1994年第11届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考答案

1994年第1994年第11届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考答案第11届全国中学生物理竞赛决赛试题一、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面 12.0cm处的照相胶片P上。今将折射率为1.50、厚AB0.90cm、两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。(1)求插入玻璃板后，像的新位置。(2)如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，并要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？ L吧夏8.(J0cm|一12.00cm二、1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图所示。利用海浪上下起伏的力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电。当海水下降时，阀门K1关闭，K2打开。设每次吸入压强为1.0105Pa,温度为7c的空气0.233m3(空气可视为理想气体)。当海水上升时，K2关闭，海活塞绝热压缩空气，空气压强达到 732105Pa时，阀门K1才打开。K1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部被推入工作室为止， 同时工作室的空气推动涡轮机工作。设打开K1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质量及活塞与筒壁间的摩擦忽略不计。问海水每次上升时所作功是多少？已知空气从压强为P1、体积为V1的状态绝热地改变到压强为 P2、体积为V2的状态过程中，近似遵循关系式P1/P2(V1/V2)5/3。1mol理想气体温度升高1K时，内能改变为3R/2(R8.31J/(molK))。涡轮发电机工作室活寒

三、如图所示，一质量为0.10kg、电量为8104C的带正小球，从水平地面上A点以与X轴正方向成30夹角的初速度W抛出（V0在XOY竖直平面内）。当达到最高点B时（B点恰好处在OY轴上），在全空间立刻产生一个匀强电场 E,场强为2.50103N/C,方向平行于XOY平面，并与X轴负方向成。夹角。当带电小球再次通过OY轴时，匀强电场立刻消失。试分析讨论当。角变化时（0 180）,带电小球自B点以后的运动情况，并画出带电小球在各种情况下的运动轨迹简图（g10m/s2）。四、长方形的风筝如图所示，其宽度 a40cm,长度b50cm,质量M200g（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量M20g,纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，AOBO,C为底边中点，绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计。放风筝时，设地面风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度v持牵绳奔跑时，风筝单位面积所受的空气作用力垂直于风筝表面， 量值为3PKvsin,K8Ns/m,a为风争表面与水平面的夹角。风争表面为光滑平面，各处所受仝气作用力近似认为相等，取g10m/s2,放飞场地为足够大的水平地面。试求：（1）放风筝者至少应以多大的速度奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度 如（2）若放风筝者持牵绳奔跑的速度 v3m/s,调整绑绳CO的长度等于b,为了使风筝能水平稳定飞行，AO与BO的长度应等于多少？ 幺力五、如图所示，为一个电路图(称作“电子张弛震荡器” )。图中Sc恒流源(其电流不因负载的变化而变化)，电流值恒为I。，K为电子开关，它的开、关动作由一个正弦讯号发生器 F产生的电压UF(t)U1UoSint控制，这里J为常电压值，U。和3分别是正弦讯号的幅度和圆频率， U。U1OUf只起控制K动作的作用，不对电容C充放电。当K两端电压(即电容器两端电压) U⑴达至iJUf。)时，K自动合上，使电容C放电，U(t)迅速下降，直到U降到Umin时，K才自动断开。这里Umin是小于U1U。的常电压值。(1)分析电容器两端电压U随时间t的变化规律，并在Ut图上画出UF(t)、Umin和U随t的变化曲线。可以不考虑t0时是如何情况。(2)若在一定的Io、(2)若在一定的Io、U1、Uo、3、Umin参数值下,求每次U(t)Uf⑴时，U(t)数值与各参数的关系。U(t)每相邻两次达到Uf(t)的时间间隔都相等。IoSc六、如图所示，在倾角为。的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m,用一弹性绳栓住。绳的另一端固定在斜面上。点。弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律。绳原长为 L,劲度系数(即倔强系数)为k为k。斜面与质点间的静摩擦系数为参考答案—，1）折射率为-厚度为H的两面平行的玻璃板，对于会聚在像点P'的傍轴光束的折射作用可如下求出：如图7-36,取任一指向P'点的傍轴光线CF',此光线经平行玻璃板折射的光路为COEP。在平板第一面的入射角i与折射角，均为小角度,反向延长EP,交D点处的法线于F.容易看出DF尸"P’为平行四边形.PP=75FPP=75F=bbtanrtani由上式可知，P'/与，无关,这表明此式对任何会聚于尸点的傍轴光线均成立，F”是P经平行板折射后所成的像,同时，P‘P"与P到平行板的距离无关，所以任何位于平行板右方的像点，由于平行板上的折射，都沿平行板法线方向向右平移了一段距离£=）（一1）,本题中&=。+9。cm>w=L50,故有生=0.90（1—=0.30cm即最后所成像产不在胶片上而在胶片后面0.30om处.2）如果保持镜头，玻璃板，胶片三者间距离不变，要使P"落在胶片上,则物体经透镜折射后所成的像P'必须前移0.30cm,即P,与透镜的距商应为v=11,70cm设照相机镜头焦距为人物距为人像距为明透镜成像公式为1□_11一H =-TuvJ不放平行板时，—1J228cm12.00cm/设放平行板后，物距为工时最后所成像落在胶片上，则有1,1 1.工丁11,70cm /由此可解得 H=4,45m

二、海水做功可分为两个阶段来讨论:1）绝热压缩阶段根据热力学第一定律，在绝热过程中海水对气体所做的功等干气体内能的增量,即Ai— =nX'（3/2）R（Tt-Tj）由于在绝热过程中，压强和体积的变化遵循关系式pdPi=产以及理想弋体状态方程立炉=打及了.从而得到T^/Ti=pW/p[Vi=（X/ pS所以Tt=7i(力/%产*=(273-F7)KX(732)2/5=560K欢=义=RT810mo)LOXLO5X0,2338.欢=义=RT810mo)可得 A1=10X（3/2）X8.31X<560-280}J=3.49X10*J2）根据题设把空气推入工作室时活塞附近压力不变，故A2=p*立S，〃=pM其中aS为活塞面积，△/为活塞由气体体积是匕时之位置移到筒之上端的距离，而Vt—%（户]/出产’则Aj=p2V}(pjpt=732xot233X(1/732)3/5XIO466X10*J所以海水做的总功为Aa=A|+4=&15X10*J三、带电小球到最高点B加入匀强电场后，受到两个力的作用，一个是重力厘g,另一个是电场力qE由于电场力在文方向和y方向的分员的大小与白角有关，因此，带电小球自B点以后的运动可分为以下6种情况：1）当qEsin0—mg时，即8=30"，带电小球只受到电场力在z负方向的分量:qEco期的作用，又由于小球在H点具有向工正方向的速度列com,因此，带电小球的运动轨迹如图371所示.2）当/由的<小月时，即0£8<301带电小球受到了负方向力切器一q&in&和工负方向力qE8m又由于小球在B点具有工正方向速度如8曲，这样小球自B点以后的运动随S角变化（0<8<30.）有以下3种情况（见图3-12,图N-13、图3-14）.用＜9W用＜9W图3-14根据上面分析，我们可以在0＜。＜30’范围内找到一个角仇，使得小球运动情况满足图3-13的情况♦也就是小球从B点垂直下落所需时间"也等于小球从B点水平往返运动所需时间，即，赭4=上叫/+£旗＞/=2/渊[1 .而£呵g=TJtocos«/(^Kcosft/«)=mvQcosa/(qEco)=("/4O“9/c0泣)%也=y[2X＜t4sin3a/2g)]/[( —^Esin^)Art]=(^/20)yi/(l-2sin^)式中珈以m/s为单位,£的单位为s.由以上三式可得sii?Oo—6sini?0+2=0根据题意可得 ■*仇=arcsin(3-a)=20*45’3)当gEsi口。＞矶回时，即30“＜。＜90*,带电小球受到y正方向力qEsinU一册月和金负方向力qE—s&又由于小球在H点具有『正方向速度内8做，因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图375所示.4)当90"150"时•即qEsin^Amg•带电小球受到y正方向力qE曲曲一mg和£正方向力又由于小球在B点具有工正方向速度如8眦.因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图3T6所示.5)当0=150°时»即qEsinJ=»?x.带电小球只受到工正方向的力gEcoS,又由于小球在B点具有工正方向速度跳co3因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图377所示， ^6)当15。°〈g180’时，即qE号词＜陋8,带电小球受到下正方向力mg一述合汕6和工正方向力口苫仁凸沙,又由于小球在B点具有上定方向速度wesa,因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图3Tg所示.30Y0<90* 90,0<I50* g=15T 【5(fvgWl80"图3-15 图3-16 图3-17 图3-18四、D设人以速度凭持牵绳奔跑时，风筝恰能平行于地面飞行，此时牵绳平行于地面.设此时风筝表面与地面夹角为原则风力为工用3-49F=kv^absina用3-49Fr=4eo而sin右cosff风筝水平飞行的条件为(见图3・49)■r^Voc^sirkrCOSa=mg当sihucosa取极大值时，可得犯的极小值,因sinacosa=sin2s/2故当.=45*时cos幡ik的极大值为1/2.把『=450代人(1)式，得5之极小值才%=/(hibsinacosa)=0.2X10/(SX0.4XS5X0.5)m/s=2.5m/s2)重新调整绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以v-3m/s的速度奔跑，设此时风筝能保持水平飞行，则kvab^ina•coso=mg代入数值得士吕ixcostf=rng/kvab=0.2X10/(8X3X0.4X0.5)=5/12,sin2a/2=5/12.sin2n=10/12=0.832口=56.4"或12X6“，5=2&2*,4=61.8"当右=3m/s时，风力的水平分量为*F*=Fsina—阮也bsin>由力之平衡得牵绳张力为b Ft=kuabsinfa分别代入外,如值，得工Fti=gX3X0.4X0.5X4n*28.2'N=L07NF-=8X3X0.4Xd5X4/61,8'N=3.73N自O点至AB之中点D,连接一紧绳OD替代A。和BO,以风筝纵面中心CT为支点(如图3-50所示)，则牵绳张力Ft和纸球所产生的力矩分别为上Mt=FrAr>—mg•Zrcosa/2由力矩的平衡Mt=M.，得=Ar=mJgfrcosa/2FT分别代入FTi、Ft2、心值，得in=0.02X10X50Xcos28.27(2X1.07)cm=4.1cmAr；=0.02X10X5。Xcos6L87(2X3.73)cm=0,63cm所以

门=Arz+ -[4.1+(50/2)sir12s.231cm=15.9cmrj=△口+告siiicr*=[。.63+(50/2)sin6L —22.6cm由图知： &in(a—^=r/b分别代入*r及右值得、 用=9,66，佻=34,9°分别代人自、住值，可得工1=2X50Xsin(9.66*/2)cm=8.4cmJq=2X50X冷in(34.9*/2)cm=30cm由 AO-BO="/jcz+(a/2)2分别代人力3a值,可得1 .AO=i/8/4^+(4O/2)Icm—21<7cm或 ：AO=y/3Ql+(40/2)2cm=36cm讨论i4O=36tm有利于风筝起飞.五、1）Uf（。如图2-78中正弦曲线所示，Uz如图中平行于f轴的直线所示.当UQ〉＜Uf（力时，K是断开的，&以恒定电流I。对。充电，每秒内极板上电量的增加成为4,因而每秒内电压的增加量为fq/C在U-E图上为一斜率为八/C的直线.当「=£时，此直线与Uf（D相交，有U（D=UfU），K自动合上，电容C通过K放电.UQ）在极短时间内降到J若在计算中忽略开关与联线的电阻，可认为U⑴由UfC）回降到U.的时间为无限短.Ur图上这一段UQ）为垂直£轴的直线.当降到时《这低用ua+0）-u*表示3K又断开，U"）再次以不变斜率上升,从而电容器两端的电压按锯齿波形变化，形成张弛振荡如图2-78所示.2）设rQh+小…依次为UC）达到上阚值Uf&）的时刻工+oa+i+0、…为降到u*的时刻，当£；+0<£芟7+】时，由于UQ)上升斜直线斜率恒为L/C■有U(E)=Ua+LU7/C当E=E..J时,有(1)(2)u(e=—+/心]7(=Uf".+i)=U]+LIqsin(u>fji+i)(1)(2), ,I(5-U^C.U0C^in(,]h=%H j -r了一1t+1)当任意相邻两次达到UfQ）的时间间隔均相等，即对任一人有Or-，・=九川一，-1="*时由C2)式得到TOC\o"1-5"\h\zsinlgQ=sintMa+i)=… (3)由(3)式，可得出E：+i=W*+ 3=].2,3「*) (4)或 Sf.+i=*—皿£«+2归冗*=1,Z*3「・) (5)由(4)/5)式均可得到口5+1)=口a)=4(以为常量)，但除了在的情况外,(5)式不合题意,这是由于由(5)式得到的一力与-%日并不相等.所以(4)式是等幅张弛振荡的一般解.因而可得i<+1=/,4-2靛/翎,k=1,2,3,…由(1)式可得显然■必须有5—5(5<5+5,所以时每个k值，有一个参数⑶Io、C的允许范围，如果认为电容C值不变小也不变，而选取正弦信号的幅度5与圆频率3构成参数平面•产生P阶等幅张弛振荡”的范围可在叱5平面中标出.不同k值的范围是不同的.六、若质点静止在斜面上任一点M,它在斜面上的位置可用坐标八8表示，如图3-77所示,在嵬子伸长，即出现弹力时,M质点在斜面上受三个力.弹力F="r-L),方向永远指向点C6重力沿斜面的分量P#=Psin*方向永远向下，旦大小不变,静摩擦力石亚年这三力一定构成一个闭合三角形.若在图3-77中用记、血，出分别表示F.P#及E'.则绳子张累时M点可静止区域的边界可由动点4的轨迹■即图中圆I来间接表示.圆工即是以。为中心.以斤为半径的圆.当取。为直角坐标原点，工轴沿斜面向下时，片=F#+Fc。的,F；=F前屈.则有圆I的方程为"用十=即产sin7+状”一L尸+26"-L>Pwin"。的=p1P2cos2^由八点轨迹(圆I)求M点可静止区域边界的依明是：O'M=rfTOC\o"1-5"\h\z, OfA=F=k(rt-L) ⑴B因而得到 rc=(aA/k)+L (2)1n表示可静止区域边界到O'点距离.由此式可得到画出可静止区域边界(以下称为“封闭曲线口”)的作图法是：将各力取倍，重作力三角形后画出圆I,此时(2)式变为：q=O'A+L (3)因而沿次(延长L长度，即得M点，描点即可画此封闭曲线D.U)式实际也是曲线U的极坐标方坦若取O为极点，上方向为极轴，则公的方程为 ^ '(re—L)2+(产//)$沦