是（）。2.熊猫妈妈的小宝宝——小熊猫今年2岁了，过了若干年后，当小熊猫和熊猫妈妈当年年龄一样大时，熊猫妈妈已经18岁了。熊猫妈妈今年（）岁。解析：1、如右图。A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的（）%。（1）25（2）37.5（3）50（4）62.5教师引导：此题若要直接求阴影部分占长方形的()%比较困难。换个角度思考，先求空白部分占长方形的()%则比较容易。左上角的三角形占长方形的EQ\F(1,8)，左下角的三角形占长方形的EQ\F(1,4)，右上角的三角形占长方形的EQ\F(1,4)，所以“形”转化为“数”，空白部分一共占EQ\F(1,8)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,4)=EQ\F(5,8)，所以阴影部分的面积是长方形面积的EQ\F(3,8)，即（37.5）%。二、学以致用例1：有A、B、C、D、E五个足球队进行足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。那么E队赛了几场？答案：解：根据分析可将各队比赛过的场次画成下图；从图中可知，E队赛了2场。例2。一个长方形和正方形重叠部分的面积是9平方厘米，占这两个图形面积总和的10%，它们没重叠部分的面积是（）。A.80平方厘米B.90平方厘米C.72平方厘米D.100平方厘米解析：两个图形面积总和是9÷10%=90（平方厘米）未重叠部分面积=两图形的面积和-重叠部分面积×2。答案：解：由题意可知：两个图形的面积总和为：9÷10%=90（平方厘米）未重叠部分的面积为：90-9×2=72（平方厘米）答：它们未重叠部分的面积为72平方厘米。例3：一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地开出，在离中点20千米的地方相遇。相遇时客车和货车所行路程的比是5：3解析：根据分析可画线段图：答案：解：由线段图可知，货车离中点还有20千米，20千米所对应的分率是（EQ\F(1,2)－EQ\F(3,8)）所以全程是：20÷（EQ\F(1,2)－EQ\F(3,8)）=160（千米）。答：甲乙两地相距160千米。解法2：如果从左往右看，观察线段图又可以发现，客车超过中点有20千米，20千米所对应的分率是（EQ\F(5,8)－EQ\F(1,2)），所以全程是：20÷（EQ\F(5,8)－EQ\F(1,2)）=160（千米）。解法3：如果从两头往中间看，观察线段图还可以发现，客车行了全程的EQ\F(5,8)，货车行了全程的EQ\F(3,8)，货车离中点还有20千米，客车超过中点有20千米。所以客车比货车多行了2个20千米，多行的分率是（EQ\F(5,8)－EQ\F(3,8)），所以全程是：2×20÷（EQ\F(5,8)－EQ\F(3,8)）=160（千米）。例4.四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。有12人既不喜欢打乒乓球，也不喜欢打羽毛球，问这个班一共有多少学生？解析：此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。方法一：37+26—21=42（人）方法二：37—21+26=42（人）方法三：37+（26—21）=42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和答案：解：由图示分析可知；喜欢乒乓球或羽毛球的人数为：37+26-21=42（人）全班人数为：42+12=54（人）答：这个班一共有54人。例5有两列火车，一车长130米，每秒行23米；另一列火车长250米，每秒行15米。现在两车相向而行，从相遇到离开需要几秒钟？答案：解：由题意可知；两车从相遇到离开所行驶的路程为：250+130=380（米）两车的速度和为：23+15=38（米/秒）根据路程÷速度=时间可知380÷38=10（秒）答：从相遇到离开需要10秒钟。例6.计算下面各题：EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)EQ\F(1,3)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,24)解析：从图中可以看出：EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)=EQ\F(1,2)－EQ\F(1,16)EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)=EQ\F(1,4)－EQ\F(1,32)EQ\F(1,6)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,24)=EQ\F(1,3)－EQ\F(1,24)答案：解：由图形可知EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)=EQ\F(1,2)×2－EQ\F(1,16)=EQ\F(15,16)EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)=EQ\F(1,4)×2－EQ\F(1,32)=EQ\F(15,32)EQ\F(1,3)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,24)=EQ\F(1,3)×2－EQ\F(1,24)=EQ\F(5,8)像上面，把“数”转化为“形”，数与形巧妙结合起来，不难发现其中的规律：如果前一个分数依次是后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。例7甲乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。每人都在A、B两地间不停地来回运动。第一次在距离A地3千米的C处迎面相遇，第二次在距离B地2千米的D处迎面相遇。求A、B两地间的距离。答案：解：由分析可知：甲乙两人第一次相遇时，甲乙合走一个全程，甲走的路程为3千米；当甲乙两人第二次相遇时，甲乙共合走了三个全程，则甲行的路程为：3×3=9（千米）而甲行驶的路程为一个全程多2千米，则A、B两地间的距离为：9-2=7（千米）答：A、B两地间的距离为7千米。这个题目到这里是不是已经做完了呢？还没有，我发现还存在别的情况，当甲行走的方向（乙行走的方向）没有变，而乙（甲）转变了两次的时候，答案就发生了另外的变化。解：由分析可知：甲乙两人第一次相遇时，甲乙合走一个全程，甲走的路程为3千米；当甲乙两人第二次相遇时，甲乙共合走了三个全程，则甲行的路程为：3×3=9（千米）而甲行驶的路程为一个全程少2千米，则A、B两地间的距离为：9+2=11（千米）答：A、B两地间的距离为11千米。解：由分析可知：甲乙两人第一次相遇时，甲乙合走一个全程，甲走的路程为3千米；当甲乙两人第二次相遇时，甲乙共合走了三个全程，则甲行的路程为：3×3=9（千米）而甲行驶的路程为三个全程少2千米，则A、B两地间的距离为：（9+2）÷3=11/3（千米）答：A、B两地间的距离为11/3千米。例8.在一条公路上，客车和货车同时从相距50千米的两地开出。客车每小时行40千米，货车每小时行60千米，开出多少时间，两车相距80千米？解析：情况一：货车追客车（客车和货车同向而行）解：由题意可知；要使两车相距80千米，则货车应比客车多行的路程为：80+50=130（千米）两车的速度差为：60-40=20（千米/小时）由路程÷速度=时间知；130÷20=6.5（小时）答：开出6.5小时后，两车相距80千米。情况二：客车追货车（客车和货车同向而行）解：由题意可知；要使两车相距80千米，则货车应比客车多行的路程为：80-50=30（千米）两车的速度差为：60-40=20（千米/小时）由路程÷速度=时间知；30÷20=1.5（小时）答：开出1.5小时后，两车相距80千米。情况三：（客车和货车相向而行）解：由分析可知；要使两车相距80千米，则两车行驶的路程和为：80+50=130（千米）两车的速度和为：60+40=100（千米/小时）由路程÷速度=时间知；130÷100=1.3（小时）答：开出1.3小时后，两车相距80千米。情况四：（客车和货车相背而行）解：由分析可知；要使两车相距80千米，则两车行驶的路程和为：80-50=30（千米）两车的速度和为：60+40=100（千米/小时）由路程÷速度=时间知；30÷100=0.3（小时）答：开出0.3小时后，两车相距80千米。例9在一条长400米的环形路上散步，甲、乙两个人同时同地反向而行5分钟可以相遇；如果两个人同时同地同向而行，20分钟后甲首次超过乙，甲每分钟行多少米？解析：由题目中的条件可知；甲的速度要比乙的速度快。反向行走由路程和÷时间=速度和可求出两人的速度和。同向行走由路程差÷时间=速度差可求出两人的速度差。答案：解：由题意可知；甲乙两人的速度和为：400÷5=80（米/分钟）甲乙两人的速度差为：400÷20=20（米/分钟）所以甲的速度为：（80+20）÷2=50（米/分钟）答：甲每分钟行50米。三、精选好题：1.甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。乙火车在前，甲火车在后，两火车在双轨车道上行驶。甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？解析：甲火车从追上到超过乙火车，比乙火车多行了甲、乙两火车车身长度的和，而两车速度的差是18－13=5米，因此，甲火车从追上到超过乙火车所用的时间是：（210＋140）÷（18－13）=70秒。答案：解；由题意可知；甲火车从追上到超过乙火车所行驶的路程为：210+140=350（米）两车的速度差为：18-13=5（米/秒）根据路程÷速度=时间可知：350÷5=70（秒）答：甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用70秒。2.四年级有学生75人，在一次校田径运动会中，参加田赛的有35人，参加径赛的有29人，既参加田赛又参加径赛的有6人，问两项都未参加的有多少人？解析：如图，要求两项都未参加的，要先求出至少参加一项的有多少人，从全年级中除去至少参加一项的就是所求。至少参加一项的=58（人）75－58＝17（人）答：两项都未参加的有17人。3.甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，有一辆车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快地同时到达飞机场，两个班商定由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发。甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车立即返回接在中途步行的乙班学生。已知甲乙两班学生步行的速度相同，汽车的速度是步行速度的7倍。汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？（学生上、下车及汽车换向的时间都不计算）。解析：结合题目中的信息和分析,大致画出线段图如图所示，汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点，汽车所行路程应为乙班步行的7倍，即比乙班学生多走6倍，因此汽车单程比乙班步行多（6÷2）=3（倍）。汽车返回与乙班相遇时，乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。由此得出汽车送甲班学生下车地点到机场的距离为学校到机场的距离的1/5。列算式为24÷（1+3+1）=4.8（千米）答：汽车应在距飞机场4.8千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场。4.斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都作出了开创性的工作。一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位朋友向他请教了如下一个问题：每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜，试问，每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？同学们，你能试着帮助斯图姆解决这个问题吗？解析：“图示法”就可以轻松解决这个问题。如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市（如下图）。把从纽约出发的轮船的出发日期和到达哈佛的日期连成线段，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程图线。最后我们假设这艘从哈佛出发的轮船的出发时间为7号，把它的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合。看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“斯图姆的轮船相遇问题”的解应为15艘轮船。5.右图是一个不规则的四边形，已知AC=12厘米，BD=16厘米，AC垂直于BD，这个四边形的面积是（）平方厘米。解析：1：从上下来看图，如果把这个四边形分成这样两个三角形ABD和三角形CBD，那么以BD为底，AO与CO分别为这条底上的高。AO的长度未知，我可以假设AO为5厘米，三角形ABD的面积为16×5÷2=40（平方厘米）；CO就是12－5=7厘米，那么三角形CBD的面积为16×7÷2=56（平方厘米），这个四边形的面积是40+56=96（平方厘米）。2：换个角度来看，从左右来看图，如果把这个四边形分成这样两个三角形ACD和三角形ACB，那么以AC为底，DO与BO分别为这条底上的高。我假设DO为6厘米，三角形ACD的面积为12×6÷2=36（平方厘米）；BO就是16－6=10厘米，那么三角形ACB的面积为12×10÷2=60（平方厘米），这个四边形的面积36+60=96（平方厘米）。3：设AO的长度为a厘米，三角形ABD的面积为16×a÷2；CO就是12－a厘米，那么三角形CBD的面积为16×(12－a)÷2。这个四边形的面积是16×a÷2+16×(12－a)÷2=16×(a+12－a)÷2=16×12÷2=96（平方厘米）。4：设DO的长度为a厘米，三角形ACD的面积为12×a÷2；BO就是12－a厘米，那么三角形ACB的面积为12×(16－a)÷2。这个四边形的面积是12×a÷2+12×(16－a)÷2=12×(a+16－a)÷2=12×16÷2=96（平方厘米）。5：设AO的长度为a厘米，CO的长度为b厘