人教A版选择性必修第二册小结导数及其应用课件

第一章导数及其应用第一章导数及其应用11.

平均变化率与瞬时变化率(1)平均变化率:xyOx1x2x2-x1f(x2)-f(x1)f(x2)f(x1)y=f(x)ABC(2)瞬时变化率:y=f(x)PxyoP0x0f(x0)f(x0+x)x0+x点要识知1.平均变化率与瞬时变化率(1)平均变化率:xyOx122.

导数函数y=f(x)在x=x0

处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y

|x=x0,即

当x0

是变量x

时,所得极限叫导函数,简称导数.点要识知2.导数函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率33.

导数的意义(1)函数y=f(x)在x0

处的导数的几何意义是函数过这点的切线的斜率.(2)导数为正,函数增;导数为负,函数减.(3)导数的绝对值大时,函数增减变化快,图象陡峭;导数绝对值小时,函数增减变化慢,图象较平缓.(4)运动函数的导数是瞬时速度,速度函数的导数是加速度.点要识知3.导数的意义(1)函数y=f(x)44.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c,则f(x)=0;(2)若f(x)=xn(nQ*),则f(x)=nxn-1;(3)若f(x)=sinx,则f(x)=cosx;(4)若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx;(5)若f(x)=ax,则f(x)=axlna;(6)若f(x)=ex,则f(x)=ex;(7)若f(x)=logax,则f(x)=;(8)若f(x)=lnx,则f(x)=点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）4.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c,55.

导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x);(2)[f(x)·g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x);点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]=66.

复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y

=f(u),u=g(x)的导数间的关系为

yx=yu·ux,即y

对x

的导数等于y

对u

的导数与u

对x

的导数的乘积.点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）6.复合函数的导数复合函数y=f(77.

导数与函数的单调性

反之,若f(x)<0,则f(x)在这个区域内是减函数.

在区间(a,b)内,若f(x)>0,

则f(x)在这个区间内是增函数;点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）7.导数与函数的单调性反之,若f88.

导数与极值xyoabcde左正右负左正右负左正右负左负右正左负右正极值点处的导数

.等于0极大值左边的导数

,右边的导数

.大于0小于0极小值左边的导数

,右边的导数

.小于0大于0点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）8.导数与极值xyoabcde左正右负左正右负左正右负左99.

用导数求函数的极值(1)求导数f(x).(2)解导数不等式f(x)≥0.(3)确定极值点和极值:

如果函数连续,在f(x)≥0的左端点处取得极小值,右端点处取得极大值.xyoabf(x)≥0点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）9.用导数求函数的极值(1)求导数f(x).(2)1010.

函数的最大值与最小值

如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

将区间[a,b]上所有极值连同端点的函数值进行比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）10.函数的最大值与最小值如果函数在区间1111.

曲边梯形面积(1)分割:将区间[0,a]分割成n

等分,每等分宽为(2)近似代替:每个小曲边梯形面积用矩形面积代替,第i个矩形面积为(3)求和:将n个小矩形的面积相加(4)取极限:将n个小矩形面积和取极限点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）11.曲边梯形面积(1)分割:将区间[0,1212.

定积分(1)f(x)在区间[a,b]上连续.(2)n等分区间[a,b],每等分宽(3)每等分取点xi,得区间高f(xi).(4)作小区间面积和(5)求n→∞时的极限

这个极限就叫函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作即点要识知人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）12.定积分(1)f(x)在区间[a,b]上13点要识知13.

微积分基本定理

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么(牛顿-莱布尼兹公式)为了方便,常把F(b)-F(a)记成即人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）点要识知13.微积分基本定理一般地,14点要识知14.

定积分的性质(1)(2)(3)人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）点要识知14.定积分的性质(1)(2)(3)人教A版选择15点要识知15.

定积分的应用(1)求曲边图形的面积.

曲边图形分解成几个曲边梯形的和或差,图形在x

轴下方时,面积等于定积分的相反数.(2)变速运动中,路程是速度函数的定积分.(3)在变力运动中,功是变力函数的定积分.点要识知15.定积分的应用(1)求曲边图形的面积.16

例1.

如果函数y=f(x)的图象如图,那么导函数y=f(x)的图象可能是()xyOy=f(x)xyO(A)xyO(B)xyO(C)xyO(D)分析:函数在最左边是增函数,导数大于0;函数在最右边是减函数,导数小于0.所以A选项正确.A(此题是由函数的单调性确定导数的正负.从图象中获取信息,转换信息后又读图象)例1.如果函数y=f(x)的图象如图17例2.

求函数f(x)=ex-1-ax(aR)的单调区间.解:f(x)=ex-a.解不等式ex-a≥0.①当a≤0时,不等式恒成立,xR.②当a>0时,ex≥a,x≥lna.综合①②得:当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.当a>0时,函数f(x)在(-∞,lna]上是减函数,在[lna,+∞)上是增函数.(此题是解决某些题的基础,掌握此题有一定的重要意义)例2.求函数f(x)=ex-1-ax(aR)的单18

例3.

已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)

求a,b

的值;(2)

证明:当x>0且x≠1时,f(x)>分析:(1)求曲线在点(1,f(1))的切线方程,与x+2y-3=0比较系数即可.例3.已知函数19

例3.

已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)

求a,b

的值;(2)

证明:当x>0且x≠1时,f(x)>解:(1)则过点(1,f(1))的切线方程为整理得(2b-a)x+2y-4b+a=0.与x+2y-3=0比较系数得a=1,b=1.例3.已知函数20

例3.

已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)

求a,b

的值;(2)

证明:当x>0且x≠1时,f(x)>(2)分析:若将不等式变为直接求左边的导数解最小值,使其最小值>0.求极值点不易,思考尽量化简后求导:可分段判断正负,可求导后判断正负.例3.已知函数21

例2.

已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)

求a,b

的值;(2)

证明:当x>0且x≠1时,f(x)>(2)证明:由(1)得则令则<0.即g(x)在(0,+∞)上是减函数,(i)当x(0,1)时,例2.已知函数22

例2.

已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)

求a,b

的值;(2)

证明:当x>0且x≠1时,f(x)>(2)证明:由(1)得则令则<0.即g(x)在(0,+∞)上是减函数,(i)当x(0,1)时,(ii)当x(1,+∞)时,综合(i)(ii)得x>0且x≠1时,例2.已知函数23

例2.

已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)

求a,b

的值;(2)

证明:当x>0且x≠1时,f(x)>(2)解题回顾:①应用求差比较法证明,求差后分解因式.③

用导数判断②分段判断④

分段(0,1),(1,+∞)按单调性判断差>0.得是减函数.例2.已知函数24例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.分析:(1)要求f(x),需求出f(1)=?f(0)=?①求f(0),就用x=0替换:未知②求f(1),即f(x)|x=1:=f(1)-f(0)+1.于是得f(0)=1.可求f(1)了.人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)25例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.解:(1)=f(1)-f(0)+1.∴

f(0)=1.得∴f(1)=e.于是得f(x)的解析式为人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)26例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.解:(1)求的单调区间:f(x)=ex-1+x.令g(x)=f(x)=ex-1+x,则g(x)=

ex+1.∵ex+1≥0恒成立,则当x≥0时,f(x)≥f(0)∴

g(x)=f(x)=ex-1+x

是增函数.得f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.则当x≤0时,f(x)≤f(0)得f(x)在区间(-∞,0])上是减函数.=e0-1+0=0.=e0-1+0=0.(例2型)人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)27例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.分析:(2)可用导数求得g(x)的最小值,是含a

的式子.于是②式就变为关于a,b

的不等式.将不等式构造(a+1)b,求其最大值.将(1)所得f(x)代入不等得b≤ex-(a+1)x.①设g(x)=ex-(a+1)x.要使①式恒成立,只需b≤g(x)的最小值.②人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)28例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.解:(2)将(1)所得f(x)代入不等得b≤ex-(a+1)x.①(i)若a+1≤0,不等式恒成立.设g(x)=ex-(a+1)x.则g(x)=ex-(a+1).解ex-(a+1)≥0.g(x)=ex-(a+1)x在(-∞,+∞)上是增函数,g(x)

无最值.人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)29例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.解:(2)将(1)所得f(x)代入不等得b≤ex-(a+1)x.①(ii)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x.则g(x)=ex-(a+1).解ex-(a+1)≥0.则

x≥ln(a+1).得

g(x)在x=ln(a+1)时取得最小值g(x)最小=eln(a+1)-(a+1)ln(a+1)人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)30例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.解:(2)将(1)所得f(x)代入不等得b≤ex-(a+1)x.①(ii)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x.则g(x)=ex-(a+1).解ex-(a+1)≥0.则

x≥ln(a+1).得

g(x)在x=ln(a+1)时取得最小值g(x)最小=eln(a+1)-(a+1)ln(a+1)(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).于是得b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1).两在同乘以a+1得设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).则h(a)=2(a+1)-2(a+1)ln(a+1)-(a+1).解h(a)≥0得即当时,h(a)取得最大值即得(a+1)b

的最大值是=(a+1)-(a+1)ln(a+1).人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)31例4.

已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+

x2.(1)

求f(x)的解析式及单调区间;(2)

若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b

的最大值.解题回顾:(1)题的解题思想是:特殊值代换.(2)题思路:①不等式变为用x

的函数式表示b

的范围:b≤ex-(a+1)x.②用导数求出ex-(a+1)x

的值域:ex-(a+1)x≥(a+1)-(a+1)ln(a+1).③构造(a+1)b:(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).④右边对a

求导取最大值.(反复求导)人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例4.已知函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)32例5.

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)

若a=0,求f(x)的单调区间;(2)

若当x≥0时,f(x)≥0,求a

的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1.解

f(x)=ex-1≥0得x≥0.∴函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.解:(1)33例5.

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)

若a=0,求f(x)的单调区间;(2)

若当x≥0时,f(x)≥0,求a

的取值范围.(2)分析:题意为:当x≥0时,f(x)的最小值为0.思路:①求f(x)的最小值,其最小值用a

表示;②使其最小值大于或等于0,求得a

的范围.人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(2)分析34例5.

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)

若a=0,求f(x)的单调区间;(2)

若当x≥0时,f(x)≥0,求a

的取值范围.(2)解:f(x)=ex-1-2ax.设

g(x)=f(x)=ex-1-2ax.g(x)=ex-2a.(i)当a≤0时,g(x)≥0恒成立,g(x)=f(x)=ex-1-2ax在[0,+∞)上是增函数,则f(x)≥f(0)=e0-1-2a0=0,于是f(x)在[0,+∞)上是增函数.则f(x)≥f(0)=e0-1-0-2a0=0,即a≤0时满足题设.人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）人教A版选择性必修第二册第一章小结(导数及其应用)课件（共93张PPT）例5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(2)解:35例5.

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)

若a=0,求f(x)的单调区间;(2)

若当x≥0时,f(x)≥0,求a

的取值范围.(2)解:f(x)=ex-1-2ax.设

g(x)=f(x)=ex-1-2ax.g(x)=ex-2a.(ii)当a>0时,解

g(x)=ex-2a≥0得x≥ln2a.即g(x)=f(x)在[ln2a,+∞)上是增函数,则f(x)≥f(0)=e0-1-2a0=0.于是得f(x)在[ln2a,+∞)上是增函数.则f(x)在x=ln2a

处取得极小值(最小值).例5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(2)解:36例5.

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)

若a=0,求f(x)的单调区间;(2)

若当x≥0时,f(x)≥0,求a

的取值范围.(2)解:f(x)=ex-1-2ax.设

g(x)=f(x)=ex-1-2ax.g(x)=ex-2a.(ii)当a>0时,解

g(x)=ex-2a≥0得x≥ln2a.即g(x)=f(x)在[ln2a,+∞)上是增函数,则f(x)≥f(0)=e0-1-2a0=0.于是得f(x)在[ln2a,+∞)上是增函数.则f(x)在x=ln2a

处取得极小值(最小值).要使x≥0时,f(x)≥0,需[ln2a,+∞)[0,+∞).而f(0)=e0-1-0-a02=0.即ln2a≥0,得0<2a≤1,综合(i)(ii)得例5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(2)解:37例5.

设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)

若a=0,求f(x)的单调区间;(2)

若当x≥0时,f(x)≥0,求a

的取值范围.解题回顾:(2)题思路:①对f(x)求导求f(x)的单调性与极值点:②不等式ex-1-2ax≥0不易解,又对f(x)求导,f(x)=ex-1-2ax.③由[f(x)]→f(x)的单调性→f(x)≥0→f(x)的单调性.④由f(x)在[ln2a,+∞)上单增,f(0)=0,且

x≥0时f(x)≥0→[ln2a,+∞)[0,+∞).例5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.解题回顾:38

例6.

求由抛物线y2=4ax

与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.解:将抛物线焦点置于y

轴正半轴,方程为:xyOABF焦点弦AB的方程为y=kx+a.代入抛物线方程整理得x2-4akx-4a2=0.焦点弦AB与抛物线围成的面积为例6.求由抛物线y2=4ax与过焦点39

例6.

求由抛物线y2=4ax

与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.解:将抛物线焦点置于y

轴正半轴,方程为:xyOABF焦点弦AB的方程为y=kx+a.代入抛物线方程整理得x2-4akx-4a2=0.焦点弦AB与抛物线围成的面积为当k2=0时S

最小为例6.求由抛物线y2=4ax与过焦点40

例6.

求由抛物线y2=4ax

与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.解题回顾:①

若不变动焦点,定积分较繁:xyOABF②用根与系数的关系将定积分中的xA,xB

换成k.③求关于k

的函数的最小值:例6.求由抛物线y2=4ax与过焦点41复习参考题复习参考题42A组

1.

已知点P

和点Q

是曲线y=x2-2x-3上的两点,且点P

的横坐标是1,点Q

的横坐标是4,求:

(1)

割线PQ

的斜率;

(2)

点P

处的切线方程.解:当x=1时,y=12-21-3=-4,得点P的坐标为P(1,-4).当x=4时,y=42-24-3=5,得点Q的坐标为Q(4,5).(1)则割线PQ

的斜率为A组1.已知点P和点Q是曲线43A组

1.

已知点P

和点Q

是曲线y=x2-2x-3上的两点,且点P

的横坐标是1,点Q

的横坐标是4,求:

(1)

割线PQ

的斜率;

(2)

点P

处的切线方程.解:=21-2=1,(2)由(1)得P(1,-4).切线的斜率k=y|x=1∴过P点的切线方程为y+4=(x-1),即x-y-5=0.A组1.已知点P和点Q是曲线442.

求下列函数的导数:

(1)

y=2xtanx;(2)

y=(x-2)3(3x+1)2;

(3)

y=2xlnx;(4)解:(1)原函数变为2.求下列函数的导数:解:(1)原函数变为452.

求下列函数的导数:

(1)

y=2xtanx;(2)

y=(x-2)3(3x+1)2;

(3)

y=2xlnx;(4)解:(2)原函数变为y=9x5-60x4+145x3-150x2+60x+8.y=45x4-240x3+435x2-300x+60.(3)y=(2x)lnx+2x(lnx)=2lnx+2.2.求下列函数的导数:解:(2)原函数变为y=9x5-6462.

求下列函数的导数:

(1)

y=2xtanx;(2)

y=(x-2)3(3x+1)2;

(3)

y=2xlnx;(4)解:(4)2.求下列函数的导数:解:(4)47

3.

一个距地心距离为r,质量为m

的人造卫星,与地球之间的万有引力F

由公式给出,其中M

为地球质量,G

为常量,求F

对于r

的瞬时变化率.解:F

对于r

的瞬时变化率即为F

的导数.3.一个距地心距离为r,质量为48

4.

一杯80C

的热红茶置于20C

的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位:C)与时间t(单位:min)间的关系,由函数T=f(t)给出,请问:

(1)

f(t)的符号是什么?为什么?

(2)

f(3)=-4的实际意义是什么?如果f(3)=65C,你能画出函数在点t=3时图象的大致形状吗?解:(1)f(t)的符号是负的.∵f(t)表示温度改变的速度,由于温度逐渐下降,所以速度是个负值.4.一杯80C的热红茶置于2049

4.

一杯80C

的热红茶置于20C

的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位:C)与时间t(单位:min)间的关系,由函数T=f(t)给出,请问:

(1)

f(t)的符号是什么?为什么?

(2)

f(3)=-4的实际意义是什么?如果f(3)=65C,你能画出函数在点t=3时图象的大致形状吗?解:(2)f(3)=-4表示第3分钟附近温度下降的速度是4C/min.tTO362040654.一杯80C的热红茶置于20505.

求函数的单调区间.解:原函数化为x>0时,f(x)>0,x<0时,f(x)<0,函数在(-∞,0)内是减函数;函数在(0,+∞)内是增函数.5.求函数的单调区516.

已知函数f(x)=x2+px+q,试确定p,q

的值,使当x=1时,f(x)有最小值4.解:f(x)=2x+p,即

f(1)=2+p=0,得p=-2.导数为0时取得极值,又由极值为4得f(1)=12-21+q=4,得q=5.∴p,q

的值分别为-2,5.6.已知函数f(x)=x2+px+q,527.

已知函数f(x)=x(x-c)2

在x=2处有极大值,求c

的值.解:f(x)=x3-2cx2+c2x,f(x)=3x2-4cx+c2,在x=2处有极大值,即x=2时导数为0,322-4c2+c2=0,解得c=2或c=6.当c=2时,f(x)=3x2-8x+4,解3x2-8x+4>0得或x>2,于是得时,f(x)<0,x>2时,f(x)>0,则x=2时取得极小值,不合题意.即只有c=6.7.已知函数f(x)=x(x-c)253

8.

如图,过点P(1,1)作直线AB,与坐标轴围成△AOB.当直线AB

在什么位置时,△AOB的面积最小,最小面积是多少?·ABP(1,1)xyO解:设直线的斜率为k(k<0),则直线方程为y-1=k(x-1).直线在x

轴,y

轴上的截距分别为则△AOB的面积S=解得-1<k<0,则k<-1时,S<0,∴S

在k=-1时取得极小值,也是最小值,此时A(2,0),B(0,2);S最小=2.(答略)8.如图,过点P(1,1)549.

如图,直线l

和圆c,当l

从l0

开始在平面上绕点O

按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S

是时间t

的函数,这个函数的图象大致是()Ol0lctSO(A)tSO(B)tSO(C)tSO(D)·l1分析:从开始到l

过圆心时,面积增加的速度由慢到快,图象由平缓逐渐变陡峭.l

超过圆心后,面积增加的速度逐渐变慢,图象逐渐变平缓.D9.如图,直线l和圆c,55

10.

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?最大容积是多少?解:设底面一边长为am,如图,则另一边长为(a+0.5)m,高为xm,则4[a+(a+0.5)+x]=14.8,解得a=1.6-0.5x,则容V==0.25x3-1.85x2+3.36x,V=0.75x2-3.7x+3.36,解0.75x2-3.7x+3.36>0得(1.6-0.5x)(2.1-0.5x)x于是知时,V

取得极大值,也是最大值.最大值为V最大=1.8.(答略)10.用总长14.8m的钢条制作一5611.

团体旅行某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到100人的团体,每人收费1000元,如果团体的人数超过100人,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180人.如何组团,可使旅行社的收费最多?解:设组团人数是100+x(0≤x≤80).旅行社可收费f(x)=(100+x)(1000-5x)=100000+500x-5x2.f(x)=500-10x.解

f(x)>0得x<50,则x>50时,f(x)<0.∴在x=50时,f(x)取得极大值,也是最大值.答:旅行社组团150人时收费最多.11.团体旅行解:设组团人数是100+57

12.

打印纸型号设计原理

如图,某种打印纸的面积为623.7cm2,要求上、下页边距分别为2.54cm,左、右页边距分别为3.17cm.如果要求纵向打印,长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到0.01cm)?(可使用计算器)请搜集一下各种型号打印纸的数据资料,并说明其中所蕴含的设计原理.解:设宽为xcm,则长为则打印面积f(x)=x由f(x)>0得x<22.36,则x>22.36时,f(x)<0∴当x=22.36cm时,打印面积最大,此时长为27.89cm.(答略)12.打印纸型号设计原理解:设宽为x5813.

已知某养猪场每年的固定成本是20000元,每年最大规模的养殖量是400头.每养1头猪,成本增加100元,如果收入函数是R(q)=-

q2+400q(q是猪的数量).每年养多少头猪可使总利润最大?总利润是多少?(可使用计算器).解:利润等于收入减去成本,则利润函数为f(q)=R(q)-20000-100q解-q+3000>0得,q<300时,f(q)>0,q>300时,f(q)<0.则q=300时f(q)取得最大值,最大值f(300)=25000(元).(答略)13.已知某养猪场每年的固定成本是25914.计算下列定积分:(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)(2)=2e-2.(3)=1.14.计算下列定积分:解:(1)(2)=2e-2.(3)6014.计算下列定积分:(1)(2)(3)(4)(5)解:(4)(5)=2.14.计算下列定积分:解:(4)(5)=2.6115.用定积分的几何意义说明下列等式:(1)(2)解:(1)的几何意义是曲线y=cosq

与直线和直线y=0所围成图形的面积,(如图)而曲线y=cosq

和直线都关于y轴对称,1qyOy=cosqABC∴SABC=2SCOB,而15.用定积分的几何意义说明下列等式:解:(1)的几何意62解:(2)的几何意义是曲线y=sinx

与直线x=-p,x=p

和直线y=0所围成图形的面积,(如图)而曲线y=sinx

的图象是关于原点对称的,是关于y轴对称的,则SACO=SBDO.15.用定积分的几何意义说明下列等式:(1)(2)y=sinx1xyOABC-1D-pp而x

轴下边的面积是定积分的相反数,=0.解:(2)的几何意义是曲线y=sinx与直线x=-p,6316.

求曲线y=sinx,y=cosx

与直线x=0,所围成平面图形的面积(图中的阴影部分).Oxy1y=sinxy=cosx解:∴图形关于直线对称.AB则随阴影部分的面积是图形AOB

面积的2倍,∴所求面积为16.求曲线y=sinx,y=c6417.

在弹性限度内,弹簧所受的压缩力F

与缩短的距离l

按胡克定律F=kl

计算.今有一弹簧原长90cm,每压缩1cm需0.049N的压缩力,若把这根弹簧从80cm压缩至60cm(在弹性限度内),问外力克服弹簧的弹力做了多少功?解:当F=0.049N时,l=0.01m,得0.049=0.01k.则把弹簧从0.8m压缩到0.6m要作的功为=0.686(J).答:外力克服弹簧的弹力做了0.686J的功.解得

k=4.9.17.在弹性限度内,弹簧所受的压缩65B组

1.

当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t

小时后的细菌数量为

b(t)=105+104t-103t2.

(1)

求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;

(2)

细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?解:(1)b(t)=104-2103t.b(5)=104-21035=0;b(10)=104-210310=-104.答:t=5与t=10时的瞬时速度分别是0和-104.(2)细菌在杀菌的前5小时增加,第5小时后开始减少.因为前5小时的增加速度是正数,第5小时后的增加速度是负数.B组1.当室内的有毒细菌开始增加时,66

2.

已知一个扇形的周长为

l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?cra解:设扇形的半径为r,弧长为c,中心角的弧度数为a.而c=ra,扇形面积l

=2r+c=2r+ra,则解S(r)>0得则时,S(r)<0.时,S(r)取得最大值,此时中心角a=2(弧度).(答略)2.已知一个扇形的周长为l,扇形673.

用半径为R

的圆铁皮剪去一个圆心角为a

的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角a

多大时,容器的容积最大?cRaR解:如图,h设容器的底面半径为r,高为h,则容积为解V(h)>0得则时,V(h)<0.时,V

取得极大值,即最大值.此时r

=(弧度).(答略)r3.用半径为R的圆铁皮剪去一个圆心角684.

一艘船的燃料费与船速度的平方成正比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为480元/时,在20km航程中,航速多少时船行驶总费用最少(精确到1km/h)?此时每小时费用等于多少(精确到1元,可使用计算器)?解:设船每小时燃料费函数为Q(v)=kv2,当v=10时Q=80,解得k=0.8.船行驶总费用为f(v)=船航行20km所需时间为解f(v)>0得则时,f(v)<0.时,f(v)取得最小值,此时每小时的费用为≈941(元).(答略)4.一艘船的燃料费与船速度的平方成正比,69

5.

已知A,B

两地的距是130km,按交通法规规定,A,B

两地之间的公路车速应限制在50~100km/h.假设汽油的价格是3元/升,汽车的耗油率为L/h,司机每小时的工资是14元,那么最经济的车速x

是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少?解:汽车行完A,B

两地所需时间为则总费用f(x)=解f(x)>0得x>53,则x<53时,f(x)<0,∴x=53时f(x)最小.≈114(元).(答略)5.已知A,B两地的距是13706.

设f(x)=e|x|,求解:=e4+e2-2.6.设f(x)=e|x|,求解:=e4+e2-271

7.

如图,直线y=kx

分抛物线y=x-x2

与x

轴所围图形为面积相等的两部分,求k

的值.1Oxyy=kxy=x-x2解:解直线与曲线的交点得AA(1-k,k-k2).1-k则由题意得解得7.如图,直线y=kx分抛物线72自我检测题自我检测题返回目录自我检测题自我检测题返回目录73

一、选择题

1.

质量为5kg的物体按规律s=2t+3t2(t

的单位:s,s的单位:cm)作直线运动,则物体受到的作用力为()(A)30N(B)610-3N(C)0.3N(D)6N2.

函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是()(A)0<f(2)<f(3)<f(3)-f(2)(B)0<f(3)<f(3)-f(2)<f(2)(C)0<f(3)<f(2)<f(3)-f(2)(D)0<f(3)-f(2)<f(2)<f(3)xyO12345123453.

若函数f(x)=x3-3bx+3b

在(0,1)内有极小值,则()(A)0<b<1(B)b<1(C)b>0(D)

4.

函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()(A)5,-15(B)5,-4(C)-4,-15(D)5,-16

二、填空题

1.

已知物体的运动方程是(t

的单位:s,s的单位:m)则物体在时刻t=4时的速度v=

,加速度a=

.2.

甲工厂八年来某种产品年产量y

与时间x(单位:年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法:①前三年该产品产量增长速度越来越快;②前三年该产品产量增长速度越来越慢;③第三年后该产品停止生产;④第三年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的是

.xyO12345678

3.

函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为

.一、选择题2.函数f(74三、解答题1.

假设g(x)=

f(x)=kx2,其中k

为常数.(1)

计算g(x)的图象在点(4,2)