（精心整理）二次函数的图像

咸阳育才中学电子教案课题。二次函数的图像主备郝妮涛审核人上课人上课时间教学目标知识与能力：（1）理解二次函数中参数a，b，c，h，k对其图像的影响。(2)掌握二次函数的性质与图象，掌握从函数的性质推断图象的方研究法。过程与方法：掌握从函数解析式、性质出发去认识函数图象的高度理解和研究函数的方法。情感态度和价值观：让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法重要；培养学生主动学习、合作交流的意识等。教学重、难点探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移的规律求函数解析式，并能将平移的规律迁移到其它函数。教学方法教师的主导作用和学生的主体地位相统一学法指导自主探索、合作交流、归纳方法教学过程上课教师补充教学内容要点一、导入新课在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．复习回顾①请回顾二次函数的定义.②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？学生讨论后回答，教师PPT演示结果一般地，函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有交点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．二、讲解新课问题提出（板书在黑板一侧）1.和的图像之间有什么关系？2.和的图像之间有什么关系？3.和的图像之间有什么关系？问题探索（学生独立完成）1.和的图像之间有什么关系？动手实践：（1）填写表1，用描点法在同一坐标系中画出y＝x2和y＝2x2的图像．.表1x…－3－2－10123…x2[来……2x2……（2）要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大为原来的几倍？这种情况是如何在图像上表现的？（3）如何由的图像得到的图像？呢？（4）你能总结出和的图像之间的关系吗？参数对图像有何影响？（5）通过类比，你能说出如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像吗？图1图2【设计意图】通过实际操作，是学生对图像的伸缩变换能有较深刻的认识，问题串的设置层层递进，学生能在其中感受到自我探索的乐趣。在问题（4）的回答之后教师还通过几何画板改动中参数的值演示图像，让学生有更直观的感知。问题探索2.和的图像之间有什么关系？动手实践：（1）在同一坐标系中画出、、的图像，观察图像，如何由的图像得到和的图像？（2）如何由的图像得到的图像？参数对函数的图像有何影响？在不变的前提下，改变参数的值，抛物线的形状会改变吗？（3）请你写出一个开口向下，顶点为（-3,1）的二次函数的解析式，并画出简图。（4）你能用类比的思想，归纳出如何由函数的图像平移至函数的图像吗？结果呈现：（1）y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，如图3.图3观察图3，得把y＝2x2的图像向左平移一个单位长度得y＝2(x＋1)2的图像，再把y＝2(x＋1)2的图像向上平移3个单位得y＝2(x＋1)2＋3的图像．（2）把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像．只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．图像形状只与有关。（3）例如y＝－(x＋3)2＋1.其图像如图4所示，图4（4）把y＝f(x)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝f(x＋h)的图像，再把y＝f(x＋h)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝f(x＋h)＋k的图像．师：平移变换口诀：左+右-，上+下-问题探索3.和的图像之间有什么关系？问1：回顾一下函数与，即的图像之间的联系，你能得出什么结论？师生共同概括：一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而就可以知道由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像．问2：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？生：确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.三、讲解范例例1.二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．启发提问：确定二次函数的开口大小和方向的参数是什么？如题应选取二次函数的哪种形式的解析式才方便解题？解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k，(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x＋1)2又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．课堂练习练习1（1）函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是()．[答案：C来]A．x＝－2，(－2，－1) B．x＝2，(－2，－1)C．x＝－1，(－1，－3) D．x＝1，(－2,3)解析：由y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3得对称轴是x＝－1，顶点是(－1，－3)．(2)将函数y＝x2－2x的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为()．A．y＝x2＋6x＋7 B．y＝x2－6x＋7C．y＝x2＋2x－1 D．y＝x2－2x＋1解析：所得解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－1＝x2－6x＋7.答案：B练习2P45/练习1,2,3例2已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(26,9)，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？[来源:学。科。网]分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2＋k，展开，得y＝－3x2＋6x－3＋k，由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(3－k,2)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(26,9)，得4－eq\f(23－k,3)＝eq\f(26,9).解得k＝eq\f(4,3).所以该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移eq\f(4,3)个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋eq\f(4,3)，即y＝－3x2＋6x－eq\f(5,3).点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论．课堂练习练习3.如果把函数y＝f(x)的图像平移，可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2)，则函数y＝f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为()．A．y＝f(x－1)＋2 B．y＝f(x－1)－2C．y＝f(x＋1)＋2 D．y＝f(x＋1)－2解析：点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q(2,2)，则将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y＝f(x－1)＋2的图像．答案：A拓展练习（看时间情况，可补充为课后练习）来源:学&科&网Z&X&X&K]1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则()．A．a＝1，b＝－4，c＝－11 B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝11 D．a＝3，b＝－12，c＝11解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝2，,\f(4ac－b2,4a)＝－1，,11＝c，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－12，,c＝11.))答案：D2．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，,x2＋bx＋c，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤0.))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为__________．解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－42－4b＋c＝c，,－22－2b＋c＝－2.))解得b＝4，c＝2，画出函数y＝f(x)，y＝x的图像，它们的图像有3个交点，故关于x的方程f(x)＝x有3个解．答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，,x2＋4x＋2，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤0))，33.两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图像只可能是图6中的()．图6解析：这是一道考查二次函数解析式中a，b，c的性质与函数图像特征的相关题目．由于f(x)，g(x)图像的对称轴方程分别是x＝－eq\f(b,2a)，x＝－eq\f(a,2b)，且－eq\f(b,2a)与－eq\f(a,2b)同号，即它们的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；