三角形的概念、性质及内角和-教师版

例题解析例1】下列说法正确的是（ ）A．三角形的高、中线是线段，角的平分线是射线B．三角形的三条高线中，至少有一条在三角形的内部C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫做三角形的中线难度】★答案】B解析】A．三角形的高、中线是线段，角的平分线是线段，C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的内部D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线总结】考察学生对概念的理解和掌握．例2】下列说法中错误的是（ ）A．三角形的三条角平分线相交于三角形内一点B．三角形三条中线相交于三角形内一点C．三角形三条高所在的直线相交于三角形内一点D．等边三角形三边的垂直平分线相交于三角形内一点难度】★答案】C解析】三角形三条高所在的直线有可能相交于三角形内一点， 也可能交于三角形边上，可能交于三角形的外部，故选C．总结】考察学生对三角形的分类以及相应的中线高线角平分线的交点情况．例3】下列命题正确的是（ ）A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B．三角形的高就是顶点到对边的距离C．三角形的角平分线就是三角形内角的角平分线D．三角形的三条中线必相交于一点难度】★答案】D解析】A．连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的角平分线；B．从三角形的三个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；C．三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；故选 D．总结】考察学生对基本概念的理解，注意三角形的中线、高线及角平分线都是线段．例4】现有两根木棒，它们的长分别是30cm，40cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（）A．10cm B．40cm C．70cm D．100cm难度】★答案】B解析】在10到70之间，所以只能选40cm．总结】考察三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．例5】三角形的三边为3、1-2a、8，求a的取值范围．难度】★★答案】5a2．解析】由三角形的三边关系，可得：8312a83，解得：5a2．总结】考察三角形的三边关系的运用，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．例6】已知一个三角形中两条边长分别为 a、b，且a>b，求这个三角形周长L的取值范围．难度】★★答案】2aL2a2b．解析】设第三边长为x，则根据三边关系可得：abxab，所以周长的取值范围为：ababLabab，即2aL2a2b．总结】考察三角形的三边关系的运用及周长的计算．例7】设a、b、c是△ABC三边，化简abcabc的值．难度】★★答案】2b2c．解析】原式abcabc2b2c．2/22

总结】考察学生对三角形三边关系的理解，并且涉及到判断符号去绝对值的问题．例8】等腰三角形中两边为3厘米，4厘米，求该三角形的周长．难度】★★答案】10厘米或11厘米．解析】三角形的三边长为别为：3，3，4或者3，4，4，一种情况是3为腰，另一种情况是4为腰．故周长为：33410厘米或34411厘米．总结】这一题注意分情况讨论，再进行解题．【例9】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形底边的长．【难度】★★【答案】5cm．【解析】设腰长为2x，当等腰三角形上半部分为21时，即21x2x，解得：x7，此时12x5；当等腰三角形上半部分为12时，即2x12x，解得：x4，此时21x17，由于8，8，17不能构成三角形，所以底边长只能是 5cm．【总结】这题考察学生要分情况讨论，其次根据三角形的三边关系注意取舍，所以一般要舍弃一个答案，这道题需要学生好好思考解答．例10】不等边三角形的最长边为9，最短边为4，若第三边长为整数，求第三边的长．难度】★★答案】6，7，8．解析】设第三边长为x，则根据三角形的三边关系可得：94x94，解得：5x13，因为是不等边三角形，且最长边为9，所以x不能取9，10，11，12．总结】这题考察学生对三角形三边关系的掌握，同时要根据题意进行适当的取舍．4和12，若第三条高的长也是整数，求第三例11】不等边三角形4和12，若第三条高的长也是整数，求第三难度】★★★答案】53/22解析】根据面积相等，设三角形ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，1112SS2SS2S则面积Saahbbhcch，可得：ab，c22242126 chSSSSS2S2S，又abcab，所以c，即26263ch3111所以16c1h13，又因为原三角形是不等边三角形，且第三条边上的高也是整数，所以第三边上的高为5．【总结】考察学生对题目意思的理解，包括三角形的面积不变，面积是定值，底边越短，高越长，并且还要涉及到三角形的三边关系的运用，此题综合性较强，教师注意多引导学生．【例12】已知一个三角形的周长为12，求这个三角形的最长边的取值范围．【难度】★★★【答案】4最长边<6．【解析】最短的极端是三边都相等的情况，所以都为 4，此时是等边三角形，最长的极端是等于另外两边的和，但是此时构不成三角形，所以最长边的取值范围是大于等于4且小于6．【总结】这一题还是考察学生对于三角形三边关系的理解，但是需要学生记忆不去挖掘题目的意义，考虑到最短和最长的情况分别是什么，这样方便解题．例13】等腰三角形的周长为8，各边长为整数，求该等腰三角形的腰长．难度】★★★答案】3解析】腰长小于4，但是要大于2，所以只能取3．总结】考察学生对于三角形三边关系的理解和掌握．例14】周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？难度】★★★答案】12个．解析】分类讨论，可知三边长分别为：（1）3，13，14；（2）4，12，14；（3）5，11，14；（4）5，12，13；（5）6，10，14；（6）6，11，13；（7）7，9，14；（8）7，10，13；（9）7，11，12；（10）18，9，13；（11）8，10，12；（12）9，10，11，共12个．总结】分类讨论，并且注意三角形的三边关系．

E例15】三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．（1）证明：AB+AE>DB+DE；（2）证明：AB+AC>DB+DC；（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大?证明你的结论；（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大?证明你的结论．难度】★★★答案】略．解析】（1）证明：QABAEBE，AB+AE>DB+DE；（2）QDEECDC，又QABAEDBDE，ABAEDEECDBDEDC即ABAEECDBDC，AB+AC>DB+DC；3）QDADBAB，DBDCBC，DADCAC，2(DADBDC)ABBCCA4）QABACDBDC，CACBDADB，BCBADCDA三式分别左右相加，2（BCABCA）2（DADBDC），ABBCACDADBDC．【总结】考察三角形的三边关系的综合运用，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，并且学会对式子进行适当的变形，综合性较强，注意认真分析．例16】在一个三角形中，下列说法中错误的是（）A．至少有两个锐角B．最多能有两个钝角C．至多有一个直角D．难度】最多能有三个锐角★答案】B解析】三角形内角和为180，所以最多有一个钝角．总结】考察学生对于锐角，钝角以及直角的概念的理解．例17】填空：1)△ABC1)△ABC中，∠C=90°，（2）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1:2:3，则∠A+∠B= ．难度】★答案】40，90．解析】（1）因为ABC180，∠C=90°，∠A=50°，所以B40；（2）设Ax，B2x，C3x，则x2x3x180，解得：x30，所以∠A+∠B=3x90．总结】考察三角形内角和为180的运用，第二小问注意利用设未知数解题．例18】（1）一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是 ；（2）任意一个三角形至少有 个锐角．难度】★★答案】直角三角形，2解析】（1）因为三角形的内角和为180，所以有一个角是90；（2）三角形内角和为180，所以只能有一个钝角或直角，其余两个均为锐角．总结】考察三角形的分类及内角和定理的运用．例19】△ABC中，∠A-∠B=2∠B-∠C=20°，求∠A、∠B和∠C．难度】★★答案】A65，B45，C70．解析】设Bx，则A20x，C2x20，由三角形内角和定理，可得：x20x2x20180，解得：x45，所以A65，B45，C70．总结】考察三角形的内角和为180的运用，注意设未知数进行解答．例20】在△ABC中∠ABC：∠C：∠BAC=1:2:5，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数．难度】★★答案】22.5．解析】设ABCx，C2x，BAC5x，根据三角形内角和定理，可得：x2x5x180，解得：x22.5，

ABD180904522.522.5（三角形内角和为180）．总结】考察三角形内角和为180，以及设未知数解题．例21】△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有5∠A=2∠B，若∠B的最大值是m°，最小值是n°，求m+n的值．难度】★★答案】175．解析】Q5∠A=2∠B，2A B．QBCA，设Bx，5则2x180/22xx，/2275x100，n75，m100，55mn175总结】考察三角形内角和定理以及一元一次不等式的综合运用．例22】如图，在三角形ABC中，∠B=∠C，ED⊥BC于D，DF⊥AC于F，∠AED=148AC（已知）90（垂直的意义）12（等角的余角相等）132（邻补角的意义）求∠EDF的度数．难度】★★答案】AC（已知）90（垂直的意义）12（等角的余角相等）132（邻补角的意义）1B90，2CQBC（已知），QAED148（已知），232（等量代换）EDF58（互余的意义）总结】考察邻补角，互余以及垂直等知识的综合运用．例23】已知点D是△ABC内一点，试说明D A．难度】★★答案】连接AD并延长交BC于点E

QCDEACDCAD，BDEBAEABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的任意两个内角之和）CDBACDABDCAB（角的和差）DA解析】本题主要考察学生对外角性质的理解和掌握，注意添加合适的辅助线．例24】在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠ A<∠B<∠C，7∠A=4∠C，求∠B和∠C的度数．难度】★★答案】B59，C77．解析】设C7x，A4x，则B18011x，QABC4x18011x7x10ox12ox11oB59，C77总结】考察三角形内角和定理以及一元一次不等式的综合运用．例25】若三角形三个内角∠A、∠B和∠C的关系是A3B，C2B，试按角的分类判断这个三角形的形状．难度】★★答案】钝角三角形．解析】QC2B A， BC3BABQA3B， ABC，故此三角形是钝角三角形．总结】考察不等式的关系，以及适当的构造得到所需要的结论进行解答．例26】四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P．∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（）；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136①∠；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136A．①②③ B．②③④难度】★★★答案】AA．①②③ B．②③④难度】★★★答案】A．解析】（1）QAEPBEP64④∠PEB+∠PFC=136°C．①③④DFPAFPAFBAEPBEPDFPAFP72，P1803644100；2）AEPBEPECDDFPAFPBCFAEPBEPDFPAFP4444723）PEBDFPEPF10036136；4）PEBDFPP1803644100；2）AEPBEPECDDFPAFPBCFAEPBEPDFPAFP4444723）PEBDFPEPF10036136；4）PEBDFP36．88PEBDFP36，QECDCEFCFE44，160；总结】此题主要考察三角形内角和定理和外角定理的综合运用，注意角平分线的意义以及等式性质的利用，综合性较强．例27】在五角星ABCDE中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．★★★答案】180．解析】设直线AC交BE于点N，直线AD交BE于点MBDAMB，CEANE三角形的一个外角等于与它不相邻的任意两个内角之和）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E AANMAMN180总结】考察学生对三角形外角的理解，并且在众多的外角中选择合适的外角，并且把所有角放到同一个三角形中，利用三角形内角和进行解题．例28】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小；2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC的度数．答案】38解析】（1）Q180123．设BAM12241，MAD180422答案】38解析】（1）Q180123．设BAM12241，MAD180422，BCM3，MCD34（三角形内角和为180度）9/221561213834123418（等式性质）QAM平分BAD，CM平分BCD12，34（角平分线的意义）139（等式性质）QBEM1243M（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）M132433（等式性质）2）设EAN1，NAD2，BCN3，NCG4，延长AN交线段CD于点G三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）123420442162（等式性质）Q12，34（角平分线的意义）4281(等式性质）ANC4CGA42428142123（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）总结】考察三角形的外角以及角平分线的意义的综合运用，注意整体思想的运用．例29】（1）如图1△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则有：TOC\o"1-5"\h\zBPC A；（2）如图2：△ABC中，∠ABC的外角角平分线和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：BPC A；（3）如图3：△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角角平分线相交于点 P，则有：BPC A．NN难度】★★★答案】BPC9012A，BPC901A，2BPCA．解析】1）答案】BPC9012A，BPC901A，2BPCA．解析】1）QBP平分ABC，CP平分ACB（已知）ABP CBP，ACPBCP（角平分线的意义）A1802(PBCPCB)，BPC180(PBCPCB)三角形内角和为180度）1BPC90A（等式性质）22）标注射线两边分别是M、N，设MBP1，PBC2，BCP3设MBP1，PBC2，BCP3，PCNQ12A180(34)，3A18012)三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和）2A360(1234)2A360(1234)等式性质）A18090等式性质）90等式性质）1803)901804,（3）设BC的延长线为点D，ABP1，PBC2，ACP3，PCDQBP平分ABC，CP平分4,12，34（角平分线的意义）Q2422A，42P（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）1P1A（等式性质）2【总结】考察三角形的外角性质以及角平分线的运用，注意整体思想的应用，综合性较强，注意认真分析．11/22

11/22例30】如图1，A、B为直线a上两点，A在B的左侧，C为直线b上的另一点，且a⊥b，垂足为o，CD∥a，CD=2，OC=2．（1）求△BCD的面积；（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交直线b于P，交BC于Q．求证：∠CPQ=∠CQP；3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点直线AD于E，DF∥AC交直线b于B在直线a上O的右侧运动，∠ACB的平分线交

F，FM平分∠DFC交DE于M，BCF2DMF的值是否发生变化Ea答案】（1）2；（2）见解析；（3）2．解析】（1）SVB11CDCDOC22CD222（2）QOBCOCB90，OACACO90（垂直的意义）又QBCOBAC（已知），OBCACO（等角的余角相等）ACOOCB90（等量代换）CAQCQA90（三角形内角和为180度）QBAQOPA90（垂直的意义）又QAPOCPQ（对顶角相等）BAQCPQ90（等量代换）QAQ平分BAC12/22

BAQCAQ（角平分线的意义）CPQCQP（等式性质）（3）延长QDMFDC到180H(ADCCDFMFD)180(DACACDMFC)180(DACCDF12CFD)2DMF3602DAC2CDFCFD3602702DAC(2DACCDFCDF)9027018090BCF2DMFBCHQBCHECBADCEDACEEACEE，又QECB ACE，BCH2E，BCF2DMF

E2，即BCF2DMF的值不发生变化．

EBCF2DMF

E13/22总结】本题综合性非常强，主要是考查三角形的内角和定理及外角性质的综合运用，解题时认真分析角度之间的关系，从而得出最后的结论．

13/22习题1】已知在三角形ABC中，A1B1C，则B__22难度】★答案】72．解析】设Ax，则B2x，C2x，由三角形的内角和定理，可得：5x180，解得：x36，所以B2x72．总结】考察三角形的内角和定理的运用．习题2】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3．5cmB．4cm，5cm，9cm随堂检测随堂检测C．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm难度】★答案】Ｄ解析】A．123.5；B．459；C．5815；D．正确．总结】考察三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．习题3】（1）在ABC中，AB=3，BC=7，则AC的取值范围是 ；（2）已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边为整数，那么第三边长为 难度】★答案】（1）4AC<10，（2）2．解析】（1）由三角形的三边关系，可得：73AC73，即4AC<10；（2）设第三边长为x，由三角形的三边关系，可得：1x3，∵第三边为整数，x2．总结】考察三角形的三边关系的运用，注意取整数解．习题4】如图，在△ABC中，C90。，EF//AB，150。，则B的度数为（）（）A．50。B．60。C．30。难度】★★答案】D解析】QEF//AB（已知）A150（两直线平行，内错角相等）QC90。（已知）B40（互余的意义）总结】考察学生对两直线平行，内错角相等的掌握，以及对互余的知识点的理解．B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACDA．100°BB＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACDA．100°B．120°难度】★★答案】C解析】ACD6070130总结】考察学生对外角性质的理解及运用．习题6】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25°，则该三角形的一个底角为（）A．32.5° B．57.5° C．65°或57.5° D．32.5°或57.5°．难度】★★答案】D解析】分情况讨论，当等腰三角形是锐角三角形时，此时顶角度数为902565，所以底角度数为：1806557.5；215/2215/22当等腰三角形是钝角三角形时，此时可知顶角的外角度数为902565，利用三角形的外角性质可得，底角度数为：656532.5，故选D．2总结】这题主要考察等腰三角形腰上的高的问题，注意进行分类讨论．

定是习题7】已知△ABC的一个外角为50°则△ABC定是A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形难度】★★答案】B解析】钝角三角形的定义，有一个角大于90度．总结】考察学生对概念的理解．习题8】如图，Rt△ABC中，ACB90°，DE过点C，且DE∥AB，若ACD55°，则∠B的度数是（则∠B的度数是（)45°C．55° D．65°A．35° B．难度】★★答案】A解析】QDE//AB，AACD55（两直线平行，内错角相等）QACB90°，B35（三角形内角和为180度）总结】考察学生对于三角形内角和的掌握以及两直线平行内错角相等．习题9】已知周长小于15的三角形三边长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？难度】★★★答案】5个解析】15312，小于12的质数有2、3、5、7、11，故这样的三角形的三边为：2、3、2或2、3、3或3、3、3或3、3、5或3、5、5，共5个．总结】考察学生对于质数的理解以及分情况讨论的运用．习题10】锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的求所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数．难度】★★★答案】20o、80o、80o或21o、75o、84o或22o、70o、88o．

解析】解：设最小角为x，则最大角为4x，另一个角为y．∵xy4x180（三角形内角和等于180°），∴y1805x．而xy4x，且4x90，∴x1805x4x，解得：20ox30o．又由4x90o，得到x22.5o，所以20ox22o．∵三个角的度数都是正整数，∴x20o或21o或22o，y80o或75o或70o，4x80o或84o或88o，即三个角分别为20o、80o、80o或21o、75o、84o或22o、70o、88o．总结】考察学生对一元一次不等式的掌握以及利用设未知数解题，注意分情况讨论．习题11】如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．难度】★★★答案】略．解析】过G作GH//EB，则1EGH（两直线平行，内错角相等）C∵312EGHFGH（已知）C∴2FGH（等式性质）∴GH//CF（内错角相等，两直线平行）∴BE//CF（平行的传递性）∵ABBMD，CDANC三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴ABCDBMDANC（等式性质）∵BE//CFBMDANC180（两直线平行，同旁内角互补）ABCDBMDANC180（等量代换）总结】考察学生对添加辅助线的掌握，并且考察平行线的性质及三角形内角和定理的综合运用．17/2217/22课后作业作业1】如果△ABC中，AB=5，BC=10，则AC的取值范围是 难度】★答案】5AC15．解析】105AC105，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．总结】考察三角形三边关系的运用．作业2】判断题：TOC\o"1-5"\h\z（1）三角形的三条高一定交于一点（ ）（2）三角形的三条中线一定交于三角形内一点（ ）（3）三角形的三条角平分线一定交于三角内一点（ ）难度】★答案】（1）×，（2）√，（3）√．解析】（1）三条高所在直线一定交于一点，反例是钝角三角形； （2）正确；（3）正确．总结】主要是对不同形状的三角形要考虑全面．【作业3】（1）如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 ；（2）如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ ．【难度】★【答案】DCB；30或120．【解析】（1）QAB90，DCBB90（垂直的意义）ADCB（等角的余角相等）；（2）当顶角的外角等于150时，A30；当底角的外角等于150时，BC30，A120【总结】（1）考察同角的余角相等的运用；（2）注意三角形进行分类讨论，三角形是等腰三角形，一个外角有可能是顶角的外角也可能是底角的外角．

作业4】如图，已知ABC和ACB的平分线BD、CE相交于点O，A50，则BOC ．难度】★答案】115．解析】QA50ABCACB130（三角形内角和为180度）QBD平分ABC，CE平分ACBABDCBD，ACEBCE（角平分线的意义）DBCECB1(ABC2ACB)65(等式性质）BOC18065115(三角形内角和为180度）总结】考察学生对角平分线的理解以及三角形内角和定理的灵活运用．作业5】（1）若三角形三条边的长分别是 7，10，x，求x的范围；（2）若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．难度】★★答案】（1）3x17，（2）2x6．解析】（1）由三角形的三边关系，可得：107x107，即3x17；（2）由三角形的三边关系，可得：32x132，即2x6．总结】考察三角形三边关系的运用，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．作业6】如图，已知DE//BC，CD是ACB的平分线，B70，ACB50，求EDCBCD25（角平分线的意义）和BDC的度数．BCD25（角平分线的意义）难度】★★答案】25，85．解析】（1）QCD平分ACB，DCAQDE//BC， EDCDCB25（两直线平行，内错角相等）2)QDE//BC，FDBB70（两直线平行，内错角相等）BDC180702585（三角形内角和为180度）总结】考察学生对平行线的性质定理的掌握，以及利用三角形内角和进行解题．

作业7】在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，BAC50，C70，求DAC、BOA的度数．难度】★★答案】20，125．解析】（1）QADBC， ADC90（垂线的意义）QC70，DAC20（垂线的意义）；（2）QAE，BF是角平分线，BAEEAC25，ABFCBF180705030（角平分线的意义）2AOB1803025125（三角形内角和为180度）【总结】本题主要考查三角形内角和定理及角平分线意义的综合运用， 关键在于根据题意画出准确的图形．F在CA的延长线上，作业8】如图，在△ABC中，B