人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题

葫芦岛第六初级中学葫芦岛第六初级中学“两点的所有连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.

现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.AB①②③PlABCD饮马问题“两点的所有连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然问题1

现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？AlBC根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.连结AB,与直线l相交于一点C.问题1现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何问题2

如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l

的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.问题2如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如作法：（1）作点B

关于直线l的对称点B′；（2）连结AB′，与直线l

相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C作法：ABlB′C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C

不重合），连结AC′、BC′、B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．

即

AC+BC

最短．ABlB′CC′问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某

如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定点拨：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连结CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.B例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形A方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）点拨：作B点关于y轴的对称点B′，连结AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．B′C′EA例2如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM造桥选址问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MBA●●

?NMNM折移

如图,假定任选位置造桥MN，连结AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题BA●●?NMNM折移如图,假定任选位置造桥MN，连

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？【思维引导】【各抒己见】1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮ人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM【问题解决】BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连结A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N１，连结AM１、BN１、A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B，因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题【问题解决】BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处，连结AC、CD、DB、CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=★解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题★解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常利用轴1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m

上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m

上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点A人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30A人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=13.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是

米.ACBD河1000人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．xyOBAB'P人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′、EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连结GF,与河岸相交于E′、D′.作DD′、EE′即为桥.理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′.同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法课堂总结人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造桥选址问题关人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学葫芦岛第六初级中学葫芦岛第六初级中学“两点的所有连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.

现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.AB①②③PlABCD饮马问题“两点的所有连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然问题1

现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？AlBC根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.连结AB,与直线l相交于一点C.问题1现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何问题2

如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l

的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.问题2如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如作法：（1）作点B

关于直线l的对称点B′；（2）连结AB′，与直线l

相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C作法：ABlB′C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C

不重合），连结AC′、BC′、B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．

即

AC+BC

最短．ABlB′CC′问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某

如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定点拨：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连结CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.B例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形A方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）点拨：作B点关于y轴的对称点B′，连结AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．B′C′EA例2如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM造桥选址问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MBA●●

?NMNM折移

如图,假定任选位置造桥MN，连结AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题BA●●?NMNM折移如图,假定任选位置造桥MN，连

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？【思维引导】【各抒己见】1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮ人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM【问题解决】BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连结A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N１，连结AM１、BN１、A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B，因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题【问题解决】BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处，连结AC、CD、DB、CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=★解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题★解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常利用轴1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m

上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m

上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点A人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30A人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题人教版八年级上数学课件课题学习最短路径问题2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=13.如