易拉罐形状和尺寸的最优设计

20062006高教社杯全国大学生数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要在我们的日常生活中，易拉罐产品的畅销量很大。以规格为 355ml为例，可口可乐等碳酸饮料，以及啤酒的饮料罐，在中国大陆的包装很多都是采取统一的形式。这种标准化的设计，可以取得规模效益的优势，其存在的广泛性也说明了其设计具有一定的合理性。但是，如果从数学模型来考虑，如何设计才能保证所耗材料最省，即达到成本的最小化。这个问题的探讨，对于大规模生产易拉罐的厂商以及使用者，都将会是一个很有意义的。问题一要求实际测量易拉罐的各种尺寸数据， 我们小组以355ml的可口可乐易拉罐作为模型，采取一些简化的方法，进行了相关数据的测量，并将数据以列表形式表示出来。对于问题二的处理，我们小组在合理假设的前提下，建立了非线性最优化模型。并采取了多元函数求极值的常用方法，利用了一些相关的数据，对模型进行了求解。然后与现实问题进行比较，对模型进行了评价。问题三在问题二的基础上进行了模型建立及求解。首先，我们做出了合理的假设，对问题进行了简化，以面积求体积，建立了面积最小的最优化模型，用多元函数求极值的方法进行了求解。然后，我们对模型进行了必要的补充及优化，考虑厚度，以使模型更符合实际情况，运用 Lagrange定理对所建立的模型进行了求解。问题四的解答中， 我们认为， 易拉罐作为产品包装， 要尽量符合消费者的审美观念、做到使用方便、 造价最低。 我们充分发挥了自己的想象力， 将易拉罐的罐身设制成弧度，同时引入了“黄金分割点”这个完美的比例关系，设计出一个符合大众审美观念的易拉罐形状。在此基础上进行最优化设计，即使产品所耗材料最少。在这些必要的假设前提下，我们建立了最优化模型，利用MATLA啾件对模型进行了求解，得出了易拉罐的尺寸比例。我们的设计方案考虑了主要因素的作用，使得易拉罐的设计能够适用市场，满足消费者的需求和厂商的经济利益，具有很好的推广性。关键词约束极值、拉格朗日乘数法，非线性方程，黄金分割点问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 （例如饮料量为 355毫升的可口可乐、青岛啤酒等 ）的饮料罐 （即易拉罐 ）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。本次建模就是以易拉罐的形状和尺寸的最优化设计为研究对象，具体讨论一下五个方面的问题。问题一要求测量 355毫升的易拉罐的高度、半径、厚度等相关数据，为以后的模型验证提供依据。问题二将实际中的易拉罐形状进行了简化，把易拉罐的形状假设为正圆柱体。要求建立数学模型，求出最优的设计，并与实际测量的结果进行对比验证。问题三在问题二的基础上进行完善，即把易拉罐的形状假设为上部分为正圆台，下部分为正圆柱体，在此基础上通过进一步的模型建立和求解，提出最优化的设计方案，然后同问题一的测量得到的数据进行比较。问题四，要求发挥自己的想象力和洞察力，设计出自己所认为得比较合理的易拉罐形状，并在此基础上，对其比例尺寸进行最优化的设计，提出自己的设计方案。最后（问题五） ，要求写一篇自己对数学建模的认识和体会的心得文章。文章建立在自己做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验的基础上，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。问题一：实际数据的测量1、测量模型：我们小组以 355ml的可口可乐易拉罐为模型，对其高度、半径、厚度进行了相关的测量和查询。2、具体的测量方法：半径的测量：由于半径不能直接测量，所以我们采取了用周长间接求半径的方法。用一张很薄的纸条，将易拉罐的中间稍胖部分和上部圆台分别围起来，测量周长。 （利用公式 c2r求得半径）高度的测量：把易拉罐放在一水平桌上，将测量用的纸条垂直放于易拉罐的一侧，将直尺（与纸条垂直）置于所要测量易拉罐的顶部，在纸条上做好标志，根据标志用直尺分别测出纸条上所标记的距离，即对应为易拉罐中间圆柱体、上部分和下部分的高度。厚度的测量：由于厚度难以测量，而且没有精确的测量仪器，所以我们查询了网上的数据，得出易拉罐的侧面和底面的厚度相同，大约为 0.028cm[1]，顶部的厚度大约为侧面的 3倍。3、测量得到的数据：外围周长20.8cm（可得外围半径为3.31cm）;上部原态的周长18.6cm(顶盖的半径为2.96cm);中部稍胖部分的圆柱高为 10cm；上部圆台高 1.5cm；下部圆台高 0.8cm。如下表所示：中间部分 中间部分 上部分的 顶盖的半 中间部分 上部分的 下部分的单位的周长 的外半径 周长 径 的高度 高度 高度cm20.8 3.31 18.6 2.96 10 1.5 0.8cm问题二基本假设易拉罐的形状为正圆柱体；侧面顶底的材质都相同，即单位体积材料的成本相同；TOC\o"1-5"\h\z假设侧面和底部的厚度相同，为 d,顶部的厚度为 3d；易拉罐的容积刚好为 355ml；不考虑接口处的耗材；符号说明内半径 r外半径 R高度(包括上下底面的高度) H侧面和底面的厚度 d顶盖的厚度 ad所耗材料的体积 V1易拉罐的容积 V2如下图所示:2、模型建立对于厂商来说，易拉罐的最优设计即是使易拉罐罐体所耗材料最少，最大限度地节约产品成本，所以以易拉罐所耗材体积的最小化为目标，建立最优化模型。根据基本的假设，以及正圆柱体的体积计算公式，对易拉罐所耗材料的体积进行计算，建立非线性函数的条件极值模型。所耗材料的体积为：i2(R2 r2)H+r2d(1a) (1) 易拉罐的容量为：2 r2(Hdad) ⑵ Rrd ⑶ 将(3)式代入(1)式，得12H2Rdd2Rd2d1a所以，目标函数为 MinV1s.tV2355 (4)3、模型求解：按照最优化原则，RH的取值应使(4)式所表示的V1R,H达到最小。所以根据多元函数求极值的方法，V1分别对R,H求偏导，可得

Vi4Hd2Rd1a0Vi4Hd2Rd1a0彳二 _V122Rdd20 (5)H 由(5)式可得，R— (6) 时，H1a Vi(R,H)达到最小值。由已有的调查数据得a3,所以‘1时，即易拉罐的纵截面是正方形时，Vi(R,H)H2达到最小值，成本最低为最优设计。4、 模型验证根据问题一中所测得的测量数据得-0.268,与最优模型所得到的1/2的比例差H别很大。但是我们发现中间稍胖部分的直径与高(忽略上部圆台)之比，即6.62 0.610,约为0.618,符合黄金分割点的比例，所以，我们所测量的易拉罐10.050.8(可口可乐355ml易拉罐)，在其的最优化设计中，除了考虑所耗材料最少，成本最低之外，也考虑了人们的审美观念等其他主观因素。问题三：1、基本假设：易拉罐的主体为正圆柱体，上部为正圆台；顶部的厚度为侧面和底部的三倍；在计算过程中忽略厚度，以表面积的大小来估测所耗材料的体积;圆台侧面的斜率为10/3;易拉罐的容积刚好位355ml;接口处的耗材不予考虑2、符号说明：

TOC\o"1-5"\h\z圆柱体的半径 R圆台的上表面半径圆柱体的高度 H圆台的高度 h单位面积的成本 a总面积 S总易拉罐的容积 V容3、模型建立：本模型是约束极值模型，以耗材最少为目标函数，以易拉罐的容积为约束条件，在上述假设的前提下，对易拉罐的表面积进行求和，其最小值便是最优化的设计。圆台的侧面积：S圆台的侧面积：S1 R,109h10圆柱体的侧面积和底面积： S22RHR2TOC\o"1-5"\h\z顶盖的面积：S3 2总面积：S总2RHR232R -109h10容积：V容R2H-R2 R2 3553 所以，建立的模型为MMinC容1s.t.gR,H, V容35504、模型求解根据多元函数求极值的方法，利用拉格朗日乘数法进行计算设拉格朗日系数为k,所以目标函数为fR,H, C容kgR,r,H又因为—』一3R所以，分别求偏导得：

整理得:2..109R2kRH竺kR2f_ _22RkR0H一 一一 一2整理得:2..109R2kRH竺kR2f_ _22RkR0H一 一一 一2f c2109 10kc—6 03 3—gR,r,H0kR3H3.44R _20_2.88将(10)代入(8),可以求得,R3.69,H4.23, 0.53 (9)(10)5、模型验证：根据问题一中所测量得到的数据， R3.31,H 12.3, 2.96,与上述结果相比,相差很大，所以可以进一步说明，问题二中的结论，即这种型号的易拉罐的设计并不仅仅是以造价最低为原则的，还综合考虑了人们的心理需求和审美观念。同时，本模型的建立忽略了易拉罐各部分材料的造价不同，所以单纯的表面积并不不一定能说明就是最优设计。6、模型改进:上模型是建立在忽略易拉罐的厚度的基础之上的，以易拉罐的表面积大小来衡量造价的成本，如果把易拉罐的厚度考虑在内，则可以对上述模型做下列的改进：符号说明正圆柱体的外半径TOC\o"1-5"\h\z正圆柱体的内半径 r正圆柱体的高度 H正圆柱体的侧面及底面的厚度d正圆台的高度 h正圆台的顶部半径顶盖的厚度 ad正圆台侧面所耗材的体积 V1正圆台顶面所耗材的体积 V2正圆柱体所耗材的体积 V3总耗材的体积 V总、模型建立本模型的建立是以所耗材的体积最小为目标函数，易拉罐的容积为约束条件的多元HSHSi S1S2 S23h2 2 .2一r.rd d3根据圆台体积的计算公式V得正圆台的侧面所耗材体积：Vih2 .. 2R2R23正圆台上表面所耗材体积：2-V2 d3d正圆柱体所耗材体积:2 2 2rdRrH总耗材(忽略d2,d3)V总ViV2V3 (8)

根据已有的资料表明，从顶盖到胖的部分的斜率为0.3,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.TOC\o"1-5"\h\z所以，R—0.3 (9)h 又有rRd (10)由(8),(9),(10)整理得2Rdd2H13 2 16 2 1 2 2Rdd2HV巧一Rd— Rd- d- d4d心 3 3 3 3约束条件(易拉罐的容积)：V容整理得r2V容整理得r2Hdh3d3,2 .2 2 2d.drr355mlgR,H,HRd2 136R2HRd2 136R2d25 2 3—Rd4d310-3 103R9 972d-d2Rd3 33550所以建立的模型:MinV总s.t.gR,H,0模型求解按照最优化原则，用多元函数求条件极值的方法，用拉格朗日乘子法:设拉格朗日乘子系数为k,则目标函数为：13 2 16fR,H, Rdk[HRd22 1Rd一13 2 16fR,H, Rdk[HRd22 1Rd一3丝Rd232 8 2d-d34d3—R3

94d310392Rdd2H2d1 2-d2Rd]3553根据极值问题的求法,,k分别求偏导，得:根据极值问题的求法,,k分别求偏导，得:2Hd2kHR32—kRd325 2—kd310—k3R22Rd2Hd2kHR32—kRd325 2—kd310—k3R22Rdd28d23Rdk[H生R2d

3空Rd2

34d3卫R3

910d2Rd]3550因为d0.028,d27.84104,所以在计算过程中可以忽略d2,d3,以使计算过程简化。得到： 「HR10212d3RdR0整理得：整理得：RH10212d

3d模型验证将问题一中所得到的数据代入上式，当 2.96时，RH30.46,这与实际的测量结果有很大的差别。造成这种差别的原因可能有：（1）易拉罐的设计并不一定只考虑造价为低为唯一标准，还要考虑人们的审美观念等因素； （2）为了简化计算过程而忽略d的高阶无穷小，会带来一些误差；（3）此模型为成本最低的最优化的设计，而实际的测量结果并不符合最优化模型，所以造成R和H的偏差过大。问题四：易拉罐，作为一个产品的包装，是直接面对消费者的，它的设计是否合理，不仅会对易拉罐的成本造成影响，而且还会影响到消费者对产品的认识及定位，从而会影响到产品的销量，所以，在易拉罐的设计上，不仅要从经济成本上来考虑最优化的设计原则，而且要从消费者的心理以及人体工程学的角度来考虑，从而满足了消费者的消费诉求和方便性的使用。同时，还要综合考虑美学等因素，使易拉罐的实际在追求最优设计的同时也做到美学上的最优。0.618,这个黄金分割点是经久不衰的完美比例点，所以我们在易拉罐的外形设计上也引入了这个经典的比例。同时，我们也考虑了手握易拉罐的舒适感，所以我们将易拉罐的外形设计成弧线型。简图如下：

1、基本假设：(1)易拉罐的纵截面简化为如下图所示，即将上下两个部分简化为圆台进行计算；(2)易拉罐的容积刚好为355ml(3)整个易拉罐所用材料相同；(4)侧面和底面的厚度相同，顶盖为其的3倍(5)易拉罐上下圆台的高度之比为0.382:0.618,符合黄金分割点，为了满足人们的审美观。(6)不考虑接口处的耗材；2、符号说明:

顶部和底部的外半径中间的凹部分的外半径rTOC\o"1-5"\h\z侧面的厚度 d顶盖的厚度 3d总高度 H上半部分的高度 0.382H下半部分的高度 0.618H下半部分所耗材的体积V1上半部分所耗材的体积V2TOC\o"1-5"\h\z顶盖所耗材白^体积 V3总耗材的体积 V总容积 溶3、模型建立本模型综合考虑了易拉罐的造价最低和符合人们的审美观念两个重要因素， 在保证黄金分割点的前提下，以造价最低为目标函数，容积为约束条件，建立条件极值模型。根据圆台的体积计算公式可得Rd2RdRd2Rd2rdV1 RRrr3 3Rd2dV20.382H -2V20.382H -2 R0.382HRd2Rd2rdV总 Vi V2 V3整理得:VdrHRHdH4R28Rd4d2心、V容V容HR2/宙下2r2V355

心、即约束条件为：gR,r,HHR即约束条件为：gR,r,HHR2 R2r2r2所以建立的数学模型为_ _2 2 —drHRHdH4R8Rd4d3550「 MinV总L s.t.gR,r,H04、模型求解根据多元非线性函数求极值方法，依旧采用系数为k,Lagrange定理进行求解。设拉格朗日则fR,r,HdrHRHdH4R则fR,r,HdrHRHdH4R28Rd4d2kgR,r,H(11)fRfrfHfRfrfHfk对R,r,H,k分别求偏导得:2 kHrTOC\o"1-5"\h\z(dH8dR8d2)(1k)-kHR-03 3dH(1k)^H-R2k032 2、2 k(RRrr)「(drdRd)(1k)— 03gR,r,H0整理得:HHRHr8R216Rr8Rd16rd02r22RrRd2rd0所以，H8Rr2 r0.056r0.0282r因为R0,所以0.014r0.056

5、模型改进：根据上述最优模型得出的结果不符合实际，所以需要对模型进行进一步的完善，根据此，我们再次引入一个黄金分割点的比例。再增加一个假设条件： -0.618R所以,(11)可整理为：H__2 _22_2Rd1.168HdH4R8Rd4d3553TOC\o"1-5"\h\z2 2可得：H..(12)....3554dR28Rd可得：H..(12)....2 2 2-R1.59d3目标函数为MinV总，因为容积一定，所以可以简化为求易拉罐体积的最小值，即_2 - 2"HR Rr rMin 。32因为二0.618,所以上式简化为求2里的最小值。R 3由不等式的定理可以知道，当HR2的时候，2型取最小值3将HR2代入(12),利用MATLA欧件，求出R3.6253,H=13.14。(计算过程程序见附件)模型评价本模型中所设计的易拉罐形状很有特色。首先，在高度和半径的比例中引入了“黄金分割点”，既是科学的比例关系，又符合大众的审美观念，使产品能够吸引消费者的眼光，为产品的销售提供一个很好的优势。其次，在必要假设的前提下，我们对易拉罐的造价进行了最优化设计，尽量使产品的经济成本最低，使产品具有成本优势。再次，易拉罐独特的弧形设计，完美地阐述了曲线的美感，也使消费者使用更加方便舒适，为产品赢得消费者的亲睐奠定了情感的基础。综合来说，易拉罐整体的设计别具一格，推陈出新，打破了易拉罐圆柱体的传统设计思想，具有创新性。但是，易拉罐的设计也有一些缺陷。弧度的设计在增加美感的同时，也增加了制造的难度和工时，也会增加一定的成本。模型建立中忽略了易拉罐罐身所使用的材料的不同造价，可能会与实际的情况有一些出入。问题五：对数学建模的认识及体会科技的发展，人类文明的进步带动了人们对现实问题的更深入层次的探究。以前人们只是关注问题的表面，更多的是建立在感性的分析上，凭感觉、经验办事。虽然也会在某些问题的解决上运用一些数学的知识，但也是凤毛麟角。但是，随着人们对生活越来越高的要求，很多问题的解决变得棘手起来，这就不得不引入数学的相关知识，建立一个有效的模型体系，对问题进行比较精确的解决。所以说，数学建模就是在实际问题和数学知识之间搭起数学模型这个桥梁，进行有效的沟通，优化实际问题的一个过程。数学建模是根据现实世界中的一特定对象，为实现特定目的对现实事物进行假设和简化，使其抽象为具体的数学模型，通过对模型的建立、求解、检验、评价，从而对现实问题解释预测的过程。数学建模将数学更深入的渗透到经济、环境、人口、交通、医学等现实领域中去，利用数学思想和手段解决现实世界中的具体问题。同时，也将各个领域的知识与数学知识结合起来，每一个对象都可以抽象简化为不同的数学模型，运用多角度的数学思想和手段解决问题，将数学科学全面与现实事物联系起来。数学建模的关键步骤：1、模型假设一2、模型建立一3、模型求解T、模型检验一5、模型评价与应用。